Рабочая учебная программа по дисциплине «Математическая логика» для ооп по направлению «050100 Педагогическое образование»



Скачать 226.01 Kb.
Дата08.10.2012
Размер226.01 Kb.
ТипРабочая учебная программа


Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Уральский государственный педагогический университет»
Математический факультет

Кафедра алгебры и теории чисел

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

По дисциплине «Математическая логика»

для ООП по направлению «050100 – Педагогическое образование»,

профиль «Математика»

по циклу Б.3 – профессиональный цикл,

вариативная часть

Очная форма обучения



Курс – 4

Семестр – 7

Объём в часах всего – 72

в т. ч.: лекции – 12

практические занятия – 24

лабораторные занятия – 0

самостоятельная работа – 36

Зачет – 7 семестр

Заочная форма обучения



Курс – 4

Семестр – 7, 8

Объём в часах всего – 72

в т. ч.: лекции – 6

практические занятия – 8

лабораторные занятия – 0

самостоятельная работа – 58

Зачет – 8 семестр

Контрольная работа – 8 семестр



Екатеринбург 2011

Рабочая учебная программа по дисциплине «Математическая логика» ГОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет» Екатеринбург, 2011. – 13 с.



Составитель:

Ершова Т.И., к. ф.-м. н., доцент кафедры алгебры и теории чисел, математический факультет УрГПУ
Рабочая учебная программа обсуждена на заседании кафедры алгебры и теории чисел УрГПУ (Протокол № 9 от 05.05.2011).
Зав. кафедрой С.С. Коробков
Согласовано с методической комиссией математического факультета
Председатель методической комиссии И.Н. Семенова
Декан математического факультета В.П. Толстопятов

  1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА


Математическая логика представляет собой научное направление, которое сосредотачивает внимание на языке, используемом в математике, на способах определения абстрактных объектов и на законах логики, которыми руководствуются, когда рассуждают об этих объектах. Логики предприняли изучение с надеждой понять природу математического опыта и, в конечном счете, внести вклад в математику как важными результатами, возникающими в самой логике (например, теорема Гёделя о неполноте), так и их приложениям к другим разделам математики.


Рабочая учебная программа дисциплины «Математическая логика» соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта третьего поколения (ФГОС-3) подготовки бакалавров по направлению «050100 – Педагогическое образование», профиль «Математика».

    1. Цели и задачи дисциплины

Цели изучения дисциплины:

  • сформировать у студентов правильное представление о понятии «теорема», видах теорем, способах доказательства теорем;

  • познакомить студентов с формализованным аксиоматическим методом построения математических теорий;

  • познакомить студентов с проблемами непротиворечивости, полноты, разрешимости теорий.

Задачи изучения дисциплины:

  • научить студентов пользоваться языком логики высказываний и языком логики предикатов;

  • проиллюстрировать студентам аксиоматический метод построения математических теорий на различных примерах;

  • сформировать у студентов представление о задачах, решаемых в науке «Математическая логика»


1.2. Место дисциплины в структуре ПрОП

Дисциплина «Математическая логика» изучается в 8-ом семестре, когда все математические курсы программы бакалавриата уже пройдены и интуитивное представление о некоторых объектах, изучаемых математической логикой, сформировано. Причем сведения об этих объектах могут черпаться из различных дисциплин: «Вводный курс математики», «Алгебра», «Математический анализ», «Числовые системы» и «Информационные технологии». Курс «Математическая логика» призван обобщить и классифицируют эти интуитивные знания, дать четкие определения. Изучение математической логики будет способствовать более ясному представлению об общей структуре математической теорией, о математике в целом, а значит, и о школьной математике.

1.3. Требования к результатам освоения дисциплины:

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование профессиональной компетенции, определенной вузом (ПКВ-1):

способен демонстрировать, применять, критически оценивать и пополнять математические знания,

а также части общепрофессиональной компетенции, определенной вузом (ОПКВ-1):

готов организовывать различные виды учебно-исследовательской и проектной деятельности обучающихся.

Основные требования к результатам освоения дисциплины представлены в таблицах № 1 и № 2 в виде признаков сформированности компетенций. Требования формулируются по двум уровням: пороговый и повышенный и в соответствии со структурой, принятой в ФГОС ВПО: знать, уметь, владеть.
Таблица № 1

Уровни сформированности компетенции

Структура компетенции

Основные
признаки уровня


Пороговый

уровень
(как обязательный для всех студентов-выпуск­ников вуза по завершению освоения дисциплины)

Знает основы математической логики.

Приводит определения основных логических операций. Формулирует основные законы логики высказываний.

Приводит определения и примеры n-местного предиката. Умеет находить область истинности предиката.

Приводит определение операции над предикатом и определения формулы логики предикатов. Приводит определения и примеры модели заданной сигнатуры.

Понимает структуру построения формальной аксиоматической теории.

Имеет представление об основных проблемах математической логики: проблемы непротиворечивости, полноты, разрешимости.

Умеет доказывать утверждения математической логики.

Умеет аргументированно обосновывать основные положения математической логики.

Умеет решать задачи по математической логике.


Знает основные методы решения типовых задач по теме «Логика высказываний» и умеет применять их на практике.

Умеет строить модели заданной сигнатуры и определять значения формулы логики предикатов в данной модели при данной интерпретации.

Умеет записывать математические утверждения на языке формул логики предикатов.

Владеет профессиональным языком математической логики.

Владеет терминологией курса «Математической логики».


Способен корректно представить в математической форме, полученные при изучении курса «Математическая логика».


Владеет разными способами представления информации из курса «Математической логика» (аналитическим, символическим, словесным и др.).


Интерпретирует знания, полученные при изучении математической логики примерами из школьной математики.

Повышенный уровень

Знает основы математической логики.




Устанавливает связи между основными идеями математической логики и другими математическими теориями, дисциплинами и т.д.

Оценивает корректность информации в научно-популярной литературе касающуюся математической логики, и корректность записи математических утверждений в виде формул логики предикатов в различных разделах математики.

Умеет доказывать утверждения математической логики.


Понимает границы использования методов математической логики.

Выделяет главные смысловые аспекты в доказательстве утверждений математической логики.

Распознает ошибки в рассуждениях о свойствах объектов математической логики.

Понимает специфику требований, предъявляемых к доказательствам в математической логики.

Умеет решать задачи по математической логики.


Способен приводить примеры теорий первого порядка.

Способен строить вывод формулы в исчислении высказываний.

Оценивает различные методы решения задачи и выбирает оптимальный метод.

Владеет профессиональным языком математической логики.

Критически осмысливает полученные знания.

Способен проявить свою компетентность в математической логике в различных ситуациях (работа в междисциплинарной команде).

Способен передавать результат проведенных исследований в виде конкретных рекомендаций в терминах математической логики.


Таблица № 2

Уровни сформированности компетенции

Структура части компетенции

Основные
признаки уровня


Пороговый

уровень
(как обязательный для всех студентов-выпуск­ников вуза по завершению освоения дисциплины)

Знает этапы исследования.


Знает, какие типы задач школьного курса математики имеют связи с математической логикой.

Знает основные задачи исследовательского типа в дисциплине «Математическая логика»

Может разработать исследовательские задания на материале школьного курса математики.

Может предложить конкретные задачи исследовательского характера, связанные с математической логикой и доступные для учащихся.

Может поставить вопросы, составить план решения предложенных задач.

Может организовать локальную исследовательскую деятельность учащихся.

Может сформулировать цель, гипотезу, предложить пути решения задачи.

Способен оценить полученные результаты и наметить пути дальнейшего исследования.

Повышенный уровень

Знает основные требования, предъявляемые к проектам.

Знает темы, связанные с математической логикой, и подходящие для разработки исследовательских проектов со школьниками.

Умеет выбрать тему исследовательского проекта.

Может сформулировать цель, гипотезу, объект и предмет исследовательского проекта.

Владеет основами организации работы над проектом.

Способен организовать исследовательскую деятельность группы участников по выбранной теме проекта.



1.4. Объем дисциплины и виды учебной работы
Согласно учебному плану курс «Математическая логика» на очном отделении изучается бакалаврами на 4 курсе в 7 семестре, форма контроля – зачет. На изучение курса отводится 72 учебных часа, в т.ч. 36 уч.ч. аудиторных занятий и 36 уч.ч. самостоятельной работы студентов (СРС). Аудиторные занятия включают 12 уч.ч. лекций и 24 уч.ч. практических занятий.

Предусматривается также выполнение двух контрольных работ в соответствии с графиком проведения контрольных мероприятий. Контроль и организация самостоятельной работы студентов осуществляются с помощью домашних заданий, охватывающих все наиболее важные разделы курса.

На заочном отделении дисциплина «Математическая логика» изучается на 5 курсе в 9 семестре (отчетность в 9 семестре в форме зачета). На изучение курса отводится также 72 учебных часа, в т.ч. 14 уч.ч. аудиторных занятий и 58 уч.ч. самостоятельной работы студентов (СРС). Аудиторные занятия включают 6 уч.ч. лекций и 8 уч.ч. практических занятий. Предусматривается также выполнение одной домашней контрольной работы с представлением решения в 9 семестре.
Общая трудоемкость дисциплины составляет две зачетные единицы.


  1. УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ



2.1. Учебно-тематический план очной формы обучения






п/п



Наименование

раздела, темы


Всего

тру-

доем-

кость

Аудиторные

занятия


Самостоя-

тель-

ная

работа


Все-

го



Лек-

ции

Пра-

кти-

чес-

кие

Ла-

бора-

тор-

ные

1

Алгебра высказываний.

12

6

2

4




6

2

Булевы функции. Нормальные формы.

12

6

2

4




6

3

Предикаты и кванторы.

12

6

2

4




6

4

Модели. Интерпретации.

12

6

2

4




6

5

Аксиоматический метод в математике. Исчисление высказываний.

10

4

2

2




6

6

Теории первого порядка.

14

6

2

4




8




Итого

72

34

12

22




38


2.2. Учебно-тематический план заочной формы обучения






п/п



Наименование

раздела, темы


Всего

тру-

доем-

кость

Аудиторные

занятия


Самостоя-

тель-

ная

работа


Все-

го



Лек-

ции

Пра-

кти-

чес-

кие

Ла-

бора-

тор-

ные

1

Алгебра высказываний. Нормальные формы.

12

6

2

4




6

2

Предикаты и кванторы.

8

4

2

2




4

3

Модели. Интерпретации.

8

4

2

2




4




Итого

28

14

6

8




14



  1. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

3.1 Структурированное содержание дисциплины



№ п/п

Наименование раздела (темы)

Содержание раздела

1

Логика высказываний.

Операции над высказываниями и их свойства.

Формулы логики высказываний. Применение логики высказываний к переключательным схемам.

2

Булевы функции. Нормальные формы

Булевы функции. Приведение формул алгебры высказываний к формулам вида дизъюнктивная нормальная форма, конъюнктивная нормальная форма, совершенная дизъюнктивно нормальная форма, совершенная конъюнктивная нормальная форма.

3

Предикаты, кванторы.

Понятие n-местного предиката. Область истинности предиката. Формулы логики предикатов. применение логики предикатов к анализу рассуждений.

4

Модели. Интерпретации.

Понятие модели заданной сигнатуры. Интерпретация формулы в модели. Применение языка логики предикатов для записи математических предложений, определений, построение отрицаний.

5

Аксиоматический метод в математике. Исчисление высказываний.

Аксиоматический метод в математике. Формальные теории. Исчисление высказываний как пример формальной теории. Понятие теоремы и понятие вывода в исчислении высказываний. Примеры теорем в исчислении высказываний.

6

Теории первого порядка.

Модели теории первого порядка. Понятие логического следования и логически общезначимой формулы в теории первого порядка. Теоремы Гёделя о полноте.



3.2 Перечень тем лекционных занятий

На очном отделении:

Лекция № 1.Алгебра высказываний. Формулы алгебры высказываний.

Лекция № 2. Булевы функции. Нормальные формы.

Лекция № 3. Предикаты и кванторы.

Лекция № 4. Модель данной сигнатуры. Интерпретация формулы в модели.

Лекция № 5. Аксиоматический метод в математике.

Лекция № 6. Теории первого порядка.

На заочном отделении:

Лекция № 1. Алгебра высказываний. Формулы алгебры высказываний.

Лекция № 2. Предикаты и кванторы.

Лекция № 3. Аксиоматический метод в математике.
3.3 Перечень тем практических занятий

На очном отделении:

Занятие № 1. Равносильные формулы логики высказываний. Тавтологии, противоречия, выполнимые формулы.

Занятие № 2. Некоторые приложения логики высказываний.

Занятие № 3. Булевы функции. Способы задания булевых функций.

Занятие № 4. Приведение формул логики высказываний к виду ДНФ, КНФ, СДНФ, СКНФ. Принцип двойственности.

Занятие № 5. Действия над предикатами. Область истинности предикатов.

Занятие № 6. Применение логики предикатов к анализу рассуждений.

Занятие № 7. Модели данной сигнатуры. Вычисление значений формулы логики предикатов в данной модели.

Занятие № 8. Применение языка логики предикатов для записи математических предложений, определений. Построение отрицаний.

Занятие № 9. Аксиоматические теории. Построение выводов формул и теорем в исчислении высказываний.

Занятие № 10. Примеры теорий первого порядка. Модели.

Занятие № 11. Доказательство утверждений на выводимость в теориях первого порядка.

На заочном отделении:

Занятие № 1. Равносильные формулы логики высказываний. Тавтологии, противоречия, выполнимые формулы.

Занятие № 2. Приведение формул логики высказываний к виду ДНФ, КНФ, СДНФ, СКНФ. Принцип двойственности.

Занятие № 3. Действия над предикатами. Область истинности предикатов.

Занятие № 4. Модели данной сигнатуры. Вычисление значений формулы логики предикатов в данной модели.
3.4 Перечень тем лабораторных работ

Согласно учебному плану выполнение лабораторных работ по данной дисциплине не предусмотрено.
3.5 Вопросы для контроля и самоконтроля



  1. Операции над высказываниями.

  2. Определение формулы логики высказываний.

  3. Понятие равносильных формул, тавтологий, противоречий, выполнимой формулы.

  4. Основные законы логики высказываний.

  5. Определение формул вида ДНФ, КНФ, СДНФ, СКНФ.

  6. Определение булевой функции.

  7. Способы задания булевой функции.

  8. Определение n-местного предиката.

  9. Определение области истинности n-местного предиката.

  10. Определение формулы логики предикатов.

  11. Определение связанной и свободной переменной в формуле логики предикатов.

  12. Определение модели сигнатуры .

  13. Определение интерпретации формулы логики предикатов в модели.

  14. Определение значения формулы логики предикатов в данной модели при данной интерпретации.

  15. Определение выполнимой, логически общезначимой, логически противоречивой формулы логики предикатов.

  16. Определение замкнутой формулы логики предикатов.

  17. Основные законы логики предикатов.

  18. Проблема разрешения для логики предикатов.

  19. Как строятся формальные теории?

  20. Исчисление высказываний как пример формальной теории.

  21. Определение терма теории.

  22. Определение формулы теории первого порядка.

  23. Как строятся теории первого порядка?

  24. Примеры теорий первого порядка.

  25. Понятие логического следования в теории первого порядка.

  26. Понятие логически общезначимой формулы теории первого порядка.

  27. Теорема Гёделя о полноте.

  28. Теорема о непротиворечивости.

3.6 Перечень тем занятий, реализуемых в активной и интерактивной формах
Каждая лекция содержит в себе интерактивные фазы проведения занятия. Так например, при изучении темы «Логика высказываний» студенты приводят примеры предложений, являющихся или не являющихся высказываниями, с применением логических операций строят сложные высказывания и определяют их истинностные значения. При изучении темы: «Предикаты и кванторы» участвуют в обсуждении вопроса перевода на язык логики предикатов таких понятий, как уравнение, система уравнений, совокупность уравнений, корни уравнения, решения системы или совокупности уравнений.

Все практические занятия проводятся в интерактивной форме, начиная с анализа условия задач до обсуждения вариантов решения.

4. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА И ОРГАНИЗАЦИЯ

КОНТРОЛЬНО-ОЦЕНОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
4.1. Темы, вынесенные на самостоятельное изучение для студентов очной и заочной форм обучения


  1. Виды теорем. Способы доказательства теорем.

  2. Принцип двойственности.

  3. Доказательство законов логики предикатов.

  4. Проблема разрешения для общезначимости в выполнимости.

  5. Рассмотрение некоторых примеров теорий первого порядка.



4.2. Темы контрольных работ для студентов очной и заочной форм обучения



  1. Логика высказываний.

  2. Логика предикатов.

  3. Модели теорий первого порядка.


4.3. Примерные темы курсовых работ


  1. Аксиоматический метод в математике.

  2. Разработка элективного курса по решению логических задач.

  3. Приложения математической логики к анализу рассуждений.

  4. Теорема Гёделя о полноте.

  5. Алгоритмические проблемы в логике и математике.

  6. Неразрешимые алгоритмические проблемы.

  7. Основные типы математических структур.

  8. Парадоксы в математике.

  9. Аксиоматическое обоснование различных разделов школьной математики.



    1. Вопросы для подготовки к теоретической части зачета.




  1. Операции над высказываниями. Свойства операций.

  2. Способы приведения формулы логики высказываний к виду ДНФ, СДНФ.

  3. Способы приведения формулы логики высказываний к виду КНФ, СКНФ.

  4. Булевы функции. Способы задания булевой функции.

  5. Принцип двойственности.

  6. Виды теорем. Способы доказательства.

  7. n-местные предикаты. Действия над предикатами.

  8. Область истинности предиката. Область истинности предикатов

  9. Кванторы. Область истинности предикатов и

  10. Определение формулы логики предикатов. Свободные и связанные переменные в формуле.

  11. Модель сигнатуры . Интерпретация формулы в модели.

  12. Понятие равносильных формул логики предикатов. Примеры.

  13. Законы логики предикатов.

  14. Аксиоматический метод в математике. Формальные теории.

  15. Исчисление высказываний как пример формальной теории.

  16. Понятие выводимости и понятие теоремы в формальной теории. Примеры.

  17. Определение терма.

  18. Определение теории первого порядка.

  19. Примеры теорий первого порядка.

  20. Модели теорий первого порядка.

  21. Теорема Гёделя о полноте.

  22. Проблема непротиворечивости.


4.5 Типы заданий для подготовки к практической части зачета

  1. Постройте таблицу истинности для данной формулы.

  2. Примените законы логики высказываний для преобразования формул.

  3. Перейдите от табличного задания булевой функции к формульному.

  4. Приведите формулу логики высказываний к формуле вида ДНФ, КНФ, СДНФ СКНФ.

  5. Найдите область истинности предиката.

  6. Постройте модель заданной сигнатуры.

  7. Вычислите значение формулы логики предикатов в заданной модели.

  8. Решите задачу, применяя логику предикатов к анализу рассуждений.

  9. Выясните, будет ли указанное рассуждение логически правильным.

  10. Установите пробел в предложенном доказательстве теоремы.

  11. Приведите примеры и контрпримеры для заданного определения.

  12. Запишите данное предложение в виде формулы логики предикатов. Постройте отрицание. Прочитайте полученное предложение.

  13. Приведите примеры теорий первого порядка из различных изученных ранее разделов математики.




5. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

5.1. Рекомендуемая литература

Основная


  1. Игошин В.И. задачник-практикум по математической логике: учеб. пособие для студентов-заочников физ.-мат. фак. пед. ин-тов. Подольск: Академия, 2005. – 156 с.

  2. Ильиных А.П. Математическая логика, учебное пособие. Урал. гос. пед. ун-т. – Екатеринбург, 2002. – 76 c.

  3. Лавров Н.Я., , Л.Л. Максимова. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов, 5-е изд. – М.: Физмалит, 2004. – 256 с.

  4. Ершов Ю.Л., Е.А. Палютин. Математическая логика: учеб. пособие для вузов. – 4-е изд. стер. СПб.: Лань, 2005. – 336 с.

  5. Мендельсон, Э. Введение в математическую логику.  М.: Наука, 1976.  287с.

  6. Новиков П.С. Элементы математической логики.  М.: Наука, 1973.  399с.

  7. Шенфилд Д.Р. Математическая логика. М.: Наука, 1975. – 527 с.


Дополнительная


  1. Гжегорчик А. Популярная логика, М.: Наука, 1979.

  2. Гладкий А.В. Математическая логика, М.: Рос. гос. гумм. ун-т.1998. – 479 с.

  3. Градштейн И.С. Прямая и обратная теоремы. Элементы математической логики, М.: Наука, 1972 – 128с.

  4. Клини С.К. Математическая логика М.: Мир, 1973. – 480с.

  5. Колмлгоров А.Н. Математическая логика: Доп. гл. учеб. пособие для вузов по спец. «Математика»  М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984 – 119 с.

  6. Лихтарников Л.М. Математическая логика: курс лекций, задачник-практикум и решения – Спб.: Лань, 1998.  288с.

  7. Мадер В.В. Школьнику об алгебре логики: книга для внеклассного чтения учащихся 10-11 кл. средней школы – М.: Просвещение, 1993.

  8. Математическая логика: учеб. пособие для мат. спец. пед. ин-ов; под общей ред. Столяра А.А.  Минск: Вышэйшая школа, 1991  269с.

  9. Математическая логика: для спец. «Математика»: МГЗПИ; сост. отв. ред. Варпаховский Ф.Л.  М., 1991.

  10. Репницкий В.Б. Основы математической логики: метод. разработка, Свердл. гос. пед. ин-т.  Свердловск: СГПИ, 1987  122с.



5.2. Информационное обеспечение дисциплины

При изучении данной дисциплины рекомендуется использовать:


  1. Электронный оптический диск (CD-ROM), подготовленный для студентов математического факультета с учебными и методическими материалами по дисциплинам кафедры алгебры и теории чисел.

  2. Цифровые образовательные ресурсы сети Интернет

    1. www.exponenta.ru;

    2. www.school.edu.ru),

    3. http://e-lib.uspu.ru.



6. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ И ДИДАКТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
При изучении дисциплины «Математическая логика» рекомендуется использовать технические средства обучения (персональные компьютеры, медиа проектор).
7. СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ ПРОГРАММЫ
Ершова Тамара Ивановна,

к.ф.-м.н.,

доцент каф. алгебры и теории чисел УрГПУ

Рабочий телефон: (343) 371-45-97

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

По дисциплине «Математическая логика»

для ООП по направлению «050100 – Педагогическое образование»,

профиль «Математика»

по циклу Б.3 – профессиональный цикл,

вариативная часть

Подписано в печать Формат 6084/16

Бумага для множительных аппаратов. Усл. печ. л. .

Тираж экз. Заказ .

Уральский государственный педагогический университет

620017 Екатеринбург, пр. Космонавтов, 26



Похожие:

Рабочая учебная программа по дисциплине «Математическая логика» для ооп по направлению «050100 Педагогическое образование» iconРабочая учебная программа по дисциплине «Числовые системы» для ооп по направлению «050100 Педагогическое образование»

Рабочая учебная программа по дисциплине «Математическая логика» для ооп по направлению «050100 Педагогическое образование» iconРабочая учебная программа по дисциплине «Теория алгоритмов» для ооп по направлению «050100 Педагогическое образование»

Рабочая учебная программа по дисциплине «Математическая логика» для ооп по направлению «050100 Педагогическое образование» iconРабочая учебная программа по дисциплине «Теоретические основы школьного курса математики» для ооп по направлению «050100 Педагогическое образование»

Рабочая учебная программа по дисциплине «Математическая логика» для ооп по направлению «050100 Педагогическое образование» iconРабочая учебная программа по дисциплине «История математики» для ооп «050100. 62 Педагогическое образование»

Рабочая учебная программа по дисциплине «Математическая логика» для ооп по направлению «050100 Педагогическое образование» iconРабочая учебная программа по дисциплине «Элементарная математика» для ооп «050100. 62 Педагогическое образование»

Рабочая учебная программа по дисциплине «Математическая логика» для ооп по направлению «050100 Педагогическое образование» iconРабочая учебная программа по дисциплине «Теория чисел» для ооп по направлению «050100 Педагогическое образование»
Мурзинова Г. С.,, к ф м н., доцент кафедры алгебры и теории чисел, математический факультет
Рабочая учебная программа по дисциплине «Математическая логика» для ооп по направлению «050100 Педагогическое образование» iconРабочая учебная программа по дисциплине «Философия, экономика и социология образования» по направлению «050100 Педагогическое образование»
Рабочая учебная программа обсуждена на заседании кафедры теории и методики обучения математике Ургпу
Рабочая учебная программа по дисциплине «Математическая логика» для ооп по направлению «050100 Педагогическое образование» iconРабочая учебная программа по курсу по выбору «Планарные графы» Для Проп по направлению «050100 Педагогическое образование»
Рабочая учебная программа обсуждена на заседании кафедры алгебры и теории чисел Ургпу (Протокол №9 от 05. 05. 2011)
Рабочая учебная программа по дисциплине «Математическая логика» для ооп по направлению «050100 Педагогическое образование» iconРабочая учебная программа по курсу по выбору «Непрерывные дроби» Для Проп по направлению «050100 Педагогическое образование»
Мурзинова Г. С.,, к ф м н., доцент кафедры алгебры и теории чисел, математический факультет
Рабочая учебная программа по дисциплине «Математическая логика» для ооп по направлению «050100 Педагогическое образование» iconРабочая учебная программа по курсу по выбору «Симметрические многочлены» Для Проп по направлению «050100 Педагогическое образование»
Ершова Т. И., к ф м н., доцент кафедры алгебры и теории чисел Ургпу, математический факультет
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org