Лекция 3 Содержание



Скачать 200.68 Kb.
Дата08.10.2012
Размер200.68 Kb.
ТипЛекция




ЛЕКЦИЯ 3

Содержание

  1. Основные и возбужденные состояния ядра. Диаграмма ядерных уровней.

  2. Квантовые характеристики ядерных состояний. Инвариантность гамильтониана и квантовые числа.

  3. Особенности спинов ядер.

  4. Чётность. Орбитальная и внутренняя четность. Чётность системы частиц.

  5. Тождественность частиц. Статистика. Фермионы и бозоны.

  6. Классические статические электромагнитные моменты ядер.

  7. Квантовомеханические моменты ядер.


1. Основные и возбужденные состояния ядра.

Диаграмма ядерных уровней.

Атомное ядро - система с фиксированной полной энергией. Состояния таких систем называются стационарными. Для них имеет место стационарное уравнение Шредингера
= E. (3.1)

полностью определяется видом гамильтониана .

Состояние с наибольшей энергией связи (наименьшей полной энергией) называют основным. Все остальные состояния (с большей полной энергией) - возбужденные. Диаграмма уровней ядра строится следующим образом (рис.3.1). Нижнему по энергии (наибольшему по энергии связи состоянию) приписывается нулевой индекс и энергия E0=0:

E0 Mc2 = (Z™mp + Nmn)c2 - W0. (3.2)

W0 - энергия связи ядра в основном состоянии.

Энергии Ei (i=1, 2, ...) остальных состояний определяются как

Ei = W0 - Wi, (3.3)

т.е. отсчитываются от основного состояния. Таким образом - это энергии возбуждения. Нижние уровни ядра - дискретны. При Ei>W0 спектр уровней уже непрерывен. При ядерных превращениях (и распадах) происходят переходы между различными стационарными состояниями ядер.




Рис. 3.1

2. Квантовые характеристики ядерных состояний.

Инвариантность гамильтониана и квантовые числа.

Какие физические величины помимо энергии сохраняются в стационарных ядерных состояниях? Этот набор определяется симметрией системы (гамильтониана). А именно, неизменность (инвариантность) гамильтониана относительно определенного преобразования (операции симметрии) приводит к сохранению некоторой физической величины, а значит, и соответствующему квантовому числу:

  1. Инвариантность gif" align=bottom> (системы) относительно сдвига (трансляций) во времени приводит к закону сохранения энергии.

  2. Инвариантность относительно параллельного переноса системы (или осей координат) приводит к закону сохранения импульса.

  3. Инвариантность относительно пространственных поворотов приводит к закону сохранения момента количества движения.

Эти три закона универсальны, т.е. справедливы для всех систем.

Как найти другие сохраняющиеся физические величины (квантовые числа)? Напомним некоторые сведения из квантовой механики. Значение наблюдаемой величины F в состоянии (t) дается средним значением соответствующего оператора (пусть он не зависит от времени):
. (3.4)

Можно легко показать, что сохраняется, т.е. не зависит от времени), если коммутатор операторов Гамильтона системы и обращается в нуль

[,] = - = 0

или более точно

= 0,

т.е. операторы и коммутируют.

Таким образом, нахождение сохраняющейся величины (или соответствующего квантового числа) можно свести к нахождению таких преобразований (операций симметрии), оператор которых коммутирует с .
3. Особенности спинов ядер

Следующим (вслед за энергией E и импульсом) квантовым числом, которое сохраняется у ядра в силу инвариантности к поворотам (см. предыдущий пункт, 3-я инвариантность списка), является полный момент количества движения покоящегося ядра или, как говорят, спин ядра. Спин ядра является результатом сложения спинов и орбитальных моментов частиц (нуклонов), входящих в состав ядра.

Вообще говоря, ядерные состояния (как любой системы частиц) характеризуются также полным орбитальным моментом (в центральном поле) и полным спиновым моментом
, (3.5)

.

В зависимости от типа взаимодействия между частицами возможны следующие варианты объединения орбитальных и спиновых моментов отдельных частиц в полный момент (спин) :
(LS-связь), (3.6)

, где (jj-связь).

Очевидно, для ядра выполнение следующих правил:

а. A - четно J = n (n=0, 1, 2, 3,...), т.е. целое.

б. A - нечетно J = n +1/2, т.е. полуцелое.

Кроме того, экспериментально установлено еще одно правило: у четно-четных ядер в основном состоянии (ground state) Jgs=0.

В основном состоянии остальных ядер

Jgs << .

Все это указывает на взаимную компенсацию моментов нуклонов в основном состоянии - особое свойство межнуклонного взаимодействия.
4. Чётность. Орбитальная и внутренняя чётность.

Чётность системы частиц.

Инвариантность системы (гамильтониана ) относительно пространственного отражения - инверсии (замены -) приводит к закону сохранения чётности и ещё одному квантовому числу - чётности. Ядерный гамильтониан обладает соответствующей симметрией.

Действительно,

, (3.7)

.

Это означает, что система (ядро) не меняет своих свойств при -.

Определим оператор пространственной инверсии (оператор четности) для системы частиц следующим образом:
(3.8)

или просто ,

вводя обозначение .

Подействуем на левую и правую части (3.8) ещё раз оператором :

, (3.9)

т.е. 2 - оператор тождественного преобразования.

С другой стороны удовлетворяет уравнению на собственные значения (т.к. в силу инвариантности к пространственному отражению должно быть соответствующее сохраняющееся квантовое число):

= p. (3.10)

Из (3.9) и (3.10) следует, что

2 = p2 = ,

т.е. p2=1 и p=1.

Итак, имеется две возможности

(3.11)

или

- четные функции (состояния),

- нечетные функции (состояния).

До сих пор волновая функция была волновой функцией системы точечных (бесструктурных) частиц. Вообще говоря, волновая функция частицы с индексом имеет вид
, (3.12)

где описывает внутреннее состояние частицы , а - движение частицы как целого (точечного) объекта по некоторой траектории (орбите). Вид волновой функции в форме (3.12) следует из того, что гамильтониан объекта можно представить как сумму гамильтонианов , где описывает объект как точку (без структуры), а - внутреннюю структуру объекта.

Оператор чётности действует на каждый множитель в :

, (3.13)

причем, если - инвариантен к инверсии в пространстве внутренних координат,

, (3.14)

где - внутренние координаты, а - внутренняя четность (оператор в последнем соотношении совершает инверсию в пространстве внутренних координат частицы, от которых лишь и зависит ).

Волновая функция орбитального движения в центральном поле (т.е. движения с определенным l) может быть представлена в сферических координатах в виде
= R(r)Ylm(™, ). (3.15)

Инверсия - соответствует в сферических координатах преобразованию

r r

- (полярный угол) (3.16)

+ (азимутальный угол),

при котором радиальная часть волновой функции R(r) не меняется, а Ylm(, ) - собственная функция оператора орбитального момента количества движения (так называемая сферическая функция или гармоника) - преобразуется следующим образом

Ylm(, ) = (-1)l Ylm(, ). (3.17)

Итак, имеем

=(-1)l . (3.18)

(-1)l называется орбитальной четностью.

Волновую функцию системы независимых частиц можно представить в виде произведения волновых функций отдельных частиц

, (3.19)

где = .

Откуда, если речь идет о движении частиц в центральном поле,
(1, 2,..., A) = 12...A(1, 2,..., A).

Т.е. чётность такой системы

. (3.20)

Для двух частиц

P12 = 12. (3.21)

В системе центра инерции l1+l2=L - орбитальный момент относительного движения.

Формулы (3.20)-(3.21) можно применять к ядру как системе нуклонов, рассматривая их как независимые частицы в общем ядерном потенциале, а также к реакциям, когда частицы до и после столкновения можно считать невзаимодействующими.

Имеют смысл лишь относительные внутренние четности. Для протона принимают p=+1. Нейтроны имеют ту же внутреннюю четность +1. Остальные внутренние четности определяют относительно протона. Для электрона e=+1. Для фотона =-1 (следствие того, что электромагнитное поле описывается векторным потенциалом , который эквивалентен волновой функции фотона, а для векторной функции

, (3.22)

что позволяет приписать фотону =-1).

Внутренние четности у частиц и античастиц с полуцелым спином (фермионов) противоположны, с целым спином (бозонов) - одинаковы.

Внутренние четности частиц получают из распадов и реакций с участием частиц с известной внутренней четностью на основе закона сохранения четности. Он имеет место в сильных и электромагнитных взаимодействиях и нарушается в слабых.

На рис.3.1 демонстрируются принятые обозначения спина и четности ядерных состояний - , например 0+, 3/2-, и т.д.
5. Тождественность частиц.

Статистика. Фермионы и бозоны.

В микромире частицы одного типа неразличимы, т.е. имеет место принцип тождественности частиц. Перестановка двух одинаковых частиц не меняет состояние системы. Принцип тождественности можно сформулировать и так: гамильтониан системы частиц инвариантен относительно перестановки всех координат двух любых частиц одного типа. Поэтому должна быть новая квантовая характеристика (квантовое число) или сохраняющаяся физическая величина, отвечающая этому преобразованию.

Оператор перестановки 12 и его собственные значения определяются следующим образом:
12(1, 2,..., A) = (2, 1, ..., A) = (1, 2,..., A),

(1, 2,..., A) = 2(1, 2,..., A) = ( 1, 2,..., A).

Поэтому 2=1 и =1.

При =+1 12(1, 2,..., A) = (1, 2,..., A),

и (2, 1, ..., A) = (1, 2,..., A).

Частицы, входящие в состав таких систем, называются бозонами.

При =-1 12(1, 2,..., A) = -(1, 2,..., A),

и (2, 1, ..., A) = -(1, 2,..., A).

Частицы, входящие в состав таких систем, - фермионы.

Примеры: бозонов - , , ; фермионов - p, n, e.

У фермионов в одном состоянии - не более одной частицы (принцип Паули), у бозонов - сколько угодно. В квантовой теории поля показывается, что фермионы имеют полуцелый спин, а бозоны - целый. Лазер существует, т.к. фотоны являются бозонами.

Доказательство принципа Паули:

(2, 1, ..., A) = - (1, 2,..., A).

Пусть частицы 1 и 2 находятся в одинаковом состоянии. Тогда (1,2,...,A) и (2, 1, ..., A) суть одна и та же функция и =-, 2=0, =0, т.е. такого состояния нет.
6. Классические статические электромагнитные моменты ядер

Ядро, как система зарядов и токов, обладает статическими электрическими и магнитными мультипольными моментами. Обычно ограничиваются наблюдаемыми моментами нижайшей (не равной нулю) мультипольности в основном состоянии - электрическим квадрупольным и магнитным дипольным, которые дают ценные сведения о свойствах ядра. Электрический дипольный момент ядра равен нулю, что легко доказывается на основе закона сохранения четности (см. ниже).

Электрические моменты. Если () - плотность распределения электрического заряда в системе, то из классической электродинамики известно, что


есть электрический монополь, т.е. полный (скалярный) заряд системы.

(i=1 (ось x), 2 (y), 3 (z)) (3.23)

есть i-я компонента вектора электрического дипольного момента

.

(3.24)

есть одна из пяти линейно-независимых компонент тензора электрического квадрупольного момента. Электрический квадрупольный момент определяет взаимодействие ядра с градиентом внешнего электрического поля (например, создаваемого электронной оболочкой). При наличии электрического дипольного момента возникает его взаимодействие с напряженностью внешнего электрического поля. При отличии от нуля электрического заряда системы возникает его взаимодействие с внешним электрическим потенциалом.

Величины электрического дипольного и квадрупольного моментов зависят от выбора системы координат. В дальнейшем мы будем использовать так называемую внутреннюю систему координат, когда её начало совпадает с центром распределения заряда и массы. Можно легко показать, что электрический дипольный момент обращается в нуль при совпадении центра заряда с центром массы системы. Равенство нулю ядерного электрического дипольного момента как раз и говорит о таком совпадении.

Будем под электрическим квадрупольным моментом понимать величину

. (3.25)

Если у ядра есть ось симметрии (как, например, у тела вращения), то значение Q0 зависит от ориентации оси z внутренней системы координат относительно этой оси симметрии. |Q0| - максимален, если ось z совпадает с осью симметрии и как раз эту величину и рассматривают как внутренний или классический квадрупольный момент ядра.

Q0 характеризует отличие распределения заряда ядра от сферически симметричного (Q0=0 для сферически симметричного ядра), т.е. характеризует форму ядра (рис.3.2).



Рис. 3.2

Следует подчеркнуть, что ядерный спин направлен всегда вдоль оси симметрии. Это легко понять, пользуясь простой аналогией



Рис. 3.3

с классической механикой и рассматривая как результат вращения ядра как целого вокруг оси. В этом случае ось вращения, совпадающая с вектором спина, и будет осью симметрии.

При Q0>0 ядро - вытянутый вдоль оси z эллипсоид. При Q0<0, ядро является сплюснутым (вдоль z) эллипсоидом (рис.3.2). Данные о ядерных квадрупольных моментах даны на рис.3.3. Квадрупольный момент измеряется в барнах (1б=10-24 см2).

Магнитный дипольный момент. Классическое определение магнитного дипольного момента частицы с массой m и зарядом q

. (3.26)

В микромире аналогом классического момента является магнитный момент орбитального движения

, (3.27)

где - магнетон.

Если выражать в магнетонах, а в , то

[магнетон] = . (3.28)

Обобщая (3.27) на случай магнитного момента, возникающего за счет спина, запишем его в виде

(3.29)

или

[магнетон] = gs (3.30)

где gs - безразмерная константа (спиновой гиромагнитный множитель), учитывающий отклонение собственного (спинового, а значит квантового) магнитного момента от классического (орбитального). В значении скрыта информация о структуре частицы. Можно показать (впервые это было сделано Дираком), что точечная заряженная частица со спином 1/2, массой m и зарядом q (например, электрон) имеет величину собственного магнитного момента

,

т.е. для неё =2. Отклонение от этой величины для частицы со спином 1/2 говорит о внутренней структуре частицы. Экспериментальное определение и их объяснение - важная задача субатомной физики.

Можно ввести, обобщая, и орбитальные гиромагнитные множители gl, которые очевидно равны 1, например,

.

С помощью gl можно включить в эту схему и нейтральные частицы, для которых =0, например, нейтрон, полагая для него
=0.

Магнитные моменты нуклонов и ядер выражают в ядерных магнетонах

3.1510-18 ,

которые в =1836 раз меньше магнетона Бора

5.7910-15 .

Таким образом, магнитный дипольный момент ядра имеет орбитальную и спиновую составляющие:

. (3.31)

Гиромагнитные факторы (g-факторы) нуклонов даны в таблице 3.1.

Таблица 3.1

Гиромагнитные факторы электрона и нуклонов










частица

gl

gs

электрон

1

2

протон

1

5.58

нейтрон

0

-3.83







Рис.3.4

Орбитальный и спиновый магнитный момент частицы


Значения и определены экспериментально (впервые это было сделано Штерном в 1933 г.). Отличие от 2 и неравенство нулю говорит о сложной структуре (неточечности) нуклона, который, как известно, состоит из кварков.

Вводят также понятие гиромагнитного фактора для каждого ядра

. (3.32)

Колинеарность и очевидна, т.к. при вращении заряда магнитный момент должен совпадать или быть противоположным по направлению с . Ценность изучения связана с возможностью получения информации о спинах ядер.

7. Квантовомеханические моменты ядер

Наблюдаемые (квантовомеханические) электромагнитные моменты ядер всегда меньше их внутренних (классических) значений. Это связано с квантовомеханическими свойствами вектора спина ядра , который нельзя заставить ориентироваться точно вдоль фиксированного направления в пространстве (оси z). Этим направлением является, например, направление внешнего поля, используемого для нахождения величин статических моментов. Будем, для определенности, говорить об электрическом квадрупольном моменте ядра в форме вытянутого аксиально симметричного эллипсоида. Вектор спина образует с осью z угол M, определяемый соотношением (рис.3.5):



Рис. 3.5



cos M = ,
где M = J, (J-1), (J-2),..., 1/2(или 0).

В этой связи внешний наблюдатель воспринимает ядро при определенном M не как вытянутый аксиально-симметричный эллипсоид, а как объект, полученный усреднением всех возможных ориентаций этого эллипсоида относительно оси z (при неизменном угле M). При этом конец вектора с равной вероятностью оказывается в любой точке окружности, показанной на рисунке пунктиром. Очевидно, максимальное наблюдаемое значение квадрупольного момента Q отвечает случаю, когда проекция на ось z максимальна, т.е. когда

cos M=J = .

Именно это значение QM=J и принимают за наблюдаемое (квантовомеханическое) значение электрического квадрупольного момента ядра:

Q

, (3.33)

где суммирование по i относится к протонам.

Отличный от нуля квадрупольный момент Q можно обнаружить, помещая ядро в неоднородное электрическое поле E, в котором у ядра возникает дополнительная энергия взаимодействия, пропорциональная Q. Таким полем, например, является электрическое поле электронной оболочки атома, в спектре которого в этом случае появляются добавочные линии сверхтонкой структуры.

Можно показать, что между наблюдаемым и внутренним квадрупольными моментами имеет место соотношение
Q = Q0, (3.34)

откуда получаем, что Q=0 при J=0 и 1/2. Это не означает, что ядро с такими спинами обязательно сферическое. Просто невозможно, изучая взаимодействие такого ядра с внешним неоднородным электрическим полем, “почувствовать” его несферичность, т.к. энергия квадрупольного взаимодействия равна нулю. Для ядра с J=0 это достаточно очевидно, т.к. у такого ядра нет выделенных направлений относительно оси z. Все направления равновероятны.

Наблюдаемый магнитный дипольный момент ядра определяется (аналогично электрическому квадрупольному) как его среднее значение в состоянии с максимальной проекцией спина на ось z (M=J):

, (3.35)

где - оператор магнитного дипольного момента

. (3.36)

Очевидно средние значения операторов x и y , равны нулю.

Величину магнитного момента можно найти, определяя энергию его взаимодействия с внешним магнитным полем
E = -.

В атоме взаимодействие магнитного момента ядра с магнитным полем электронной оболочки приводит к сверхтонкому расщеплению оптического спектра атома. Это дает возможность определить величину магнитного момента ядра (по величине расщепления), а также спин ядра (по количеству линий расщепления).

Наблюдаемые значения квадрупольных моментов ядер показаны на рис.3.3. Обращает на себя внимание следующее:

1. Их равенство нулю для магических ядер (Z, N =2, 8, 20, 50, 82, 126). Магические ядра - сферические. Вообще же сферических ядер мало.

2. Они растут при отходе от магических ядер, достигая наибольших значений в середине между магическими областями.

3. Большие величины квадрупольных моментов характерны для вытянутых ядер (Q>0). Вытянутых ядер больше, чем сплюснутых.

Можно показать прямым вычислением, что внутренний квадрупольный момент однородно заряженного эллипсоида дается выражением

Q0 = Z(b2 - a2), (3.37)

где b и a полуоси (рис.3.5).

Если для оценки степени отклонения формы ядра от сферической ввести параметр деформации и средний радиус , определяемые соотношениями

,

,

то можно записать

Q0 = Z(b2 - a2) = 2. (3.38)

Обычно для ядер <0.6.

Пример. Докажем, что из определенной четности волновой функции системы частиц (например, ядра) следует равенство нулю её электрического дипольного момента:

. (3.39)

Здесь использовано то, что . При определенной четности функция всегда четна и подынтегральная функция в (3.39) нечетна, что и приводит к равенству нулю интеграла, а значит и электрического дипольного момента.

Более строгое выражение для электрического дипольного момента ядра

, (3.40)

где суммирование по i относится к протонам. Это более корректное выражение для не меняет сути доказательства.

Похожие:

Лекция 3 Содержание iconКурс лекций Москва 2008 Содержание Лекция лекция Научные знания в средневековой Руси и окружающем мире 9
Лекция Развитие науки и техники в России в Новое время (вторая пол. XVII-XVIII вв.) 26
Лекция 3 Содержание iconЛекция №1. «Основы общей патологии. Содержание и задачи предмета.» 3
Лекция №2. Нарушение обмена веществ в органах и тканях. Дистрофия, атрофия, некроз
Лекция 3 Содержание iconКурс лекций 2007 Содержание Лекция Распределенные системы Лекция Распределенные задачи и алгоритмы
Охватывают данные нескольких узлов или когда управление распределенной транзакцией осуществляется некоторым внешним узлом
Лекция 3 Содержание iconКраткое содержание лекций № Темы лекций. Краткое содержание. Количество часов
Вводная лекция. Цель и задача курса. Организация изучения дисциплин. Основные понятия и определения. Аксиомы статики
Лекция 3 Содержание iconЛекция "Основные подходы к синтезу программ" Содержание лекции Реализационная семантика формул

Лекция 3 Содержание iconЛекция Основы теории делимости целых чисел
Изложить содержание одного из разделов 4 14 структурно по аналогии с
Лекция 3 Содержание iconЛекция №15 (Теорема 21), [6] Метод покоординатного спуска. Лекция №16 (Теорема 24), [2, 3]
Теория двойственности нелинейного программирования. Лекция №4 (Теорема 10, леммы 5, 6, следствия 1 и 2), Лекция №5 (следствие 3),...
Лекция 3 Содержание iconЛекция №1. Введение. Элементы дифференциальной геометрии. 2 Лекция №2. Свойства скалярных и векторных поле
Лекция №5. Множества Жюлиа, множество Мандельброта и их компьютерное представлени
Лекция 3 Содержание iconЛекция определенный Интеграл Содержание
...
Лекция 3 Содержание iconЛекция 6 Формирование грамматических навыков Содержание обучения
Пассов Е. И. Основы методики обучения иностранным языкам. – М.: Русский язык, 1977. – 216 с
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org