Комплексные числа, арифметика комплексных чисел Комплексные числа получаются из действительных чисел



Скачать 26.79 Kb.
Дата08.10.2012
Размер26.79 Kb.
ТипДокументы
Комплексные числа, арифметика комплексных чисел

Комплексные числа получаются из действительных чисел добавлением нового числа , обладающего свойством
.
Число называется мнимой единицей. При этом добавлении предполагается, что сохраняются все арифметические операции, и что все они сохраняют свои свойства. Отсюда следует, что вместе с новому множеству чисел принадлежат, во-первых, все числа вида , а во-вторых, и все числа вида . Множество всех таких чисел называется множеством комплексных чисел (комплексной плоскостью) и обозначается
.
Условие, что сохраняются все арифметические операции и их свойства, приводит к следующему определению арифметических операций с комплексными числами. Пусть и . Тогда
.
Это вычисление показывает, что сумма двух комплексных чисел тоже является комплексным числом. Аналогично . Чуть сложнее вычисляется произведение
,
и остается только заменить на –1, чтобы получить окончательный результат
.
И последнее . Поскольку – это по сути дела квадратный корень из –1, избавление от в знаменателе происходит как в школьной арифметике, умножением на
.

Итак, мы видим, что результаты арифметических операций, производимых с комплексными числами, являются тоже комплексными числами. Резюмируем








  • .


С каждым комплексным числом связаны следующие характеристики – функции


  • – модуль комплексного числа

  • – действительная часть

  • – мнимая часть

  • – аргумент, угол между осью абсцисс и вектором с координатами

  • – комплексное число, сопряженное к .


Все эти функции есть в Mathcad. Хочу подчеркнуть, что правильное вычисление аргумента выполняется именно функцией
,
а не . Ни в коем случае не употребляйте арктангенс для вычисления аргумента, иначе можете получить ошибочный результат.
Существует комбинация горячих клавиш для вычисления сопряженного числа , для постановки черты над , – это Shift + " (кавычки латинские).
Используя комплексные числа, мы теперь можем решить любое квадратное уравнение, в числе и те, у которых дискриминант отрицателен. Формула

теперь работает и в случае , так как с помощью мнимой единицы корень из отрицательного числа извлекается
.
Итак, решается любое квадратное уравнение, только в случае отрицательного дискриминанта его корни комплексные.

На самом деле после введения комплексных чисел решается любое алгебраическое уравнение
.
Выполняется утверждение
у любого многочлена степени имеется корней,
которое называется основной теоремой алгебры.




Множество всех комплексных чисел называется еще и комплексной плоскостью, потому что имеется удобное геометрическое представление комплексных чисел, когда каждое число представляется точкой или вектором с координатами на плоскости.

Похожие:

Комплексные числа, арифметика комплексных чисел Комплексные числа получаются из действительных чисел iconКомплексные числа, геометрия комплексных чисел Комплексные числа получаются из действительных чисел
Комплексные числа получаются из действительных чисел добавлением нового числа, обладающего свойством
Комплексные числа, арифметика комплексных чисел Комплексные числа получаются из действительных чисел icon1. Комплексные числа
Комплексные числа – упорядоченная пара (x; y) действительных чисел, если для множества этих чисел определяется равенство и операции...
Комплексные числа, арифметика комплексных чисел Комплексные числа получаются из действительных чисел iconРабочая программа учебной дисциплины «Теория функций комплексной переменной»
Таким расширением области действительных чисел являются комплексные числа. Замечательным свойством комплексных чисел является тот...
Комплексные числа, арифметика комплексных чисел Комплексные числа получаются из действительных чисел iconРабочая программа учебной дисциплины «Теория функций комплексной переменной»
Таким расширением области действительных чисел являются комплексные числа. Замечательным свойством комплексных чисел является тот...
Комплексные числа, арифметика комплексных чисел Комплексные числа получаются из действительных чисел iconКомплексные числа
Комплексные числа представляют собой расширение множества действительных чисел. Впервые с необходимостью их введения математики столкнулись...
Комплексные числа, арифметика комплексных чисел Комплексные числа получаются из действительных чисел iconПрограмма курса высшей алгебры и теории чисел январь 2011 I. Комплексные числа
Свойства сопряжения, тригонометрическая форма комплексного числа, равенство комплексных чисел, записанных в тригонометрическом виде,...
Комплексные числа, арифметика комплексных чисел Комплексные числа получаются из действительных чисел iconРешение задач с параметром на множестве комплексных чисел
Выбор темы: Комплексные числа математическая модель для описания и изображения материальных точек в решении прикладных задач по физике....
Комплексные числа, арифметика комплексных чисел Комплексные числа получаются из действительных чисел iconКомплексные числа Обозначим через с множество пар упорядоченных действительных чисел: Определение
Определение. Упорядоченную пару действительных чисел называют комплексным числом
Комплексные числа, арифметика комплексных чисел Комплексные числа получаются из действительных чисел icon«Комплексные числа»
Приложение 2: Показательная форма записи комплексных чисел. Ло­гарифм комплексного числа
Комплексные числа, арифметика комплексных чисел Комплексные числа получаются из действительных чисел iconКомплексные числа
Когда расширили множество рациональных чисел до множества действительных (вещественных) чисел, то была решена и эта проблема. В общеобразовательных...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org