Перов Юра, к 06 декабря Упражнение 1



Скачать 46.98 Kb.
Дата09.11.2012
Размер46.98 Kb.
ТипДокументы

Перов Юра, к 06 декабря

Упражнение 1. Доказать, что расстояние от вершины A треугольника ABC до любой внутренней точки меньше, чем длина AB или AC.
Пусть . Тогда точки круга с центром в точке A и радиусом лежат в круге с центром в точке A и радиусом . Любой отрезок с одним концом на окружности, а с другим — внутри окружности, полностью лежит в круге. Таким образом, отрезок BC лежит внутри второго круга, и расстояние до каждой его точки равно или меньше длины AB. Пусть данная точка — точка M. Пусть J — точка пересечения прямых AM и BC. Так как точки M и A лежат в одной полуплоскости относительно прямой BC, то . Из всего доказанного следует, что M лежит внутри второго круга и расстояние до нее меньше, чем длина AB. Для равнобедренного треугольника доказательство аналогично, за исключением того, что оба круга совпадают.
Упражнение 2. Разрешима ли группа ?
Дадим определение знакопеременной группы , нормальной в , по Холлу:

Рассмотрим полином от n переменных: . Если в нем произвести перестановку переменных , то он перейдет в или в . Записывая полином в виде . Видим, что перестановка переводит в и переставляет между собой остальные сомножители первой строки и соответствующие сомножители второй строки, а остальные скобки оставляет без изменений. В результате перестановка переводит в .
Будем называть перестановку четной, если она не изменяет полином , и нечетной, если она переводит его в .

Очевидно, что произведение двух четных подстановок четно, произведение двух нечетных подстановок — четно, а произведение четной и нечетной подстановок и нечетной подстановки на четную — нечетно. Четные подстановки Sn образуют подгруппу An. Так как — нечетная подстановка, смежный класс состоит только из нечетных подстановок. Если — любая подстановка, то одна из подстановок , четная, а другая — нечетная. Так как , смежные классы и исчерпывают всю группу , то есть . Следовательно, — подгруппа индекса 2 в и поэтому она нормальна.
Также по Холлу покажем, что знакопеременная группа , , порождается всеми циклами длины три:

Группа порождается произведениями пар транспозиций. Если две транспозиции одинаковы, то их произведение равно тождественной подстановке. Если они имеют одну общую букву, то , 1. Если они не имеют общих букв, то . (Все элементы различны.)
Добавим к этому еще одно свойство о том, что группа , , порождается произведениями пар независимых транспозиций:

(Все элементы различны.)
На прошлом семинаре мы доказали, что коммутант группы является наименьшей нормальной подгруппой, факторгруппа по которой абелева.
Докажем, что 2. Так как абелева, то . Так как группа не абелева3 и , то 4. Следовательно, при любом n группа содержит все тройные циклы и, значит, совпадает с 5.
Мы доказывали, что 6 нормальна в . Все четыре элемента группы Клейна являются четными, следовательно, лежат в . Таким образом: является абелевой. . Так как не абелева7, то 8. Следовательно, при любом n группа содержит все произведения пар независимых транспозиций и, значит, при совпадает с .
Группа является9 абелевой, соответственно, ее производная имеет порядок 1. Из этого следует, что группы 10 являются разрешимыми, а группы являются неразрешимыми.
Упражнение 3. Доказать, что всякая группа порядка 100 разрешима.



Так как абелева, то .

Следовательно, абелева и . Следовательно, G разрешима на первом или втором шаге.
Используя теорему Бёрнсайда можно утверждать, что любая группа порядка разрешима. (p, q — простые числа; a, b — неотрицательные целые)
Упражнение 4. Доказать, что всякая подгруппа разрешимой группы разрешима.

Пусть H — подгруппа разрешимой группы G. Тогда, по определению , так как подгруппа H' порождена всеми коммутаторами элементов из H, а G' — всеми коммутаторами из G. Отсюда и т. д. Но . Может быть так, что .
Упражнение 5. Доказать, что факторгруппа разрешимой группы по любой ее нормальной подгруппе разрешима.

Пусть ( — канонический гомоморфизм). Тогда любой коммутатор в группе A является образом коммутатора элементов из G, откуда и т. д. Наконец, , откуда , так как , причем опять может быть, .
При выполнении данных упражнений использовалась следующая литература:

  1. Эрнест Борисович Винберг, «Алгебра» (М. : Факториал Пресс, 2001 г.) (особенно много книга использовалась при выполнении второго упражнения),

  2. Маршалл Холл младший, «Теория групп» (М. : Издательство иностранной литературы, 1962 г.),

  3. Михаил Иванович Каргаполов, Юрий Иванович Мерзляков, «Основы теории групп», (М. : Наука, 1982 г.).

1 Почему у Винберга наоборот?

2 Здесь доказательство производится для .

3 Например, .

4 Так как должна совпадать или строго содержаться в .

5 Это доказывается рассмотрением разных коммутаторов, когда «пробегаются» все элементы, по три различных элементов каждый раз.

6 Группа Клейна.

7 Это можно проверить, например, вручную.

8 По теореме Лагранжа . 1 исключается, так как группа не абелева. 6 и 12 исключаются, так как . 3 не подходит, так как тогда группа не будет подгруппой в . 2 не подходит, об этом см. в следующем ДЗ.

9 Это видно, например, из ее таблицы умножения или из того, что мы помним, что минимальная неабелева группа — одна из двух групп порядка 6.

10 Для групп доказательством может случить то, что они абелевы (так как имеют порядок 1 и 2 соответственно), а для то, что ее производная — знакопеременная группа порядка 3, которая также абелева.




Похожие:

Перов Юра, к 06 декабря Упражнение 1 iconПеров Юра, к 29 ноября Упражнение 1
Упражнение Доказать через понятия «действие группы g на множестве X», «орбита», «стабилизатор» первую теорему Силова
Перов Юра, к 06 декабря Упражнение 1 iconПеров Юра, к 04 октября Упражнение 1
Упражнение Доказать, что в группе порядка, где p и q — простые числа, а p делит q – 1, есть подгруппа порядка pq
Перов Юра, к 06 декабря Упражнение 1 iconПеров Юра, к 13 декабря Упражнение 1
Следовательно, если, то это нильпотентная группа класса. Если, то это нильпотентная группа класса Иначе это не нильпотентная группа,...
Перов Юра, к 06 декабря Упражнение 1 iconУпражнение Проверить, что при. Упражнение 2
Упражнение Доказать, что в нильпотентной группе ступени 2 и меньше элементы попарно перестановочны
Перов Юра, к 06 декабря Упражнение 1 iconЗанятие -1 Упражнение -1: а-и-а-я-а-я-о-а-и-и-т-т-з-ф-п-т-т-и-и-е упражнение -2
Упражнение -3: 1(б); 2(в); 3(небожителей); 4(в); 5(г); 6(б); 7(г); 8(а); 9(г); 10(г)
Перов Юра, к 06 декабря Упражнение 1 icon«Мишкина малина» Оборудование
Упражнение По грибыДети встают в круг, поднимают руки вверх и выполняют упражнение на
Перов Юра, к 06 декабря Упражнение 1 iconСтрадательный залог Упражнение 7a
Упражнение 7c. Употребите глаголы в скобках в требуемом по смыслу времени в активном или пассивном залоге. Переведите текст
Перов Юра, к 06 декабря Упражнение 1 iconУпражнение, исправляющее овал лица
Это упражнение приводит в тонус, укрепляет малую и большую скуловые мышцы, вы быстро избавитесь от обвислости в области щек
Перов Юра, к 06 декабря Упражнение 1 iconУпражнение с 1 по 5 Упражнение #1
Пожалуйста поработайте с новой FamilySearch столько времени, сколько сможете. Используйте как можно больше функций. В этом упражнении...
Перов Юра, к 06 декабря Упражнение 1 icon2. расслабление мышц шеи рефлекторно расслабляет мышцы корня языка. Упражнение 1
Упражнение Медленно поглаживать шею сверху вниз в области горла ладонью то правой, то левой руки
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org