Лекция 1 Скалярные и векторные поля



Скачать 105.05 Kb.
Дата08.11.2012
Размер105.05 Kb.
ТипЛекция



ЛЕКЦИЯ 1


Скалярные и векторные поля. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня. Векторное поле. Векторные линии. Производная по направлению. Градиент. Поток векторного поля. Циркуляция векторного поля.

ВВЕДЕНИЕ


Векторный анализ – это раздел математики, в котором средствами математического анализа изучаются векторные и скалярные функции.

Возникновение векторного анализа тесно связано с потребностями механики и физики. До XIX в. для задания векторов использовался лишь координатный способ, а операции над векторами сводились к операциям над их координатами. Основы векторного анализа были в середине XIX в. У. Гамильтоном (1805-1865) и Г. Грассманом (1809-1877). Однако новые идеи не сразу получили распространение и признание. Прежде всего, недостаточно ясна была их практическая ценность: в середине XIX в. еще не сформировались те физические теории, в развитии которых векторный анализ сыграл затем существенную роль. Кроме того, сами работы Гамильтона и Грассмана отличались туманностью изложения, представляя большие трудности для их изучения.

Непосредственным толчком для распространения и интенсивного развития векторного анализа было построение Дж. Максвеллом (1831-1879) теории электромагнитного поля, в которой идеи векторного анализа сыграли существенную роль. Отсюда и второе название этого раздела математики – теория поля. В обширном "Трактате об электричестве и магнетизме" (1873) Максвелл впервые ввел векторные формы записи электродинамических уравнений и соотношений. Современный вид векторный анализ получил в трудах Дж. Гиббса (1839-1903) и О. Хевисайда (1859-1925), которые опирались, прежде всего, на максвелловский "Трактат". Название "Векторный анализ" ввел Гиббс, который впервые систематически изложил этот раздел математики в своих лекциях, изданных в 1901 г.

В настоящее время на основе векторного анализа строятся все современные курсы теоретической механики, аэро- и гидродинамики, теории электрических и магнитных полей, дифференциальной геометрии и т.д. Широкое применение векторного анализа объясняется тем, что здесь достигается единство аналитического и геометрического методов исследования, благодаря чему векторные формулы и выводы отличатся сжатостью, ясностью и наглядностью. К тому же, векторные формулы, выражающие физические закономерности, не зависят то выбора той или иной координатной системы отсчета, т.е. имеют инвариантный характер, и отражают сущность явлений в чистом виде.

1. CКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ

1.1. Скалярное поле


Скалярным полем называется часть пространства, каждой точке которого поставлена в соответствие определённое число – скаляр.


Примеры скалярных полей: 1) поле температур внутри неоднородно нагретого тела; 2) поле давлений воздуха в атмосфере; 3) поле плотности вещества в теле; 4)поле плотности распределения электрического заряда и т.д.

Скалярное поле считается заданным, если в каждой точке M некоторой области  определена скалярная функция U(M). В связи с этим, понятие скалярного поля и функции, определенной в области , эквивалентны. Если скалярное поле отнесено к декартовой системе координат, то скалярную функцию U(M) можно записать, например, в виде функции двух U(x,y) или трёх U(x,y,z) переменных.

Простейшей геометрической характеристикой скалярного поля U(M) являются поверхности уровня.

Поверхности уровня – это геометрическое место точек, в которых скалярная функция принимает постоянные значения, т.е. U(x,y,z)=C, где Спроизвольная постоянная.

В случае двумерного поля понятие поверхности уровня заменяется понятием линии уровня: U(x,y)=C.

П


Рис. 1.1

римеры линий уровня
: 1) на топографических картах линии, соединяющие точки, имеющих одну и туже высоту над уровнем моря; 2) в термодинамике на диаграммах состояния линии, соединяющие точки, имеющих одну и туже температуру (изотермы), давление (изобары) или объём (изохоры); 3) в электростатике линии, соединяющие точки, имеющие одинаковый потенциал (эквипотенциальные линии).

Пример 1.1. Изобразить линии уровня скалярного поля U(x,y)=y2+x.

Решение. Записываем y2+x=Сy2=Cx. Это есть семейство парабол (см. рис.1.1).

1.2. Векторное поле


Векторным полем называется часть пространства, каждой точке которого поставлен в соответствие определённый вектор.

Примеры векторных полей: 1) поле скоростей текущей жидкости;
2) силовые поля: электрическое, магнитное, гравитационное.

Векторное поле считается заданным, если в каждой его точке М определена векторная функция . Если векторное поле отнесено к декартовой системе координат, то векторную функцию можно записать в виде:

.

Простейшей геометрической характеристикой векторного поля являются векторные линии.

Векторные линии – это линии, в каждой точке которой касательная имеет направление соответствующего ей вектора.

Примеры векторных линий: 1) если рассматривается поле скоростей текущей жидкости, то векторные линии суть линии тока этой жидкости, т.е. траектории движения частиц жидкости; 2) для геометрического представления магнитного поля используются магнитные силовые линии (для экспериментального изображения магнитных силовых линий используют металлические опилки, насыпанные на лист бумаги, в магнитном поле эти опилки выстраиваются вдоль силовых линий).

Замечание. Наряду с понятием векторной линией, часто используется также и понятие векторной трубки. Векторной трубкой называется поверхность, образованная векторными линиями, проходящими через точки некоторой лежащей в поле замкнутой кривой, не совпадающей (даже частично) с какой-либо векторной линией.

В вопросах, связанных с изучением полей важную роль играет задача о нахождении векторной линии поля , проходящей через заданную точку M. Пусть уравнение векторной линии имеет вид

, ,

или в векторной форме

.

По условию в каждой точке этой линии вектор поля направлен по касательной к ней. Из геометрического смысла производной известно, что производная любой функции определяет направление касательной к этой функции. Поэтому, производная направлена по касательной к векторной линии. Следовательно, векторы и – коллинеарны. Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны. В результате получаем

(1.1)

Это есть система дифференциальных уравнений для нахождения уравнений векторных линий.

Пример 1.2. Найти уравнение векторных линий векторного поля

.

Решение. Для двухмерных полей система дифференциальных уравнений векторных линий принимает вид




Рис. 1.2


В данном случае ; . Поэтому



Разделяя переменные и интегрируя, получим

.

Таким образом, векторные линии представляют собой совокупность окружностей (см. рис. 1.2).

1.3. Производная по направлению


Важной характеристикой скалярного поля U(M) является скорость изменения функции поля в указанном направлении. Если это направление совпадает с направлением одной из координатных осей, то мы получим значение соответствующей частной производной.

Из векторной алгебры известно, что координаты векторов являются по своей сути проекциями этих векторов на соответствующие координатные оси. При этом, если известны координаты какого-либо вектора , то можно вычислить значение проекции этого вектора на любое направление. Если это направление задано вектором , характеризующееся направляющими косинусами cos, cos, cos, где  ,  – углы, образуемые вектором с соответствующими координатными осями, то эта проекция вычисляется по формуле

(1.2)

Если считать частные производные , , аналогом векторных координат, то производная по направлению будет соответствовать проекции этого вектора на ось и вычисляться по формуле

. (1.3)

Пример 1.3. Дано скалярное поле U=xy+y2+z2. Найти её производную в точке A(5;1;2) в направлении, идущем от этой точки к точке B(7;–1;3).

Решение. Найдём координаты вектора и его длину . После этого находим направляющие косинусы вектора :

,,.

Далее вычисляем частные производные:

, , ,

и вычисляем их значения в точке A:

, , .

Следовательно,

.

Знак минус указывает, что в данном направлении скалярное поле U(x,y,z) убывает.

1.4. Градиент


Производная по направлению характеризует скорость изменения функции в том или ином направлении. Однако возникает вопрос: в каком направлении эта скорость будет наибольшей?

Рассмотрим снова формулу для производной по направлению. Это выражение можно рассматривать как скалярное произведение двух векторов: единичного вектора

,

определяющего направление, по которому берётся производная, и вектора,

, (1.4)

называемого градиентом скалярного поля U. Следовательно,

. (1.5)

Данную формулу, вспомнив определение скалярного произведения, можно записать в виде:

,

т.к. . Если |gradU|0, то данное выражение имеет наибольшее значение, когда cos=1, т.е. если =0. Это означает, что производная по направлению l в данной точке имеет наибольшее значение, если направление вектора l совпадает с направлением градиента U это значение равно |gradU|. Другими словами, направление градиента есть направление наибольшего возрастания функции. Производная по направлению, которое ортогонально к вектору gradU, равна нулю.

Градиент скалярного поля U(x,y,z) в каждой точке совпадает с нормалью к поверхности уровня, проходящей через эту точку. Для двухмерных полей, направление градиента ортогонально к линиям уровня.

В приложениях понятие градиента используется очень широко. Например, поток теплоты в неравномерно нагретом теле обозначают –gradT, для связи электрического потенциала и напряжённости электрического поля записывается в виде и т.д.

Пример 1.4. Найти направление и величину наибольшего возрастания функции U=y2+x в точке M(1;1).

Решение. Поскольку

, ,

то . Тогда величина наибольшего возрастания функции будет равна

,

а направление этого наибольшего возрастания будет определяться направляющими косинусами:

, .

1.5. Поток векторного поля


Понятие потока является одним из важнейших понятий векторного анализа. Оно используется при формулировании различных понятий в электродинамике, гидродинамике, термодинамике и во многих других науках.

Первоначально это понятие было введено в гидродинамике. Возьмём в поле скоростей жидкости малую плоскую площадку перпендикулярную к вектору скоростей жидкости (см. рис. 1.3а). Объем жидкости, протекающей через эту площадку за время , равен . Если площадка наклонена к пот


a б

Рис. 1.3
оку, то соответствующий объем будет , где – угол между вектором скорости и нормалью к площадке (см. рис. 1.3б). Объем жидкости, протекающей через площадку в единицу времени, получится делением этого выражения на t. Он равен , т.е. скалярному произведению вектора скорости на вектор площади . Единичный вектор нормали к площадке можно провести в двух прямо противоположных направлениях. Одно из них условно принимается за положительное. Тогда та сторона площадки, из которой исходит нормаль, называется внешней, а та, в которую входит – внутренней.

Если поверхность S не является плоской, то ее можно разбить на достаточно малые площадки , которые можно считать с достаточной степенью точности плоскими.

Тогда при вычислении объема протекающей через всю поверхность жидкости нужно просуммировать объемы жидкостей, протекающих через каждую площадку

.

Если число разбиений устремить к бесконечности, т.е. , то вместо суммы получим интеграл

.

Выражение подобного типа встречается в самых разнообразных разделах физики и математики и называется потоком вектора через поверхность , независимо от физической природы вектора . Например, в электростатике интеграл называется потоком вектора напряженности электрического поля , хотя с этим понятием не связано ни какое реальное течение. Введенное понятие потока векторного поля через заданную поверхность с точки зрения математики является поверхностным интегралом 2-го рода.

1.6. Циркуляция векторного поля


Понятие циркуляции также является одним их важнейших понятий векторного анализа и его приложений. Рассмотрим какое-либо силовое поле

.

Определим работу этого поля при перемещении точки вдоль некоторой кривой L от точки A до точки B. Если сила однородна, а путь AB прямолинеен, то соответствующая работа будет равна скалярному произведению

.

Если – величина неоднородная, изменяющаяся от точки к точке, а L – какая-то гладкая кривая, то чтобы найти работу, нужно кривую разбить на бесконечно малые отрезки li. Тогда считая, что вдоль каждого отрезка величина однородна, то

,

где единичный вектор, совпадающий по направлению с касательной, проведенной к кривой L в какой-либо точке внутри отрезкаli. Чтобы найти общую работу нужно просуммировать работы по всем отрезкам:

.

Если число устремить к бесконечности, т.е. max(li)0, то вместо суммы получим интеграл

.

Подобные интегралы в математике называют криволинейными интегралами
2-го рода
.

О


а б

Рис. 1.4
собое значение в векторном анализе и его приложениях имеют криволинейные интегралы, взятые по замкнутым линиям (или, как говорят, контурам). Такие интегралы называются циркуляциями и обозначаются .

Физический смысл циркуляции рассмотрим на примере поля скоростей текущей жидкости. Предположим, что контур – окружность, например, колесо с лопастями (см. рис. 1.4). Если циркуляция равна нулю (рис. 1.4а), то колесо вращаться не будет. Если циркуляция не равна нулю (рис. 1.4б), то колесо будет вращаться, причем тем быстрее, чем больше величина циркуляции.

Похожие:

Лекция 1 Скалярные и векторные поля iconСкалярнвые и векторные поля введение векторный анализ
Векторный анализ – это раздел математики, в котором средствами математического анализа изучаются векторные и скалярные функции
Лекция 1 Скалярные и векторные поля iconФизическая оптика
...
Лекция 1 Скалярные и векторные поля iconОсновные положения математической теории поля и векторного анализа 11 Скалярные и векторные величины. Определения
Величины называются скалярными, если они после выбора единицы измерения полностью характеризуются одним числом. Примеры: угол, поверхность,...
Лекция 1 Скалярные и векторные поля iconЛекции по дифференциальной геометрии. Часть II. 19. Аффинные связности. Пусть гладкие векторные поля на многообразии
Пусть – гладкие векторные поля на многообразии Обозначим пространство всех гладких векторных полей на через
Лекция 1 Скалярные и векторные поля iconВведение. Элементы векторной алгебры
Все физические величины делятся с математической точки зрения на скалярные и векторные
Лекция 1 Скалярные и векторные поля iconВ каких единицах можно измерять силу?
Скалярные величины обозначают маленькими буквами, а векторные величины заглавными буквами
Лекция 1 Скалярные и векторные поля icon1. введение. Векторные и скалярные величины
Физика – это наука о неживой природе, изучающая свойства материи, её возможные изменения, законы, которые описывают эти изменения...
Лекция 1 Скалярные и векторные поля iconОсновы электромагнитной теории света
Уравнения Максвелла. Волны в вакууме. Волновое уравнение. Плоские монохроматические волны (скалярные и векторные). Свойства плоских...
Лекция 1 Скалярные и векторные поля iconПрограмма курса «Общая физика. Механика»
Системы отсчета. Векторные, скалярные величины. Радиус вектор. Выражение вектора через его компоненты в декартовой системе координат....
Лекция 1 Скалярные и векторные поля iconЭлектромагнитная
Вэз, профилирование, методы заряда, естественного электрического поля, индуктивные методы; магниторазведка векторные измерения земного...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org