Дифференциальное исчисление Глава Производная и дифференциал



Скачать 200.63 Kb.
страница1/4
Дата08.11.2012
Размер200.63 Kb.
ТипЗадача
  1   2   3   4




Часть 2. Дифференциальное исчисление

Глава 1. Производная и дифференциал
Дифференциальное исчисление – это раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций. Оформление дифференциального исчисления в самостоятельную математическую дисциплину связано с именами И. Ньютона и Г. Лейбница. Они сформулировали основные положения дифференциального исчисления, с этого времени оно составляет основную часть математического анализа (или анализа бесконечно малых). Создание дифференциального и интегрального исчислений открыло новую эпоху в развитии математики. Оно повлекло за собой появление ряда математических дисциплин: теории рядов, теории дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии и вариационного исчисления. Некоторые задачи дифференциального исчисления были решены еще математиками Древней Греции, их работу продолжили Р.Декарт, П.Ферма и другие ученые XVII века. Обобщив опыт математиков предыдущих столетий, И. Ньютон и Г. Лейбниц совершенно независимо друг от друга создали основы дифференциального исчисления. И. Ньютон подходил к нему с точки зрения физики, Г. Лейбниц – с точки зрения геометрии.
Задачи, приводящие к понятию производной
Задача о скорости. Пусть некоторая материальная точка совершает неравномерное движение вдоль прямой. Путь пройденный телом зависит от времени по закону . Зафиксируем некоторый момент времени , за это время был пройден путь , за время будет пройден путь . Тогда за время тело пройдет путь . Отношение – средняя скорость за промежуток времени . Будем стремить к нулю. В таком случае говорят о предельной скорости и называют мгновенной скоростью тела в момент времени .

Задача о касательной. Рассмотрим другую задачу, связанную с построением касательной к кривой. На некоторой кривой зафиксируем точку .
Возьмем некоторую произвольную точку и будем стремить ее по кривой в точке . Проведем секущую . При движении к секущая будет поворачиваться вокруг точки и займет свое предельное положение, когда .

Определение 1. Касательной к данной кривой в данной точке называется предельное положение секущей при стремлении точки к точке .

Рассмотрим случай, когда кривая задана функцией . (Рис. 29)

Придадим аргументу приращение , тогда приращение функции составит . Очевидно, что когда , угол стремится к углу . , тогда при получаем, что .
Понятие производной
Пусть дана некоторая функция . Зафиксируем точку и придадим ей приращение , которое будем выбирать таким, чтобы величина была определена. Соответственно рассмотрим приращение функции .

Определение 2. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю, т.е. .

Производную обычно обозначают как .

Данное определение можно записать несколько иным образом. Для этого введем обозначение , . Тогда производную можно определить так .

Если предел не существует, то говорят, что функция не имеет производной в точке . Операцию нахождения производной называют дифференцированием. В некоторых случаях производную обозначают следующим образом .
Дифференцируемость функции
По теореме о связи предела функции и бесконечно малой получаем, что , где – постоянное число, которое не зависит от , – бесконечно малая функция аргумента .

Определение 3. Функция называется дифференцируемой в точке, если приращение этой функции в точке можно представить в виде .

Теорема 1. Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную .

Из доказательства теоремы следует, что .

Геометрический смысл производной заключается в том, что производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проходящей через данную точку. (Рис. 29)

Механический смысл производной: скорость есть производная пути, пройденного материальной точкой, по времени.
Производная и непрерывность функции
Между понятиями непрерывности и дифференцируемости функции существует тесная связь.

Теорема 2. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в данной точке.
Правила дифференцирования
Отыскание производной по определению удобно только в случае простейших функций. Поэтому рассмотрим правила, которые позволяют более просто вычислять производные.

Теорема 3. Константу можно выносить за знак производной.

Пусть функции имеют производные в произвольной точке .

Теорема 4. Производная суммы равна сумме производных.

Замечание 1. Данную теорему можно по методу математической индукции распространить на любое конечное число слагаемых.

Замечание 2. Рассматривается алгебраическая сумма функций.

Теорема 5. Производная произведения функций находится по формуле .

Теорема 6. Производная частного находится по формуле .

Замечание. Предполагается, что в точке .
Дифференцирование сложной функции
Рассмотрим сложную функцию ,.

Теорема 7. Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке , то сложная функция имеет производную в точке .

Данную формулу можно записать несколько иначе .
Производная обратной функции
Теорема 8. Если функция в некотором промежутке непрерывна, строго монотонна и имеет производную в некоторой точке этого промежутка, то обратная функция также имеет производную в этой точке и справедлива формула , .
Производные некоторых элементарных функций
Найдем производные некоторых элементарных функций.

  1. .

  2. .

  3. .

  4. .

  5. .

  6. .

  7. .



  8. .

  9. .

  10. .

Логарифмическое дифференцирование
В некоторых случаях прежде чем находить производную удобно прологарифмировать функцию. Пусть , . Возьмем производную от каждой из частей . Откуда . Такой прием называют логарифмическим дифференцированием.

Иногда нахождение производной затруднительно без применения логарифмического дифференцирования. В частности, это справедливо для так называемой степенно-показательной функции , где – некоторые функции.
Особые случаи дифференцирования
Так как существование производной связано с существованием двустороннего предела, особый интерес представляет случай, когда двусторонний предел в конечном виде не существует. При этом предполагается, что функция непрерывна в некоторой окрестности точки .

  1. Двусторонний предел не существует, но каждый из односторонних пределов существует и конечен. В таком случае говорят об односторонней производной. В случае обычной производной с двух сторон. Пусть , тогда можно говорить о правосторонней производной . Если , то рассматривают левостороннюю производную . К такому определению производной прибегают, когда рассматривают функцию, определенную на некотором отрезке (Рис. 30).




  1. Хотя бы один из односторонних пределов не существует. В таком случае касательная в этой точке параллельна оси . В качестве примера можно рассмотреть функцию . Производная в точках равна бесконечности и касательная параллельна оси (Рис. 31).




  1. Предел не существует там, где функция непрерывна. В таком случае построение касательной в такой точке не возможно.


Производная высших порядков

Механический смысл второй производной
Рассмотрим функцию , предположим, что данная функция имеет производную . В общем случае ее можно считать функцией аргумента . От полученной функции также можно взять производную. В таком случае говорят, что функция имеет вторую производную. Обозначают вторую производную .

От второй производной в общем случае можно взять еще производную, получим производную третьего порядка . Очевидно, что данный процесс можно продолжить.

Определение 4. Производной -го порядка называется производная от производной порядка. Производная от функции называется производной первого порядка.

Производная -го порядка обозначается .

Известно, что тело движется по прямой и путь, пройденный телом, выражен функцией . Ранее было установлено, что скорость тела есть производная пути по времени. Выясним механический смысл второй производной пути по времени. Для этого найдем производную . Придадим моменту времени приращение . Найдем изменение скорости за время , тогда отношение изменения скорости к изменению времени есть среднее ускорение за время . Будем стремить к нулю, тогда получаем – мгновенное ускорение в момент времени . Таким образом , т.е. мгновенное ускорение есть производная скорости по времени или вторая производная пути по времени.

  1   2   3   4

Похожие:

Дифференциальное исчисление Глава Производная и дифференциал iconДифференциальное исчисление Лекция 18. Производная, её геометрический и механический смысл
Важнейшим понятием математического анализа является производная, которая определяет скорость изменения функ­ции
Дифференциальное исчисление Глава Производная и дифференциал iconИнтегральное исчисление. Часть Неопределенный интеграл
В дифференциальном исчислении решалась задача, где по данной функции находилась ее производная или дифференциал
Дифференциальное исчисление Глава Производная и дифференциал iconДифференциальные уравнения производная и дифференциал Производная функции у = f
Производная функции у = f(х), в точке х0 определяется как предел отношения приращения функции Δу к приращению аргумента Δх, при стремлении...
Дифференциальное исчисление Глава Производная и дифференциал iconДифференциальное уравнение
Где сила f является функцией координат и времени, ускорение a = v'(t) = x''(t) — производная скорости и вторая производная координаты...
Дифференциальное исчисление Глава Производная и дифференциал iconВопросы к экзамену по курсу «Вариационное исчисление и оптимальное управление»
Дифференцирование отображений нормированных пространств. Производная по направлению, по Гато, по Фреше, строгая производная
Дифференциальное исчисление Глава Производная и дифференциал icon2001 Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Определение
Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента,...
Дифференциальное исчисление Глава Производная и дифференциал iconЛеонард эйлер (1707—1783)
Только после его исследований, изложенных в грандиозных томах его трилогии «Введение в анализ», «Дифференциальное исчисление» и «Интегральное...
Дифференциальное исчисление Глава Производная и дифференциал iconВопросы к экзамену по курсу А. В. Дмитрука «Вариационное исчисление и оптимальное управление»
Дифференцирование отображений нормированных пространств. Производная по направлению, по Гато, по Фреше, строгая производная. Теорема...
Дифференциальное исчисление Глава Производная и дифференциал iconПроизводная и дифференциал высших порядков
Если же существует производная от функции, то данную производную, называют производной второго порядка. Производную функции в точке...
Дифференциальное исчисление Глава Производная и дифференциал iconЛекция Производная функци комплексного переменного. План лекции
Производная от функции комплексного переменного. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Дифференциал функции
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org