Программа дисциплины Спецкурс «Теория представлений в нецелых размерностях» для направления 010100. 62 «Математика»



Скачать 94.99 Kb.
Дата11.09.2014
Размер94.99 Kb.
ТипПрограмма дисциплины
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"

Факультет Математики



Программа дисциплины Спецкурс «Теория представлений в нецелых размерностях»

для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра

и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра

Автор программы:

Рыбников Л.Г., к.ф.-м.н., leo.rybnikov@gmail.com

Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2011 г.

Председатель С.М. Хорошкин
Утверждена УС факультета математики «___»_____________2011 г.

Ученый секретарь Ю.М. Бурман ________________________

Москва, 2011

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

1Область применения и нормативные ссылки


Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра.



Программа разработана в соответствии с:

  • ГОС ВПО;

  • Образовательными программами: 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра.

  • Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2011 г.


2Цели освоения дисциплины


Целями освоения дисциплины "Теория представлений в нецелых размерностях" являются

  1. получение представления об основных структурах, объектах и задачах теории представлений алгебраических групп;

  2. получение знания об основных понятиях и результатах классической теории инвариантов;

  3. получение представления о современных методах теории представлений;

  4. развитие математической интуиции.


3Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины


В результате освоения дисциплины студент должен:

  • Знать основные факты теории представлений классических групп.

  • Свободно пользоваться техникой тензорных категорий в представленческих задачах.

  • Приобрести опыт самостоятельного разбора оригинальных статей.



4Место дисциплины в структуре образовательной программы


Настоящая дисциплина относится к циклу специальных дисциплин и блоку дисциплин по выбору.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:

  • Алгебра, алгебраическая геометрия

Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями:

  • Владение теорией представлений конечных групп (вплоть до классификации неприводимых представлений симметрической группы над полем характеристики нуль). Знание начал алгебраической геометрии (аффинные алгебраические многообразия, функтор точек).

  • Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:

  • Классические группы, их инварианты и представления


5Тематический план учебной дисциплины


1 курс магистратуры



Название раздела

Всего часов

Аудиторные часы

Самостоя­тельная работа

Лекции

Семинары

Практические занятия

1

Представления полной линейной группы, двойственность Шура—Вейля и функторы Шура.

18

8







10

2

Нейтральные таннакиевы категории. Восстановление алгебраической группы по тензорной категории ее представлений.

18

8







10

3

Примеры жестких симметрических тензорных категорий, не допускающих функтора слоя: GL_t, S_t, O_t, где t – непрерывный параметр.

18

8







10

4

Теорема Делиня о существовании (супер) функтора слоя.

18

8







10




Итого:

72

32







40

2 курс магистратуры





Название раздела

Всего часов

Аудиторные часы

Самостоя­тельная работа

Лекции

Семинары

Практические занятия

1

Представления полной линейной группы, двойственность Шура—Вейля и функторы Шура.

30

8







22

2

Нейтральные таннакиевы категории. Восстановление алгебраической группы по тензорной категории ее представлений.

32

8







24

3

Примеры жестких симметрических тензорных категорий, не допускающих функтора слоя: GL_t, S_t, O_t, где t – непрерывный параметр.

32

8







24

4

Теорема Делиня о существовании (супер) функтора слоя.

32

8







24




Итого:

126

32







94


6Формы контроля знаний студентов


Тип контроля

Форма контроля

1 год

Параметры **

1

2

3

4

Текущий

(неделя)


Контрольная работа

*

8







Письменная работа 90 мин

Итоговый

Зачет




v







Устная зачетная работа


6.1Критерии оценки знаний, навыков


Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.

7Содержание дисциплины


  1. Раздел 1 Представления полной линейной группы, двойственность Шура—Вейля и функторы Шура.

На лекциях предполагается разбор следующих тем:

      1. Представления полной линейной группы. 2 ч.

      2. Представления симметрической группы. 2 ч.

      3. Двойственность Шура—Вейля. 2 ч.

      4. Полная приводимость конечномерных представлений полной линейной группы. 2 ч.

Литература по разделу: Вейль Г. Классические группы. Их инварианты и представления. М: ИЛ, 1947 Roger Howe, Perspectives on invariant theory: Schur duality, multiplicity-free actions and beyond. The Schur lectures (1992) (Tel Aviv), 1–182, Israel Math. Conf. Proc., 8, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1995. .






  1. Раздел 2 Нейтральные таннакиевы категории. Восстановление алгебраической группы по тензорной категории ее представлений.



На лекциях предполагается разбор следующих тем:

      1. Аксиомы жесткой тензорной категории. 2 ч.

      2. Аффинные групповые схемы и аффинные алгебраические группы. 2 ч.

      3. Тензорные функторы. 2 ч.

      4. Аффинная алгебраическая группа как группа автоморфизмов забывающего функтора (слоя). 2 ч.

Литература по разделу: Deligne, P., and Milne, J.S., Tannakian Categories, in Hodge Cycles, Motives, and Shimura Varieties, LNM 900, 1982, pp. 101-228 .






  1. Раздел 3 Примеры жестких симметрических тензорных категорий, не допускающих функтора слоя: GL_t, S_t, O_t, где t – непрерывный параметр.



На лекциях предполагается разбор следующих тем:

      1. Категория Rep GL_t. Карубиево замыкание и полупростота. 2 ч.

      2. Категория Rep S_t. 2 ч.

      3. Конструкция Кнопа. 2 ч.

      4. Исключительная серия Делиня. 2 ч.

Литература по разделу:J. Comes and V. Ostrik, On blocks of Deligne' category Rep S_t, http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0910/0910.5695v1.pdf.


F.Knop, A construction of semisimple tensor categories. http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0605/0605126v2.pdf.
Akhil Mathew, Categories parametized by schemes and representation theory in complex rank. http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1006/1006.1381v1.pdf.


  1. Раздел 4 Теорема Делиня о существовании (супер) функтора слоя.

На лекциях предполагается разбор следующих тем:



      1. Примеры алгебраических супергрупп. 2 ч.

      2. Алгебры в произвольной тензорной категории. 2 ч.

      3. Лемма Делиня о функторах Шура. 2 ч.

      4. Доказательство теоремы Делиня. 2 ч.

Литература по разделу:


P. Deligne, Cat´egories tensorielles, Moscow Math. Journal 2 (2002) no. 2, 227-248. (см. также V.Ostrik, Tensor categories (After P.Deligne), http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0401/0401347v1.pdf ).


8Образовательные технологии


На лекции даются необходимые определения и доказываются ключевые теоремы курса, разбираются поучительные примеры. Для самостоятельной работы студентам даются задачи исследовательского характера, требующие работы с источниками.

9Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

9.1Примеры заданий промежуточного /итогового контроля





  1. Применив конструкцию Кнопа, постройте жесткую тензорную категорию $Rep\ GL_t(\mathbb{F}_q)$, где $q$ фиксировано, а $t$ – параметр.

  2. Покажите, что при $t\in\zz$ категория $Rep\ GL_t$ допускает бесконечное множество попарно неизоморфных тензорных функторов $Rep\ GL_t\to SVect_k$.


10Порядок формирования оценок по дисциплине


Оценка за текущий, промежуточный и итоговый контроль выставляется по 10 балльной

шкале.
Результирующая оценка за итоговый контроль складывается из результатов накопленной результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой составляет k1 = 0,5 и оценки за зачет, удельный вес k2 = 0,5.



Оитоговый = 0,5 * Отекущий + 0,5 * Озачет

Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме зачета/экзамена в пользу студента.


Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.
В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей оценкой по учебной дисциплине.


11Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

11.1Базовый учебник


Deligne, P., and Milne, J.S., Tannakian Categories, in Hodge Cycles, Motives, and Shimura Varieties, LNM 900, 1982, pp. 101-228 (см также http://www.jmilne.org/math/xnotes/tc.pdf ).

11.2Основная литература


P. Deligne, Cat´egories tensorielles, Moscow Math. Journal 2 (2002) no. 2, 227-248. (см. также V.Ostrik, Tensor categories (After P.Deligne), http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0401/0401347v1.pdf ).
J. Comes and V. Ostrik, On blocks of Deligne' category Rep S_t, http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0910/0910.5695v1.pdf.
F.Knop, A construction of semisimple tensor categories. http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0605/0605126v2.pdf.
Akhil Mathew, Categories parametized by schemes and representation theory in complex rank. http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1006/1006.1381v1.pdf.
Вейль Г. Классические группы. Их инварианты и представления. М: ИЛ, 1947

Roger Howe, Perspectives on invariant theory: Schur duality, multiplicity-free actions and beyond. The Schur lectures (1992) (Tel Aviv), 1–182, Israel Math. Conf. Proc., 8, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1995.

Похожие:

Программа дисциплины Спецкурс «Теория представлений в нецелых размерностях» для направления 010100. 62 «Математика» iconПрограмма дисциплины Спецкурс «Теория представлений алгебры Вирасо и конформная теория поля 2»
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100. 62 «Математика»...
Программа дисциплины Спецкурс «Теория представлений в нецелых размерностях» для направления 010100. 62 «Математика» iconПрограмма дисциплины Спецкурс «Теория представлений алгебры Вирасо и конформная теория поля 1»
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100. 62 «Математика»...
Программа дисциплины Спецкурс «Теория представлений в нецелых размерностях» для направления 010100. 62 «Математика» iconПрограмма дисциплины Спецкурс «Теория представлений алгебры Вирасо и конформная теория поля 1»
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100. 62 «Математика»...
Программа дисциплины Спецкурс «Теория представлений в нецелых размерностях» для направления 010100. 62 «Математика» iconПрограмма дисциплины Спецкурс «Теория Галуа 1»
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100. 62 «Математика»...
Программа дисциплины Спецкурс «Теория представлений в нецелых размерностях» для направления 010100. 62 «Математика» iconПрограмма дисциплины Спецкурс «Теория Галуа 2»
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100. 62 «Математика»...
Программа дисциплины Спецкурс «Теория представлений в нецелых размерностях» для направления 010100. 62 «Математика» iconПрограмма дисциплины Спецкурс «Теория Морса»
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100. 62 «Математика»...
Программа дисциплины Спецкурс «Теория представлений в нецелых размерностях» для направления 010100. 62 «Математика» iconПрограмма дисциплины Спецкурс «Аксиоматическая теория множеств»
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100. 62 «Математика»...
Программа дисциплины Спецкурс «Теория представлений в нецелых размерностях» для направления 010100. 62 «Математика» iconПрограмма дисциплины Спецкурс «Соболевские пространства и геометрическая теория меры»
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100. 62 «Математика»...
Программа дисциплины Спецкурс «Теория представлений в нецелых размерностях» для направления 010100. 62 «Математика» iconПрограмма дисциплины Спецкурс «Бесконечномерный гармонический анализ»
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100. 62 «Математика»...
Программа дисциплины Спецкурс «Теория представлений в нецелых размерностях» для направления 010100. 62 «Математика» iconПрограмма дисциплины Спецкурс «Избранные главы дискретной математики»
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100. 62 «Математика»...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org