Лекция №6 Общая топология



Скачать 173.6 Kb.
страница1/4
Дата09.11.2012
Размер173.6 Kb.
ТипЛекция
  1   2   3   4
Лекция № 6
Общая топология
Сходящиеся последовательности. На топологические пространства легко переносятся понятия сходимости, непрерывности и т.д.

Определение 1. Последовательность точек топологического пространства называется сходящейся к точке , если любая окрестность точки содержит все точки этой последовательности, начиная с некоторой.

Однако в топологических пространствах понятие сходимости не играет той фундаментальной роли, которая ему принадлежит в метрических пространствах. Дело в том, что в метрическом пространстве точка есть точка прикосновения множества в том и только том случае, когда в существует последовательность, сходящаяся к (см. теорему 2, лекция № 2). В топологических пространствах, вообще говоря, это не так. Из того, что точка есть точка прикосновения для , не вытекает существования в последовательности, сходящейся к .

Пример 1. На отрезке [0,1] назовем открытыми те его подмножества (наряду с пустым множеством), которые получаются из него выбрасыванием любого конечного или счетного числа точек. Эта система множеств есть топология. Действительно, пустое множество и весь отрезок открыты. Объединение любого числа и пересечение любого конечного числа открытых множеств есть такие же множества.

В этом пространстве сходящимися будут только стационарные последовательности, т.е. такие, элементы которых, начиная с некоторого номера, совпадают: , . (Докажите это!). С другой стороны, если мы возьмем в качестве полусегмент gif" name="object17" align=absmiddle width=42 height=19> (с топологией, указанной выше!), то точка 0 будет для точкой прикосновения, но никакая последовательность точек из не сходится к 0 в нашей топологии.

Однако если мы будем рассматривать не произвольные топологические пространства, а пространства с первой аксиомой счетности, т.е. если у каждой точки существует счетная определяющая система окрестностей, то в этом случае каждая точка прикосновения произвольного множества может быть представлена как предел некоторой последовательности точек из .

Действительно, пусть – счетная определяющая система окрестностей точки . Можно считать, что (иначе мы заменили бы на ). Пусть – произвольная точка из , содержащаяся в , . Ясно, что такое существует, иначе не была бы точкой прикосновения для . Последовательность , очевидно, сходится к .

Замечание 1. Первой аксиоме счетности удовлетворяют все метрические пространства. Именно поэтому мы смогли все такие понятия, как замыкание, точка прикосновения и т.д., сформулировать для метрических пространств в терминах сходимости последовательностей.
Непрерывные отображения.

Определение 2. Пусть и – два топологических пространства. Отображение пространства в пространство называется непрерывным в точке , если для любой окрестности точки найдется такая окрестность точки , что . Отображение называется непрерывным (всюду в !), если оно непрерывно в каждой точке .

В частности, непрерывное отображение топологического пространства в числовую прямую называется непрерывной функцией.

Данное нами определение непрерывности отображений носит «локальный» характер, т.е. непрерывность отображения на всем пространстве определяется через непрерывность в каждой точке. Оказывается, что понятие непрерывности отображения одного топологического пространства в другое можно сформулировать в терминах открытых множеств, т.е. в терминах топологии этих пространств.

Теорема 1. Для того чтобы отображение топологического пространства в топологическое пространство было непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы прообраз любого открытого множества был открыт в .

Необходимость. Пусть отображение непрерывно всюду в в смысле определения 2 и пусть – открытое множество в . Докажем, что множество открыто в . Пусть – произвольная точка множества и . Тогда служит окрестностью точки , так как и открыто. По определению непрерывности найдется окрестность точки такая, что , т.е. . Иначе говоря, для любой точки существует окрестность этой точки, содержащаяся в . Но это и означает, что открыто. Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть прообраз любого открытого множества из открыт в . Докажем, что тогда отображение непрерывно в смысле определения 2. Рассмотрим произвольную точку . Пусть и – произвольная окрестность точки . Тогда прообраз открытого множества открыт в и . Таким образом, и для каждой окрестности точки мы указали окрестность точки такую, что ее образ лежит в окрестности точки . Теорема доказана.

Утверждение 1. Пусть имеется отображение (произвольных множеств!)

,

и пусть – произвольное подмножество множества , т.е. . Тогда справедливо равенство

.

Доказательство. Пусть . Имеем следующую цепочку эквивалентных утверждений:

Таким образом, и , откуда и следует, что . Утверждение доказано.

Как следствие, получаем теорему, двойственную теореме 1.

Теорема 1’. Для того чтобы отображение топологического пространства в топологическое пространство было непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы прообраз любого замкнутого множества из был замкнут (в ).

Для непрерывных отображений справедлива теорема, аналогичная хорошо известной из анализа теореме о непрерывности сложной функции.

Теорема 2. Пусть , и – топологические пространства, и пусть

и

есть непрерывные отображения соответственно в и в . Тогда отображение

, т.е.

есть непрерывное отображение пространства в пространство .
  1   2   3   4

Похожие:

Лекция №6 Общая топология iconЛекция №3 Сетевая топология. Адресация. Коммутация. Сетевая топология 1 Топология физических связей 1
Термин топология может употребляться для обозначения двух понятий – физической топологии и логической топологии
Лекция №6 Общая топология iconЛекция №7 Общая топология
Непрерывные отображения компактных пространств, в частности, компактов, обладают рядом интересных и важных свойств
Лекция №6 Общая топология iconЛекция №5 Общая топология
...
Лекция №6 Общая топология iconЛекции  32 часа Экзамен  нет практические(семинарские) занятия 
Топологические пространства, индуцированная топология, топология декартова произведения, топология несвязной суммы, склейки из квадрата....
Лекция №6 Общая топология icon2. 27 Архитектура локальных сетей. Топология, характеристики принципы работы сети fddi
Физическая топология определяется реальным распределением в пространстве сетевого оборудования. Логическая топология описывает направления...
Лекция №6 Общая топология iconОбщая лекция Демонстрации 2 09 Тема Планирование и проведение однофакторного эксперимента Физика, общая

Лекция №6 Общая топология iconПрограмма по дисциплине Теория множеств и общая топология для специальности
Рабочая программа составлена на основании
Лекция №6 Общая топология iconПрограмма молодежной школы-конференции «Современные проблемы алгебры и математической логики»
Полотовский Г. М. (г. Нижний Новгород, Россия) «Топология вещественных алгебраических кривых: история, результаты, методы», лекция...
Лекция №6 Общая топология iconПрограмма курса дифференциальная топология и риманова геометрия
Топология, топологическое пространство. Гомеоморфизм, сравнение топологий. Открытые и замкнутые множества. Внутренность, замыкание...
Лекция №6 Общая топология iconПрограмма вступительного экзамена «Математика» в магистратуру по направлению «Математика»
Топология на множестве. Открытые и замкнутые подмножества. База и предбаза топологии. Ииндуцированная топология. Непрерывные отображения...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org