Ответ. Процедура построения определенного интеграла



Скачать 112.34 Kb.
Дата09.11.2012
Размер112.34 Kb.
ТипДокументы
Определенный интеграл
Вопрос 1. Построение понятия определённого интеграла. Суммы Дарбу и их свойства.
Ответ.
Процедура построения определенного интеграла

Пусть нам заданы следующие объекты

1. Отрезок конечной длины .

2. Функция , которая определена и ограничена на этом отрезке.

Проведем следующее построение:

1. Разбиение отрезка на кусочки

Разобьем отрезок произвольным образом на части (кусочки) точками (см. рис. 7.1). Для единообразия, точку а будем называть точкой х0, а точку b  точкой хп.



Рис. 7.1

Пусть есть длина i-го кусочка и  самая большая из этих длин.

2. Составление интегральной суммы



Рис. 7.2

На каждом из кусочков возьмем произвольно некоторую точку (она называется средней точкой, хотя, конечно, не обязательно лежит на середине кусочка), так что и составим сумму

,

которая называется интегральной суммой. Геометрически она представляет собой сумму площадей прямоугольников высотой и длиной основания (см. рис. 7.2).

3. Предельный переход

Наконец, перейдем к пределу .

Определение. Если gif" name="object15" align=absmiddle width=43 height=29> существует и не зависит от

А) способа разбиения отрезка на кусочки и от

Б) способа выбора средней точки,

то он называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается символом :

=.

Функция называется подынтегральной функцией, число а (b)  верхним (нижним) пределом интегрирования.
Суммы Дарбу
Перейдем теперь к построению теории определенного интеграла. Она достаточно сложна. Ее основой являются так называемые суммы Дарбу.

Пусть и есть наименьшее и наибольшее значения функции на i-м кусочке. Суммы и носят название нижней и верхней сумм Дарбу. Их геометрический смысл ясен из приведенных ниже рисунков 7.3–7.4.



Рис. 7.3



Рис. 7.4

Так как , то при любом выборе средней точки. Ясно также, что при фиксированном разбиении отрезка на кусочки и , где inf и sup берутся по всевозможным выборам средних точек.
Свойства сумм Дарбу

1. Если к имеющимся точкам деления добавить новые, то s может только увеличиться, а S  только уменьшиться.

Рассмотрим кусочек и представим себе, что на нем появилась еще одна точка , так что (см. рис. 7.5).



Рис. 7.5

Пусть

, и

.

Так как

и ,

то ясно, что

и .

Рассмотрим отдельное слагаемое, скажем, верхней суммы Дарбу, соответствующее отрезку . До добавления точки оно было равно . После добавления точки оно превратилось в два слагаемых и стало равно . Так как и , то и поэтому от добавления точки верхняя сумма Дарбу не могла возрасти. Аналогично можно получить, что от добавления точки нижняя сумма Дарбу не могла уменьшиться.

2. Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит любой верхней суммы Дарбу, даже если они принадлежат различным разбиениям отрезка на кусочки.

Пусть имеется два разбиения отрезка на кусочки (см. рис. 7.6)



Рис. 7.6

В первом разбиении, очевидно, , во втором  . Объединим эти два разбиения в одно, смешав вместе все точки деления (см. рис.). Тогда, учитывая свойство 1, получим следующую цепочку неравенств

, откуда следует, что , что и требовалось доказать.

Отсюда следует, что множество нижних сумм Дарбу , соответствующих различным разбиениям отрезка ограничено сверху любой верхней суммой Дарбу, а множество верхних сумм Дарбу ограничено снизу любой нижней суммой Дарбу. Поэтому существуют и . Они носят название нижнего и верхнего интегралов Дарбу. Очевидно, что для любого разбиения отрезка на кусочки верно соотношение .
Вопрос 2. Свойства определённых интегралов.
Ответ.
1. Интеграл по ориентированному промежутку.

Когда вводилось понятие определенного интеграла , то неявно предполагалось, что нижний предел меньше верхнего, то есть что . А можно ли придать смысл интегралу ?

Такой смысл придается введением понятия ориентации промежутка интегрирования.



Рис. 7.10

Вспомним еще раз, как строилось понятие определенного интеграла. Отрезок разбивался на кусочки, по которым строилась интегральная сумма. Представим теперь, что эти кусочки проходятся в направлении от точки а к точке b и величина определяется так: из координаты точки, которая проходится позже вычитается координата точки, которая проходится раньше, то есть (рис. 7.10).

А теперь вернемся к интегралу . Что изменилось? Нижний предел стал b, а верхний  а. Это трактуют так: отрезок проходится теперь в обратном направлении, от точки b к точке а (рис. 7.11):



Рис. 7.11

Но тогда меняются величины : они становятся равными , так как теперь точка проходится позже точки . Очевидно соотношение между этими величинами: .

Но тогда интегральные суммы в первом и втором случаях принимают вид

; ,

и, после предельного перехода , получаем соотношение

.

Таким образом, перестановка местами верхнего и нижнего пределов приводит с изменению знака интеграла.

Следствие. Рассмотрим интеграл , у которого верхний и нижний пределы одинаковы. Меняя их местами, получим

,

откуда следует, что .

2. Если , то .

Это свойство называется аддитивностью определенного интеграла относительно промежутка интегрирования.



Рис. 7.12

Снова рассмотрим разбиение промежутка на кусочки так, что точка с попадает в число точек деления (рис. 7.12). Тогда относительно интегральных сумм можно написать

.

Делая предельный переход , получаем

, что и приводит к требуемому соотношению:

.

3. .

Действительно, для интегральных сумм верно соотношение

.

После предельного перехода



получаем, что .

4. .

Записывая соотношение для интегральных сумм



и делая предельный переход

,

получим требуемое соотношение .

5. Если , то .

Действительно, так как , то все . Поэтому

.

Делая предельный переход и учитывая непрерывность функции , получим

,

что и дает .

6. Если и , то .

Действительно, в этом случае , и, так как все , то . Суммируя и переходя к пределу

,

получим требуемое свойство .
Вопрос 3. Первая теорема о среднем.
Ответ
Теорема. Пусть

1. функции и интегрируемы на ;

2. существуют конечные m и M такие, что ;

3. .

Тогда существует число  такое, что

1. ;

2. .
Доказательство.

Имеем . Так как , то

.

Интегрируя это неравенство, получаем

. (*)

Возможны следующие варианты:

а) . Но тогда из (*) следует, что и  может быть взято любым.

б) . Тогда, деля все части неравенства (*) на , получим:

.

Обозначим . Тогда будет

1. ;

2. .
Следствие. Если непрерывна на , то такая, что

.

Доказательство. Имеем следующую цепочку следствий:

непрерывна на  по первой теореме Вейерштрасса существуют и так что  по второй теореме БольцаноКоши такая, что для . Заменяя в первой теореме о среднем  на , получим следствие.

Частный случай. Пусть и непрерывна на . Тогда такая, что

.

Здесь использован тот факт, что . Обоснование этого см. в следующем разделе.



Рис. 7.13

Эта формула допускает следующую геометрическую интерпретацию (см. рис. 7.13): такая, что площадь, ограниченная кривой и отрезком , лежащим на оси абсцисс, равна площади прямоугольника, с основанием в виде этого же отрезка и высотой .


Вопрос 4. Вывод формулы Ньютона – Лейбница. Интегрирование определённых интегралов по частям.
Ответ.
Формула НьютонаЛейбница

Теорема 1. Если существует непрерывная функция такая, что , то

.

(обратите внимание на символику: символ означает разность ).

Эта формула носит название формулы НьютонаЛейбница.

Доказательство

Как и при построении понятия определенного интеграла, разобьем отрезок произвольным образом на части (кусочки) точками (см. рис. 7.14).



Рис. 7.14

Тогда имеем





.

После предельного перехода , получим

.

Непрерывность обязательна!
Формула НьютонаЛейбница устанавливает связь определенного и неопределенного интегралов: ведь есть не что иное, как первообразная функции . Ее можно записать и так:

.
Интегрирование определенных интегралов по частям
Вспомним формулу интегрирования неопределенных интегралов по частям

.

Переходя к определенным интегралам, получим:



.

Итак

.

Эта формула носит название формулы интегрирования определенных интегралов по частям.
Вопрос 5. Замена переменных в определённом интеграле.
Ответ.
Теорема. Пусть

1.  интегрируема на ;

2. функция монотонно возрастает и , ;

3. .

Тогда .

Обратите внимание на пределы интегрирования во втором интеграле.
Доказательство.
Разобьем отрезок на кусочки точками (см. рис. 7.15), и пусть . Тогда отрезок также разобьется на кусочки точками , причем и .

Рассмотрим величины . Для них, используя формулу Лагранжа, имеем

,

где .



Рис. 7.15

Как говорилось в определении понятия определенного интеграла, предел интегральной суммы не должен зависеть от выбора средней точки. Возьмем поэтому . Тогда для интегральной суммы получим

.

Проделаем теперь предельный переход при . В силу равномерной непрерывности функции на отрезке , при этом будет и . Мы получим

, что и дает формулу

.

Обратите внимание на следующие моменты:

1. В отличие от неопределенного интеграла здесь нет возврата к переменной х.

2. Но зато во втором интеграле стоят другие пределы! И это есть тот момент, о котором студенты, решая задачи, часто забывают. Так что НЕ ЗАБЫВАЙТЕ МЕНЯТЬ ПРЕДЕЛЫ!


Вопрос 6. Площадь криволинейной трапеции и криволинейного сектора.
Ответ.

Площадь криволинейной трапеции.



Рис. 7.22

Рассмотрим фигуру, называемую криволинейной трапецией. Ее границами являются: ось ОХ (внизу), прямые х=а (слева) и х=b (справа) и кривая (сверху) (см. рис. 7.22).

Рассмотрим вопрос о вычислении площади этой фигуры.

Разобьем отрезок на части и пусть и . Составим величины и , в которых читатель узнает верхние и нижние суммы Дарбу. Величины и называются внутренней и внешней площадями криволинейной трапеции. Если выполняется равенство , то их общее значение и называется площадью криволинейной трапеции.

Если функция интегрируема на отрезке , то, вспоминая теорию определенного интеграла, можно записать

,

что и определяет площадь криволинейной трапеции.

Более сложные случаи рассмотрены ниже.



Рис. 7.23

Так как площадь не может быть отрицательной, то в этом случае (рис. 7.23)

.



Рис. 7.24

В этом случае очевидно, что (рис. 7.24)





Рис. 7.25

Наконец, в этом случае (рис. 7.25)



Площадь криволинейного сектора



Рис. 7.26

Рассмотрим кривую , , заданную в полярных координатах. Соединим концы кривой прямыми линиями с полюсом системы координат. Получившаяся фигура называется криволинейным сектором (рис. 7.26).

Разобьем отрезок на части и пусть . Пусть далее и .

Построим величины и , имеющие смысл внутренней и внешней площадей криволинейного сектора. Если , то величина Р называется площадью криволинейного сектора. Если функция интегрируема на , то

.

Вопрос 7. Объём тела вращения.
Ответ



Рис. 7.27

Представим себе, что имеется кривая , заданная на отрезке . Пусть эта кривая вращается около оси ОХ. Получающееся тело называется телом вращения (рис. 7.27). Вычислим его объем.

Разобьем отрезок на части и определим и . А каждом отрезке построим цилиндр с радиусом основания и высотой . Все эти цилиндры будут вписаны в наше тело вра-

щения и их общий объем будет равен .

Далее, на каждом отрезке построим цилиндр с радиусом основания и высотой . Все эти цилиндры будут описаны около нашего тело вращения и их общий объем будет равен .

Если , то величина V называется объемом тела вращения. Если функция интегрируема на , то очевидно, что .

Пример.



Рис. 7.28

Очевидно, что шар получается вращением полуокружности около оси ОХ (рис. 7.28). Поэтому объем шара



.







Похожие:

Ответ. Процедура построения определенного интеграла iconОсновные свойства определенного интеграла. Свойства определенного интеграла, выраженные равенствами
При перестановке пределов интегрирования знак определенного интеграла меняется на противоположный
Ответ. Процедура построения определенного интеграла iconПеречень утвержден на заседании кафедры математики и информатики сф башГУ
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение определенного интеграла. Основные свойства
Ответ. Процедура построения определенного интеграла iconЛекция 10 Приложения определенного интеграла План
Определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции равен площади соответствующей криволинейной трапеции. В этом состоит...
Ответ. Процедура построения определенного интеграла iconСвойства определенного интеграла
Используя определение предела интегральных сумм, получаем следующие свойства определенного интеграла
Ответ. Процедура построения определенного интеграла icon13. Приложения определенного интеграла
В этом разделе мы рассмотрим некоторые приложения определённого интеграла, в основном, геометрические к вычислению площадей и объёмов....
Ответ. Процедура построения определенного интеграла iconМетоды вычислений. 3-ий курс • Вычисление определенного интеграла
Вычисление определенного интеграла. Основные понятия. По­становка задачи. Понятия: квадратурной формулы, весовой функции, методической...
Ответ. Процедура построения определенного интеграла iconЛекция 18. Вычисление определенного интеграла
Производная интеграла по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции
Ответ. Процедура построения определенного интеграла iconПриближённые методы вычисления определённых интегралов
Цель: Проверить на практике знание понятия определённого интеграла, умение вычислять табличные интегралы, умение вычислять определённый...
Ответ. Процедура построения определенного интеграла iconИнтегральное исчисление. Часть Несобственный интеграл. Кратные интегралы. Понятие несобственного интеграла
При рассмотрении определенного интеграла как предела интегральных сумм предполагалось, что
Ответ. Процедура построения определенного интеграла iconМетодические указания «Улучшающий генетический алгоритм»
В методических указаниях излагается один из способов построения улучшающих алгоритмов с применением методов эволюционно-генетического...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org