Учебное пособие Часть 2 Санкт-Петербург 1993 ббк: В1 М63



Скачать 346.94 Kb.
страница1/4
Дата09.11.2012
Размер346.94 Kb.
ТипУчебное пособие
  1   2   3   4
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Санкт-Петербургский государственный университет

аэрокосмического приборостроения

__________________________________________________________________

Л. А. Мироновский


ИНВАРИАНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ


Учебное пособие

Часть 2



Санкт-Петербург

1993

ББК:В1

М63

УДК 512.7
МИРОНОВСКИЙ Л.А.
Инварианты математических моделей. Учеб.пособие часть 2 / СПГУАП. СПб., 1993. 116 с. ил.

Излагаются основы математической теории инвариантов. Рассматриваются классические инварианты квадратичных и билинейных форм и линейных операторов по отношению к изометрическим, аффинным и другим преобразованиям евклидова пространства.

Текст лекций предназначен для слушателей факультета повышения квалификации преподавателей.

Утверждено редакционно-издательским советом университета


в качестве учебного пособия
© Санкт-Петербургский государственный университет

аэрокосмического приборостроения, 1993

ОГЛАВЛЕНИЕ



ПРЕДИСЛОВИЕ

1. ИНВАРИАНТЫ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ

1.1. Задачи поиска инвариантов квадратичных форм

1.2. Аффинные инварианты

1.3. Изометрические инварианты квадратичной формы

1.4. Унипотентные инварианты квадратичной формы
2. ИНВАРИАНТЫ СОВОКУПНОСТИ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ

2.1. Инварианты пары квадратичных форм

2.2. Инварианты бинарных квадратичных форм

2.3. Результанты, якобианы и гессианы бинарных форм

2.4. Инварианты неоднородных форм
3. ИНВАРИАНТЫ БИЛИНЕЙНЫХ ФОРМ

3.1. Определение и постановка задачи.

3.2. Инварианты эквивалентного преобразования билинейной формы.

3.3. Инварианты конгруэнтного преобразования билинейной формы.
4. ИНВАРИАНТЫ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

4.1. Постановка задачи.

4.2. Аффинные инварианты линейных операторов.

4.3. Критерии подобия матриц.

4.4. Канонические формы матриц.

4.5. Инварианты унитарного подобия.

4.6. Канонические формы для ортогонального подобия.

4.7. Совместные инварианты линейных операторов и однородных форм.

Заключение


Библиографический список

И лишь в одном душа моя тверда:

Я изменяюсь, но не изменяю.

З.Гиппиус. Улыбка




ПРЕДИСЛОВИЕ



Теория инвариантов играет фундаментальную роль в математических, технических и естественных науках. Она дает методологию и конкретный математический аппарат для определения тех свойств, характеристик и параметров исследуемых объектов, которые остаются неизменными при различных преобразованиях этих объектов.
Примерами инвариантов могут служить различные законы сохранения в физике, химии и других науках, фундаментальные физические константы, такие как гравитационная постоянная, скорость света или таинственное число 1/137, встречающееся в атомной физике и биологии.

В математическом моделировании использование инвариантов обеспечивает необходимый уровень строгости и адекватности при построении математических моделей, их конкретный анализ и эффективную вычислительную реализацию. Описание свойств математических моделей и технических объектов в терминах инвариантов обычно обладает большей общностью и глубиной, чем их «координатные» аналоги.

Теория инвариантов как математическая дисциплина возникла в середине прошлого века. Ее создание внесли свой вклад такие выдающиеся ученые, как Лагранж, Кели, Клейн, Гильберт и другие. Сегодня эта теория находит многочисленные применения как внутри математики, так и за ее пределами.

Краткие сведения о классической теории инвариантов и решаемых в ней задачах приведенные ранее изданной работе [1]. Напомним определения основных понятий.

Пусть задано множество объектов М с элементами и группа преобразований G c элементами . Действие преобразования g на объект m приводит к получению объекта , принадлежащего тому же множеству М.

В соответствии с общим определением инвариантов функция , заданная на множестве объектов М, называется инвариантом группы G на множестве М, если для любых , выполняется равенство

Если, например, в качестве объектов рассматривать многоугольники на плоскости, и в качестве преобразований взять группу преобразований подобия, то инвариантами этой группы будут углы многоугольников.

В теории инвариантов различают арифметические и алгебраические инварианты, а также абсолютные и относительные.

Если инвариант может принимать только целочисленные значения , то он называется арифметическим. В противном случае, когда инвариант может принимать произвольные вещественные или комплексные значения ( или , он называется алгебраическим. Только что упомянутые углы многоугольника – это алгебраические инварианты. Примерами арифметических инвариантов могут служить число сторон или вершин многоугольника, размерность фигуры, ее связность, числа Бетти и т.п. Простой пример алгебраических инвариантов с комплексными значениями – собственные числа матрицы (это инварианты преобразования подобия).

Определенные выше инварианты называются абсолютными, поскольку они не изменяют своего значения под действием преобразований. Наряду с ними рассматривают относительные инварианты, которые определяются равенством , где с – коэффициент, не зависящий от m (но зависящий от g). Заметим, что отношение двух относительных инвариантов – абсолютный инвариант.

В приведенном примере относительными инвариантами будут длины сторон многоугольников – все они при преобразовании подобия изменяются в одно и тоже число раз. Отношения длин сторон при этом не изменяются, т.е. являются абсолютными инвариантами.

Следующие определения характеризуют наборы инвариантов данной группы преобразований G. Набор инвариантов называется полным, если из равенства инвариантов двух элементов m1, m2 следует их эквивалентность

Полный набор инвариантов называется минимальным, если при удалении из него любого элемента он теряет свойство полноты. Например совокупность трех углов треугольника образует полный набор инвариантов для преобразования подобия, а совокупность двух любых его углов – минимальный полный набор.

Набор инвариантов (1, …, N) называется базисом, если всякий другой инвариант может быть выражен через них в виде функции F(1, …, N). Если функция F – полином, то базис называется рациональным или алгебраическим.

Очевидно, что всякий базисный набор – полный, однако обратное утверждение в общем случае не имеет места.

При одновременном преобразовании нескольких объектов важную роль играет понятие совместных инвариантов совокупности объектов. Дело в том, что при таком преобразовании не только сохраняются инварианты каждого из них, но появляются новые инварианты. Они отражают взаимосвязь этих объектов, характеризуя, например, их взаимное расположение и поэтому называются совместными.

Например единственным изометрическим инвариантом вектора X является его длина Изометрическими инвариантами пары векторов X, Y будут их длины а также их скалярное произведение . Оно представляет собой их совместный инвариант. Вместо него можно использовать угол  между векторами, который легко выражается через скалярное произведение и длины векторов  = arccos(I3/(I1I2)). Аналогично угол между двумя плоскостями будет их совместным изометрическим инвариантом.

Совместный арифметический инвариант линейной формы и точки b = [b1, ..., bn]T– это значение линейной формы в данной точке, т.е. величина h = c1b1+...+cnbn. Указанный инвариант допускает простое геометрическое истолкование. Он характеризует положение точки b относительно плоскости L(x) = 0. Равенство h = 0 означает принадлежность точки b этой плоскости, а положительные и отрицательные значения h соответствуют точкам, лежащим по разные стороны от плоскости. В теории управления этот инвариант известен как нулевой марковский параметр системы , где Х – вектор состояния, u(t) и y(t) – входной и выходной сигналы системы, b – вектор-столбец, с – вектор-строка. Он совпадает с начальным значением импульсной весовой функции системы, т.е. h = y(0) при u(t) = (t). При h = 0 график весовой функции выходит из начала координат.

Приведенные примеры относились к алгебраическим инвариантам. Точно также вводятся совместные арифметические инварианты. Например, для системы векторов совместным арифметическим инвариантом будет ранг матрицы, составленной из этих векторов.

Аналогичным образом рассматриваются совместные арифметические и алгебраические инварианты линейной и квадратичной формы или пары квадратичных форм, пары линейных операторов и т.п. Соответствующие результаты приводятся в следующих разделах.

В приведенном общем определении инвариантов фигурируют три множества – множество объектов М, множество преобразований G и множество инвариантов Ф. Их взаимосвязь можно проиллюстрировать с помощью диаграммы
  1   2   3   4

Похожие:

Учебное пособие Часть 2 Санкт-Петербург 1993 ббк: В1 М63 iconУчебное пособие Санкт-Петербург Издательство спбгэту «лэти» 2004 ббк чг11
Охватывают центральные районы Европейской России, где сохранялась Советская власть
Учебное пособие Часть 2 Санкт-Петербург 1993 ббк: В1 М63 iconУчебное пособие Санкт-Петербург 2009
Учебное пособие предназначено для студентов II курса химических специальностей
Учебное пособие Часть 2 Санкт-Петербург 1993 ббк: В1 М63 iconУчебное пособие Уфа 2006 удк 519. 8 Б 19 ббк 22. 1: 22. 18 (Я7)
Бакусова С. М. Математика. Часть Математическое программирование / Учебное пособие. Уфа: ООО полиграфстудия «Оптима», 2006. – 71...
Учебное пособие Часть 2 Санкт-Петербург 1993 ббк: В1 М63 iconУчебное пособие санкт-Петербург 2002 удк 316. 6 Ббк 88. 53 С 59 Соколов А. В
Охватывает не только произведе­ния письменности и печати или другие документы, но и те­атральные постановки, художественные выставки,...
Учебное пособие Часть 2 Санкт-Петербург 1993 ббк: В1 М63 iconУчебное пособие Санкт-Петербург 2010 +61(06)
В. П. Романюк, В. С. Лучкевич, И. Л. Самодова. История мировой и отечественной медицины: учебное пособие. – Спб.: Спбгма им. И. И....
Учебное пособие Часть 2 Санкт-Петербург 1993 ббк: В1 М63 iconУчебно-методическое пособие Санкт-Петербург 2005 ббк 81. 1 З-38 Рецензенты
Оно включает также программу учебной дисциплины «Корпусная лингвистика», которая изучается студентами отделения структурной и прикладной...
Учебное пособие Часть 2 Санкт-Петербург 1993 ббк: В1 М63 iconУчебное пособие Санкт-Петербург 2009 Никитин М. В
Данное учебное пособие рассчитано на студентов старших курсов, магистров и аспирантов филологических специальностей и может использоваться...
Учебное пособие Часть 2 Санкт-Петербург 1993 ббк: В1 М63 iconУчебное пособие Санкт-Петербург

Учебное пособие Часть 2 Санкт-Петербург 1993 ббк: В1 М63 iconУчебное пособие Новосибирск 2001 удк 681. 3 Ббк 32. 973-01 в 751 Воробьева А. П., Соппа М. С. Система программирования Турбо паскаль 0: Учебное пособие. Новосибирск: нгасу, 2001. 118 с
Данное учебное пособие написано в рамках изучения курса информатики студентами экономической специальности. В первой части пособия...
Учебное пособие Часть 2 Санкт-Петербург 1993 ббк: В1 М63 iconУчебное пособие Москва, 2009 удк 811. 111 Ббк 81. 2Англ к 893 к 893
Учебное пособие предназначено для студентов продвинутого этапа обучения гуманитарных специальностей. Пособие базируется на оригинальном...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org