сессия) 2 первообразная функции (неопределенный интеграл) 2



Скачать 130.74 Kb.
Дата09.11.2012
Размер130.74 Kb.
ТипДокументы

ЧАСТЬ 3 (сессия) 2

6. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИИ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ) 2

6.1. Основные понятия 2

Интегрирование, как операция, обратная дифференцированию. Таблица неопределенных интегралов 2

Основные свойства первообразной 2

6.2. Методы нахождения первообразной 2

Использование свойств дифференциала для сведения к табличным интегралам 2

Замена переменной 2

Формула интегрирования по частям. Примеры применения 2

6.3. Интегрирование рациональных функций 3

Представление рациональной функции в виде суммы многочлена и правильной дроби 3

Разложение правильной дроби на элементарные методом неопределенных коэффициентов 3

Интегрирование элементарных дробей 3

6.4. Интегрирование тригонометрических, показательных и гиперболических функций 4

Интегрирование синусов и косинусов кратных дуг 4

Формулы понижения 4

Интегрирование рациональных функций от sin x и cos x 5

Интегрирование рациональных функций от ex. 5

Интегрирование гиперболических функций 5

6.6. Интегрирование иррациональных функций 6

Интегрирование выражений вида 6

Интегрирование выражений вида , , 6

Интегрирование выражений вида (подстановки Эйлера) 6

Интегрирование выражений вида (теорема Чебышева) 6

Глава 2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 7

7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 7

7.1. Понятие интеграла по отрезку и интегрируемой функции 7

Определение интеграла по отрезку. Интегрируемость 7

Пример неинтегрируемой функции 7

Геометрический смысл определенного интеграла 7

Необходимое условие интегрируемости 7

7.2. Суммы и интегралы Дарбу 7

Определение сумм Дарбу 7

Первое свойство сумм Дарбу 8

Второе свойство сумм Дарбу 8

Интегралы Дарбу 8

7.3. Интегрируемые функции 8

Критерий интегрируемости 8

Интегрируемость непрерывной функции 8

Интегрируемость монотонной функции 8

Интегрируемость функции, имеющей конечное число точек разрыва 9

Свойства интегрируемых функций 9

7.4. Теоремы об определенном интеграле 9

Простейшие свойства определенного интеграла 9

Первая интегральная теорема о среднем 10

Формулы Боне 10

Вторая интегральная теорема о среднем 11

Интеграл, как функция верхнего предела (непрерывность) 11

Интеграл, как функция верхнего предела (дифференцируемость) 11

Формула Ньютона-Лейбница 11

Замена переменной в интеграле по отрезку 11

Формула интегрирования по частям для определенного интеграла 11

7.5. Приближенное вычисление интегралов по отрезку 11

Формула прямоугольников. Погрешность формулы 11

Формула трапеций.
Погрешность формулы 12

Формула Симпсона 12

Понятие интерполяционного полинома Лагранжа 12

ЧАСТЬ 3 (сессия)

6. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИИ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)

6.1. Основные понятия

Интегрирование, как операция, обратная дифференцированию. Таблица неопределенных интегралов


Если F'(x)=f(x), то F(x) – первообразная для f(x)

Основные свойства первообразной


1)Если F(x) – первообразная f(x), то

F(x) + const – первообразная f(x)

2)

3)

6.2. Методы нахождения первообразной

Использование свойств дифференциала для сведения к табличным интегралам


ну понятно

Замена переменной


df=f'dx

d(f+const)=df

d(const*f)=const*f'dx


Формула интегрирования по частям. Примеры применения




Примеры:




6.3. Интегрирование рациональных функций

Представление рациональной функции в виде суммы многочлена и правильной дроби


Правильной рациональной дробью называется выражение вида при условии, что степень многочлена в числителе меньше, чем в знаменателе. Как известно из алгебры, любая правильная дробь может быть представлена в виде элементарных дробей. Значит, надо разложить правильную дробь на элементарные и проинтегрировать отдельно каждое слагаемое.

Разложение правильной дроби на элементарные методом неопределенных коэффициентов


I)Разложим знаменатель исходной дроби на множители. Получим

1)либо (x+a)n,

2)либо (x2+px+q)m,

где p2-4q<0

II)Для каждого множителя вида 1 надо написать n слагаемых, для вида 2 – m слагаемых.

III) Приводим к общему знаменателю, раскрываем скобки
IV)Находим коэффициенты в элементарной дроби, приравняя их к иходным.

Интегрирование элементарных дробей


Элементарными дробями называются выражения вида



,

где p2-4q<0
1)

2)

3)

Замена



4)аналогичная замена



5)Выносим в знаменателе.



6)



Приём: вынести С за знак интеграла и домножить на



Затем разделение на 2 интеграла. Первый получается In-1, а второй интегрируем по частям, беря u=x,



7)

Прием: Замена , ,

6.4. Интегрирование тригонометрических, показательных и гиперболических функций

Интегрирование синусов и косинусов кратных дуг


, , интегрируются с помощью формул cossin, coscos, sinsin.

Формулы понижения


а),





- прием – формула понижения.



Прием: раскладываем



Синус квадрат представляем как 1 – косинус квадрат, раскрываем скобки, получаем In-2 и синус в степени на косинус квадрат. Его по частям, беря u=cosx, . В v считаем t=sinx, тогда dt=cosxdx и всё просто дальше сводится.

б),





Прием: домножение на sinx, в знаменателе синус квадрат заменяем как 1 минус косинус квадрат, заменяем сщсинус как t, затем в числителе делаем t+1-(t-1) и домножаем на одну вторую, и в конце получается логарифм, он и есть то, что надо





Приём: замета единички в числителе как синус квадрат + косинус квадрат, вторую скобочку интегрируем по частям, где u=cos x, ну и всё получается

в)

1)Если m нечетное – то замена cosx=t

2)Если n нечетное – замена sinx=t

3)Если оба четных – понижение степени, и получаем косинус в степени m.

г),





Приём – замена



Приём – синус квадрат как единица минус косинус и делить



(Раскладываем тангенс в н как тангенс в н минус 2 и н в квадрате, приводим всё к косинусам, а затем заменяем тангенс икс на t)

Интегрирование рациональных функций от sin x и cos x


Замена

(тогда синус и косинус и дх выражаются). Для синуса и косинуса надо в знаменатель поставить синус квадрат плюс косинус квадрат

Если R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx), то можно сделать замену tgx=t

Интегрирование рациональных функций от ex.


Замена ex=t

Интегрирование гиперболических функций


Замена этих штук реальными штуками, либо аналогично с тригонометрическими, ибо свойства похожи

6.6. Интегрирование иррациональных функций

Интегрирование выражений вида


Замена x=acht, Тогда корень заменяется как ashdt

Интегрирование выражений вида , ,


1ое- x=asht

2ое – x=asint

Замена


Интегрирование выражений вида (подстановки Эйлера)


1) Если a>0



Тогда x=R(z), dx=R(z)

2)C>0



3)D>0


Интегрирование выражений вида (теорема Чебышева)


1) p-целое,

x=zq, где q – общий знаменатель.m и n

2)целое



3) целое. Подстановка


4)В других случаях интеграл невозможно выразить через элементарные фукции

Док-ва – выражаем x, подставляем. Получаем рациональное выражение. Только в 4 пункте без доказательства

Глава 2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

7.1. Понятие интеграла по отрезку и интегрируемой функции

Определение интеграла по отрезку. Интегрируемость


Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b]. Разобьём отрезок на части, на каждой части выберем точку ксикатое. Составим сумму



Если существует конечный предел , который не зависит ни от способа разбиения, ни от ксикатое, то этот предел называется интегралом от f по отрезку [a,b] и обозначается - интеграл Римана

Также по определению

и

А f в этом случае называется интегрируемой на [a,b]

Пример неинтегрируемой функции


Функция Дирихле



От выбора кси зависит, будет ли S=1 или S=0 на интервале от 0 до 1

Геометрический смысл определенного интеграла


=площади криволинейной трапеции, образованной графиком функции, осью x, прямой x=a, прямой x=b, взятая со знаком +, если выше, - - если ниже

Необходимое условие интегрируемости


Функция определена и ограничена на отрезке

7.2. Суммы и интегралы Дарбу

Определение сумм Дарбу


- верхняя сумма Дарбу -

-нижняя сумма Дарбу -

Первое свойство сумм Дарбу


Если к данному разбиению добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу или увеличится, или не изменится, а верхняя – или уменьшится, или не изменится.

Док-во – из определения

Второе свойство сумм Дарбу


Даже для разных разбиений нижняя сумма Дарбу меньше или равна верхней сумме Дарбу.

Док-во – Пусть имеем 2 разбиения – тауодин и таукдва, составляем таутри=тауодин и таудва и делаем очевидные неравенства.

Интегралы Дарбу


Если рассмотрим множество {S(тау)} –ограниченное множество, значит существует суп.

- нижний интеграл Дарбу

- верхний интеграл Дарбу

Очевидно, что



7.3. Интегрируемые функции

Критерий интегрируемости


Чтоб f была интегрируема на [a,b], необходимо и достаточно, чтобы

, гед дельта – длина самого большого отрезка разбиения(дельта – diamтау)

Док-во. Необходимость. Пусть f интегрируема, тогда , то бишь по определению, и это для любого дельта, включая те, где достигается суп и инф или близкие, значит всё меньше эпислон, значит предел обеих S равен I=> утверждение теоремы.

Достаточность: из определения интегралов Дабу получаем неравенства, переносим, переходим к пределам, получаем что разница интегралов стремится к 0, то есть нижний равен верхнему и равен I. Получаем неравенство. Отнимаем Sсчертойнаверху., получаем, что s с чертойвнизу стремится к I, аналогично с с чертой наверху стремится к I, значит любая сумма стремится к I, значит функция интегрируема.

Интегрируемость непрерывной функции


Если f непрерывна на [a,b], то по теореме Кантора равномерно непрерывна. Выписываем это. Берем разбиение, диаметр которого меньше дельта0. тогда разноасть верхней и нижней сумм Дарбу меньше эпсилон(b-a).

Интегрируемость монотонной функции


Если f монотонна и ограничена, то она интегрируема

Док-во. Пусть для определенности f возрастает.

Берем

Тогда верхняя минус нижняя сумма дарбу меньше или равна сумме по ка супремумов ф минус инфинумов ф на определенную дельту, которые, так как функция возрастает, равны соответственно эфотикскатоеплюсодин и эфотикскатое.. Там раскладываем сумму как сумму, и сокращаем всё подряд, получаем эпсилон

Интегрируемость функции, имеющей конечное число точек разрыва


Если функция ограничена и имеет конечное число точек разрыва, то она интегрируема.

Док-во. Пусть точки разрыва x1, x2, … , xm . Рассматриваем множество вида иксодин минус, плюс дельта, иксдва то же самое и т.д. с таким дельта, чтоб отрезки не пересекались и обозначаем его U1, остальное – U2. U2 – множество, на котором функция непрерывна и равномерно непрерывна. Записываем это. По критерию интегрирования записываем. Расписываем сумму. учитываем, В первую собираем все, входящие в У1, в 2ой – входящие в У2. И пишем, чего меньше

Свойства интегрируемых функций


1)Если f и g интегрируемы на [a,b], то f +-g и f*g интегрируемы на [a,b].

Обозначаем Mf=sup(f(x)), Mg=sup(g(x)), омега каоте. Там ищем разницу между верхней и нижней суммами Дарбу.

Про F*g берем x' x'' и рассматриваем f(x')g(x')-f(x'')g(x'') и вычитаем и прибавляем сюда f(x')g(x''). Выносим в скобки, переходим к обозначениям, ставя меньше или равно. Тогда ищем разность верхнего и нижнего интеграла Дарбу

2)Если f интегрируема, то constf интегрируема. Док-во элементарно.

3)Если f интегрируема, то |f| - тоже

4)Если f интегрируема на [a,b], то интегрируема на любой части. И наоборот, если на [a,b] и [b,c], то и на [a,c]

4)На интегрируемость не влияет изменение функции в конечном числе точек.
Док-во. Пишем, что было, и что стало. f измен по отрезкам где меняется – конечное число слагаемых, которое не меняется, если диаметр стреминся к 0, значит вторая сумма <=(колебания на [a,b])(diam разб)(число слагаемых)

7.4. Теоремы об определенном интеграле

Простейшие свойства определенного интеграла


1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)Если


Первая интегральная теорема о среднем


Если f и g интегрируема на [a,b], , такое что



Док-во.

1)

2)

1)интеграл равен 0, тогда записываем неравенство из условия. домножаем на g(x), интегрируем, и применяем, что интеграл от g(x)=0.

2) Берем . Тогда равенство очевидно. Покажем, что мю принаделажит от м до М: берем, что получилось в док-ве 1ого и делим на интеграл же от икс.

Следствие1. Если кроме перечисленных условий f непрерывна, то существует кси в а,б, что эфоткси равно мю, и тогда мю можно заменить на эфоткси.

Следствие2. Если в следствии 1 g=1, то можнов ыраить чере эфоткси и а минус бэ.

Формулы Боне


Если на [a,b] f монотонна и неотрицательна, g интегрируема, то существует C из [a,b], такая что для убывающей функции



Для возрастающей



Док-во. Разобьём [a,b] на части от иксноль, который а, до иксэн, который равен эн.

Расписываем интеграл как сумму маленьких интегральчиков. К f(x) в ней плюсуем и вычитаем эфотикскатое и разделяем на 2 суммы. 1ую обозначаем S1, вторую S2. Пишем, чему меньше модуль первой суммы. Оказывается, что он стремится к 0.

Предполагаем для определенности, что f убывает.

Обозначаем . Тогда в S2 выносим эфотикскатое за интеграл, а интеграл расписываем через G, разделяем на 2 суммы. Функция ограничена, т.к. интегрируема и непрерывна. Показываем это с 2х сторон. Раз епрерывна, значит есть С такое что S2/f(a)=G(c)

Вторая интегральная теорема о среднем


Если f монотонна и ограничена на [a,b], и g интегрируема, т осуществует точка C на промежутке [a,b], такая что



Док-во. Предполагаем для определенности, что f убывает. Тогда интеграл произведения расписываем как сумму интегралов, вычтя и прибавив к f(x) f(b). Затем в первом интеграле выносим за скобку f(a)-f(b) и интеграл делаем до C. Там преобразуем

Интеграл, как функция верхнего предела (непрерывность)


Если f интегрируема, то Ф – непрерывна

Док-во. Ф(t+h)-Ф(t) расписываем. А дальше по интегральной теореме о среднем.

Интеграл, как функция верхнего предела (дифференцируемость)


Если f непрерывна, то Ф дифференцируема, причем Ф'(t)=f(t)

Док-во. ПО определению производной + по следствию из интегральной теоремы о среднем

Формула Ньютона-Лейбница


Если F – первообразная от f, то

Док-во. Пусть

Из теоремы о диф. следуем, что Ф – первообразная( если f непрерывна и первообразная есть). 2 первообразные могут отличаться друг от друга только на константу. Следовательно, Ф(t)=F(t)+C. Подставляем a. Потом расписываем Ф(а) по определению(=0), находим С. Потом подставляем b.

Замена переменной в интеграле по отрезку

Формула интегрирования по частям для определенного интеграла

7.5. Приближенное вычисление интегралов по отрезку

Формула прямоугольников. Погрешность формулы


Идея: Разбиваем на равные части, у каждой выбираем середину тэкатое. Затем суммируем и как площадь



Погрешность: По формуле Тейлора, интегрируем, Затем по теореме о среднем, затем аодставляем, затем суммируем. Получаем, что погрешность пропорциональна единице делить на эн квадрат.

Формула трапеций. Погрешность формулы


Идея: Разбиваем на равные части, у каждой выбираем середину тэкатое. Затем суммируем и как площадь



Погрешность: По формулет Тейлора, теорема о Среднем, интегрируем, ещё формула, получаем, что погрешность пропорциональна эн квадрат.

Формула Симпсона


Уравнение параболы, проходящей через точки:



Собственно, формула:



Где иксики и тэ – из предыдущих формул

Понятие интерполяционного полинома Лагранжа


Рассмотрим отрезок, на котором взяты точки

- многочлен степени n





- многочлен Лагранжа. Идея в том, что функция

Погрешность. Рассматриваем функцию



где

(безо всяких пропусков)







фи имеет эн плюс два нуля. фи штрих – эн плюс один нулей. фи два штриха – эн нулей. фи производная эн плюс один – имеет один нуль. Обозначим его кси.

Дпльше берем проитзводную и подставляем кси. И оттуда выражаем. Получаем, что погрешность пропорциональна 1/(n+1)!

------------------------------------

7.6. Несобственные интегралы

Определение несобственных интегралов

Простейшие свойства несобственных интегралов

Сходимость интегралов от степенной функции

Признак сравнения. Следствие

Признак Дирихле

Признак Абеля

Абсолютная сходимость несобственных интегралов

Главное значение несобственного интеграла (интеграл в смысле Коши)

Похожие:

сессия) 2 первообразная функции (неопределенный интеграл) 2 iconПервообразная. Неопределённый интеграл
Первообразная. Непрерывная функция f ( X ) называется первообразной для функции f ( X ) на промежутке X, если для каждого
сессия) 2 первообразная функции (неопределенный интеграл) 2 iconИнтегрирование функции одного переменного. § Первообразная и неопределенный интеграл
Определение: Функция F(x)=D(a,b) называется первообразной для функции f(x) на (a,b), если F’(x)=f(x)
сессия) 2 первообразная функции (неопределенный интеграл) 2 icon5. Неопределенный интеграл 1 Первообразная и неопределенный интеграл
К числу важных прикладных задач относятся задачи определения закона движения частицы по известной скорости и определения скорости...
сессия) 2 первообразная функции (неопределенный интеграл) 2 iconЛекция 12. Первообразная и неопределённый интеграл. 12 Первообразная функция. Определение
Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно...
сессия) 2 первообразная функции (неопределенный интеграл) 2 iconI. первообразная и неопределенный интеграл
Всякая непрерывная функция имеет бесчисленное первообразная, которое отличаются друг друга на постоянное число
сессия) 2 первообразная функции (неопределенный интеграл) 2 iconИнтегральное исчисление и функции многих переменных Часть Интегральное исчисление
Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенных интегралов. Основные методы интегрирования. Замена переменного и...
сессия) 2 первообразная функции (неопределенный интеграл) 2 iconИнтегральное исчисление первообразная и неопределённый интеграл. Свойства неопределённого интеграла
В интегральном исчислении решается обратная задача: для заданной функции f (X) требуется найти такую функцию f (X), для которой f...
сессия) 2 первообразная функции (неопределенный интеграл) 2 iconВопросы к экзаменам 2 семестр
Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных формул интегрирования
сессия) 2 первообразная функции (неопределенный интеграл) 2 iconМетоды интегрирования: а замена переменной, б по частям. Примеры
Первообразная и неопределенный интеграл. Теорема о виде первообразных. Геометрический смысл неопределенного интеграла
сессия) 2 первообразная функции (неопределенный интеграл) 2 iconЭкзаменационные вопросы Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла
Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование, метод подстановки
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org