О концепте числа. Анализ взглядов Кантора и Фреге на природу числа. К вопросу о возможности идеальной математики



Скачать 342.11 Kb.
страница1/3
Дата10.11.2012
Размер342.11 Kb.
ТипАнализ
  1   2   3


Катречко С.Л.

О концепте числа.

Анализ взглядов Кантора и Фреге на природу числа.

К вопросу о возможности идеальной математики.

Послесловие к докладу (Красновидово, 8.09.2002) и тезисный набросок текста статьи от 10.09.02.
(Решил написать эти тезисы сейчас, т.е. 10.09.02, пока нахожусь «в теме» и еще не забыл мысленные ходы доклада, которому, в свою очередь, предшествовало определенное продумывание данной темы (проблемы) на протяжении нескольких дней начала сентября).
В качестве эпиграфа:

В начале было Ничто.

Ничто устало быть Ничем

И решило стать Нечто.

Нечто захотело познать Всё,

поэтому Нечто разделилось на Части

и Части, опасаясь забыть то, как они

превратились в Нечто, разыскали Порядок.

Порядок дал Частям Числа, которые собрали


Части друг с другом в прекрасные Пропорции.

Далее, из Ниоткуда, тесно связанного с


Ничем, пришла Иррациональность.

Иррациональность прямо заявила о том,

что Части На самом деле были Ничто.

Просветившись, Части тихо вернулись обратно в Нечто, которое, как теперь они узнали, в действительности есть Ничто, и представили поиск Всего Числам. (Сара Восс Миф о Числе)
Собственно «фактологическая база» доклада, посвященная анализу взглядов Кантора — Фреге на природу числа, была мной сформулирована ранее (в прошлом 2001 г.) во второй части моего предыдущего текста «К вопросу об «априорности» математического знания» (http://www.philosophy.ru/library/physics/math_conf2001.html) и в последующей «развертке» этой темы в моем ответе на комментарий П. Куслия (см. «Приложение», где эти «куски» собраны воедино). Однако само название доклада говорит о том, что сейчас я более заинтересован не столько в изложении (анализе) взглядов Кантора и Фреге (их концепции я использую подчас в качестве иллюстративного материала), сколько в концептуальном анализе понятия ЧИСЛА. Здесь же попробую тезисно наметить структуру текста статьи (+ и задним числом эксплицировать структуру уже состоявшегося доклада на конференции 8.09.2002 г.).
1. Философия (в моем понимании) занимается концептуальным анализом, или анализом концептов (термин «концепт» употребляется в смысле Ж. Делеза и Ф. Гваттари (см. их совместную работу «Что такое философия?»)). Соответственно, философия математики должна заняться в первую очередь концептуальным анализом основных понятий математики, основу которой составляет понятие ЧИСЛА; ее «категориальной сеткой».


Примечание: Соответственно, философия логики должна заняться концептуальным анализом категориально-понятийной структурой логики и прежде всего анализом понятия ЛОГИЧЕСКОЙ ФОРМЫ. Заметим, что во многом нижеприведенные рассуждения (вплоть до п. 4, см. также п. 5.6.1) о математике применимы и к логике: обе эти дисциплины занимаются сходными предметами — ФОРМАМИ (см. мой «набросок» «Что такое логика?» — http://www.philosophy.ru/library/physics/logic.doc).

1.1. Один из постулатов концептуального анализа, сформулированного Делезом, состоит в том, что любой концепт (понятие, категория) имеет составной (сложный) характер и, соответственно, задача исследователя концептов заключается в том, чтобы выявить сложную структуру концепта, т.е. те «идеи», которые он содержит. Соответственно, наша задача заключается в том, чтобы проанализировать (сложную) структуру концепта ЧИСЛА.

1.2. Прекрасным примером концептуального анализа может служить рассуждение Н. Кузанского о совпадении максимума и минимума. Вот как оно выглядит (более подробный анализ рассуждения дан в моем тексте «Мое понимание философии»; www.philosophy.ru):

«Абсолютный максимум пребывает в полной актуальности, будучи всем, чем он может быть, и по той же причине, по какой он не может быть больше (например, увеличиваться — К. С.), он не может быть и меньше (уменьшаться — К. С.): ведь он есть все то, что может существовать. Но то, меньше чего не может быть ничего (или то, что не может стать меньше — К. С.), есть минимум. Значит, раз максимум таков, как сказано, он очевидным образом совпадает с минимумом … (см. продолжение ниже)

Далее, продолжая это рассуждение, Кузанский проводит концептуальный анализ, выделяет две взаимосвязанные идеи концепта максимума и минимума: максимальность и количественную характеристику. После этого возможно «освобождение» соответствующих концептов от второй из них — идеи количественности, после чего (по первой идее максимальности) максимум и минимум совпадают. Наглядной моделью совпадения максимума и минимума служит, например, замыкание бесконечной прямой (где максимум можно отождествить с правой (бесконечной) точкой, а минимум — с левой) в окружность, где максимально правая (максимум) и максимально левая (минимум) точки совпадают).

Все это для тебя прояснится, если представишь максимум и минимум в количественном определении. Максимальное количество максимально велико, минимальное количество максимально мало; освободи теперь максимум и минимум от количества, вынеся мысленно за скобки «велико» и «мало», и ясно увидишь совпадение максимума и минимума: максимум превосходит все и минимум тоже превосходит все; абсолютное количество не более максимально, чем минимально, потому что максимум его есть через совпадение вместе и минимум» [Об ученом незнании, cтр. 54].
2. Отвечая на вопрос: «что такое математика?», можно, несколько заостряя наш тезис, сказать, что математика есть наука о ЧИСЛЕ. Здесь уместно сказать о двух ослабленных версиях этого тезиса (замечу, что последующее обсуждение уже является концептуальным анализом).

2.1. Во-первых, в более точном смысле наукой о ЧИСЛЕ (как таковом, в узком значении термина) занимается не вся математика, а ее «часть» — арифметика, или алгебра; другая же «половина» математики — геометрия — занимается не ЧИСЛОМ, а ТОЧКОЙ (точкоподобными, или геометрическими объектами), т.е. ослабленная версия тезиса звучит так: математика занимается изучением ЧИСЛА и ТОЧКИ. Контраргументом против этого ослабления являются процедуры «редукции» геометрических объектов к числовым (аналитическая геометрия Декарта, формализация геометрии Гильберта, теоретико-множественная семантика современной математики), а также указание на «близость» числа и точки, что можно выразить терминологически в замене (термина) «числа» на (термин) «числоподобный объект», а ослабленная версия тезиса такова: математика изучает числоподобные объекты.

2.2. Во-вторых, возможно не эмпирическое ослабление (как указание на факт наличия не-числовых математических практик, например геометрии), а логическое ослабление высказанного в п.2 тезиса: тесная увязка МАТЕМАТИКИ с ЧИСЛОм существенно ограничивает область математики, т.к. ЧИСЛО является видовым понятием, например, по отношению к категории КОЛИЧЕСТВА. В ответ на это — возможное — возражение приведу контраргумент (1) и уточняющее замечание (2).

2.2.1. Концепты КОЛИЧЕСТВА и ЧИСЛА могут быть рассмотрены как разные терминологические версии одно и того же концепта: если ЧИСЛО трактовать в расширительном смысле как указание на любой числоподобный объект.

2.2.2. Если уж и выделять родовое, по отношению к понятию ЧИСЛА, понятие, то таковым будет понятие МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФОРМЫ как особой разновидности ФОРМЫ вообще (наряду, например, с музыкальной формой, логической формой и т.д.). Однако термин «математическая форма» не совсем удачен, т.к., во-первых, определяет математику через «математическое…», а, во-вторых, не фиксирует «родовой» характер этой «формы» (в этой связи, более точен термин «математическая метаформа»), которая, в качестве подвидов, включает несколько разновидностей «математической формы», такие как «геометрическая форма», «арифметическая форма»… и не указывает на критерий их выделения в качестве сходных «форм». Если же указать на это сходство (критерий) в явном виде, то можно было бы сказать, что математика занимается абстракциями второго порядка, или количественными формами, в отличие от абстракций первого порядка, или качественных абстракций естественных («физических») наук. Если же учесть п. 2.2.2., который содержит аргумент в пользу отождествления категорий числа и количества, то мы, собственно говоря, и придем снова к первоначально высказанному тезису о том, что математика исследует ЧИСЛО (в его расширительном трактовке: см. об этом ниже), или КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ФОРМЫ.

2.2.2.1. Специфика математики как деятельности с количественными формами выражается и на грамматическом уровне в противопоставлении прилагательных как качественных форм или (качественных) предикатов и числительных как отличных от прилагательных количественных форм или метапредикатов. В этом смысле числовые предикаты (см. чуть подробнее об этом у Фреге) сходны с бытийственными предикатами, которые (как подчеркивали это Аристотель, Кант, Хайдеггер) имеют не-содержательный характер (эта характеристика интерпретируется нами как указание на предикативность второго уровня или метапредикативный характер числовых и бытийных предикатов).

2.3. Наметим кратко еще одну линию нашего концептуального анализа. Отождествление категорий количества и числа позволяет привлечь для рассмотрения результаты гегелевского анализа, который в своей «Науки логике» выделил несколько подтипов количества, что может служить эвристической базой для выделения нескольких подтипов чисел в составе родового понятия ЧИСЛА. Однако сейчас эту тему развивать не будем, указав лишь на ее возможность разработки (вернемся к реализации этой линии анализа позже, когда проясним базовые концептуальные характеристики категории ЧИСЛА).
3. Любое ЧИСЛО — идеально. Уточняя это, принципиальный для меня тезис, можно было бы сказать, что ЧИСЛО имеет символически-идеальный характер. Например, как утверждали некоторые из присутствующих на конференцииi, число пифагорейцев имеет телесный характер, это «камешки» и/или их конфигурации. В этой связи приведу пример с деньгами. Конечно, мы можем трактовать деньги физикалистки-натуралистически как вот эти «физические предметы» (монеты или купюры). Однако не это делает их деньгами. Дело в том, что через физическую — материальную составляющую — в деньгах (символически!) «просвечивает» их не-материальная (=идеальная) сущность. Аналогия вполне уместна и в случае с пифагорейскими «камешками». Здесь существенно не то, что они материальны или «телесны», а то, что они функционируют в своем символическом качестве ЧИСЛА. В этом смысле решающий шаг был сделан именно пифагорейцами и последующее развитие математики по существу ( = в концептуальном плане) не привнесло сюда ничего нового, кроме осознания того, что сущность (природа) ЧИСЛА не в их материальном носителе, т.е. не в пифагорейских «камешках» или, например, современных «цифрах» (где «материальная» составляющая «сокращена» до минимума), а в их идеальной природе (= форме). В этом смысле я готов двумя руками голосовать за тезис (известное выражение): «ЧИСЛА на дороге не валяются», они не-находимы в мире физических вещей, хотя удивительным образом «эффективны» в нем (парафраз известного тезиса Вигнера).

3.1. Если вспомнить о теме предыдущей конференции «Математика и опыт», то можно сформулировать «основную проблему философии математики» как проблему о соотношении не-находимых в мире вещей (идеальных) ЧИСЕЛ и физических (материальных) сущностей.

3.2. Если мы соотнесли концепт ЧИСЛА с концептом ИДЕАЛЬНОГО, то одна из необходимых задач нашего концептуального анализа (в данном случае она имеет вспомогательный характер) состоит в прояснении концепта «идеального». Ограничимся двумя главными смыслами этого концепта.

3.2.1. Во-первых, главный (основной, первоначальный) смысл идеального задается платоно-аристотелевским различение двух «миров»: «мир вещей vs. мир идей» (Платон), или «материя vs. форма» (Аристотель). Т.е. идеальное может быть отождествлено с формальным и в этом смысле математика является не содержательной, а формальной дисциплиной, исследует формально-количественный аспект бытия.

3.2.2. Во-вторых, ЧИСЛО есть не столько результат абстрагирования от материального (что постулируется натуралистической трактовкой числа), сколько идеализированная сущность. Т.е. ЧИСЛО есть результат идеализации, или гуссерлевской идеации (второй смысловой момент концепта идеальное). Для прояснения различения абстрагирования и идеализации (абстракция vs. идеализация) обратимся в кантовскому различения аналитического и синтетического, которое на наш взгляд является ключом к ее решению проблемы «эффективности» математики. Абстрактное всегда «вторично», или аналитично, оно «выводимо» из первичного (конкретного, целостного) основания абстрагирования. Поэтому, если математические сущности абстрактны, то неясно как они могут быть эвристичны. Идеальное же (как результат идеализации) — синтетично, содержит новые смыслы, которые при «переносе» на мир вещей (мир физического — материального) дают нечто «новое». Поэтому математика и «открывает» нечто новое в мире вещей, является «непостижимо эффективным» инструментом выявления новых аспектов, связей и соотношений. Наверное, одним из самых наглядных примеров «привнесения» нового может быть идея симметрии (ср. с кантовской рефлективной способностью суждения, которая «привносит» эстетические идеи в природный мир).

3.2.2.1 Возвращаясь к нашей полемике с А.Г. Барабашевым и (приватной полемике с А.Н. Кричевцом) по поводу кантовского априоризма и роли рефлективной способности суждения в математике, уточню свою позицию (в п. 8.4 своего комментария на текст А.Г. Барабашева «Можно ли говорить о регрессе кантовского априоризма?» я высказал принципиальный для меня тезис о том, что Кант не находит места рефлектирующей способности суждения в процессе опытного познания природы; http://www.philosophy.ru/library/physics/katr_barabashev.doc). Рефлективная способность суждения для реального познания скорее «опасна», т.к. привносит туда слишком много фикций. Однако эти фикции (= эстетические идеи по Канту) отнюдь не бесполезны и обладают мощным эвристическим потенциалом. «Опасность» же связана с тем, что мы забываем об их фантазийно-антропоморфном характере и придаем этим субъективно-эстетическим образованиям (идеям) объективный статус, например натурализуем (онтологизируем) «красоту» или «замысел», которых (как таковых) в природе нет.
Промежуточный итог из пп. 1—3: математика — это наука о мыслимом и «работает» с символически-идеальной количественной формой — ЧИСЛОМ.

Примечание: Соответственно, логика тоже является наукой о мыслимом, абстрактно-идеальном, т.е. изучает законы мыслимого мира. Заметим, что это принципиально отличается от стандартного понимания логики как науке о мышлении. Законы логики — это не законы мышления, а законы области мыслимого! Тем самым снимается множество оговорок об отличии логики и психологии, поскольку психология занимается изучением (материального) мышления, законами психической деятельности).

4. Бытие в целом и область идеального имеет «слоистую» структуру. Этот тезис непосредственно восходит к построениям Н. Гартмана (см. его «Новую онтологию»; математический аналог «слоистости» — теорией типов Рассела), хотя указание на эту слоистость мы можем обнаружить уже в работах Аристотеля (учение Аристотеля о гилеоморфизме). Критерием различения разных областей бытия может служит «пространственно-временная пара» (+ возможное отрицание каждой из этих характеристик), которая задает три области бытия: 1. область пространственно-временного (физический мир, мир физических объектов); 2. область пространственно-невременного; 3. область непространственного — невременного. (О том, что представляет собой область непространственного — временного, или развивающегося идеального см. статью А.М. Анисова «Типы существования» в журнале «Вопросы философии» №7, 2001; наш анализ этой возможной динамической составляющей области идеального пока не учитывает).
5. (как «следствие» п. 2— 3 и п. 4)
  1   2   3

Похожие:

О концепте числа. Анализ взглядов Кантора и Фреге на природу числа. К вопросу о возможности идеальной математики iconПриложение 2 История возникновения комплексных чисел
Число – одно из основных понятий математики в глубокой древности. На протяжении веков это понятие постепенно подвергалось расширению...
О концепте числа. Анализ взглядов Кантора и Фреге на природу числа. К вопросу о возможности идеальной математики iconЗадание к теме Основные содержательные линии школьного курса математики
Линия числа (приближенные вычисления, иррациональные числа, множество действительных чисел, стандартный вид числа)
О концепте числа. Анализ взглядов Кантора и Фреге на природу числа. К вопросу о возможности идеальной математики iconИсследование о понятии числа перевод В. А. Суровцева Томск: Издательство «Водолей», 2000 логицистская программа г. Фреге
Выход из ситуации был найден великим немецким логиком Г. Фреге, который взамен математизированной логики предложил логизированную...
О концепте числа. Анализ взглядов Кантора и Фреге на природу числа. К вопросу о возможности идеальной математики iconИсторический очерк я знаю Фигурные числа
Я учусь в 6 классе. На уроках математики мы познакомились с простыми и составными числами. Мне стало интересно: а существуют ли еще...
О концепте числа. Анализ взглядов Кантора и Фреге на природу числа. К вопросу о возможности идеальной математики iconРазработка урока математики, 6 класс Учитель математики Коробенко И. В. II квалификационная категория
Рассмотрите внимательно числа данного ряда, установите закономерность и продолжите ряд на четыре числа
О концепте числа. Анализ взглядов Кантора и Фреге на природу числа. К вопросу о возможности идеальной математики iconДействительные числа рациональные числа
...
О концепте числа. Анализ взглядов Кантора и Фреге на природу числа. К вопросу о возможности идеальной математики iconПрограмма вступительных испытаний Числа и вычисления
Квадрат и куб натурального числа. Простые и составные числа. Делитель, кратное. Четные и нечетные числа. Признаки делимости на 2,...
О концепте числа. Анализ взглядов Кантора и Фреге на природу числа. К вопросу о возможности идеальной математики iconТематический план практических занятий по дисциплине «Математический анализ»
Тем Комплексные числа и действия над ними. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Формула Муавра. Показательная...
О концепте числа. Анализ взглядов Кантора и Фреге на природу числа. К вопросу о возможности идеальной математики iconПростые числа Натуральные числа можно поделить на простые и составные числа
Каждое натуральное число, большее единицы, делится, по крайней мере, на два числа: на 1 и на само себя
О концепте числа. Анализ взглядов Кантора и Фреге на природу числа. К вопросу о возможности идеальной математики icon1 линейные числа 2 плоские числа
Вот почему Аристотель писал: "Точка есть единица, имеющая положение, единица есть точка без положения". Т. о пифагорейские числа...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org