4. о векторном операторе, обратном дифференциальному векторному оператору



Скачать 78.32 Kb.
Дата18.09.2014
Размер78.32 Kb.
ТипДокументы

4. О ВЕКТОРНОМ ОПЕРАТОРЕ, ОБРАТНОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ ВЕКТОРНОМУ ОПЕРАТОРУ «РОТОР»





    1. Определение векторного оператора, выполняющего действие, обратное векторному преобразованию дифференциального векторного оператора «ротор»

4.1.1. Дифференциальный векторный оператор «ротор» выполняет операцию преобразования векторов в пространстве и операцию дифференцирования, то есть является сложным оператором, осуществляющим сразу два вида действий. Это прямо следует из его определения [12]:

,

где а – вектор, i, j, k – единичные векторы в направлении осей прямоугольной (декартовой) системы координат x, y и z, соответственно. При этом оператор, обратный оператору «ротор», в векторном анализе не определен, хотя каждое из выполняемых им преобразований, в принципе, обратимо.

Геометрическая иллюстрация пространственного преобразования вектора а в вектор rot(a), осуществляемая с помощью оператора «ротор», показана на Рис.1.



Рис.4.1. Геометрическое представление вектора а и векторного поля, образованного оператором «ротор».

Определение 1. Если два взаимосвязанных векторных поля, представленные векторами а и b, имеют производные по пространственным переменным x, y, z (в виде rota и rotb) и производные по времени, а/t и b/t, причем производная вектора а по времени ортогональна производным по пространственным переменным вектора b, и наоборот, производная по времени вектора b ортогональна производным по пространственным переменным вектора а, то существует векторный оператор, осуществляющий пространственное преобразование векторного поля, не затрагивающее операцию дифференцирования, который условно назовем оператором «rerot», (противоположно закрученный или «реверсивный ротор») такой, что:

и ; (4.1)

и . (4.1*)

4.2. Свойства векторного оператора «реверсивный ротор»

4.2.1. Векторный оператор «реверсивный ротор» действует только на производные вектора.

4.2.2.

Векторный оператор «реверсивный ротор» располагается перед производной вектора, на которую он действует.

4.2.3. Константы и числовые коэффициенты при производных вектора могут быть вынесены за пределы действия векторных операторов:



;

,

где c  константа.

4.2.4. Векторный оператор «реверсивный ротор» действует на каждое из слагаемых уравнения, содержащего сумму векторных производных:

,

где c и d  константы.

4.2.5. Результат действия векторного оператора «реверсивный ротор» на ноль есть ноль:

.

При этом результат действия векторного оператора «реверсивный ротор» на другие константы, в том числе на вектор, согласно пункту 4.2.1, не определен.



4.3. Пример применения оператора «реверсивный ротор»

Применим оператор «реверсивный ротор» к уравнению, содержащему взаимосвязанные векторы a и b:



. (4.2)

, откуда следует:

. (4.3)

Если теперь к вновь образованному равенству (4.3) еще раз применить оператор «реверсивный ротор», то получим:



или

, или окончательно:

. (4.2)

Последовательное двойное (или любое четное) применение оператора «реверсивный ротор» приводит к исходному равенству. Этим самым векторный оператор «реверсивный ротор» осуществляет не только взаимное преобразование дифференциальных уравнений взаимосвязанных векторных полей, но и устанавливает эквивалентность этих уравнений.

Геометрически это выглядит так. Оператор «ротор» дифференцирует и как бы закручивает прямолинейное векторное поле, делая его вихревым и ортогональным исходному векторному полю. Векторный оператор «реверсивный ротор» выполняет векторное преобразование, которое как бы раскручивает вихревое поле, закрученное оператором «ротор», превращая его в изменяющееся невихревое поле, представленное производной вектора по времени. Поскольку интегрирование не производится, производная вектора по времени соответствует изменению величины вектора. В результате имеем изменение вектора, величина которого изменяется в единственном направлении, ортогональном пространственным переменным оператора «ротор». И наоборот, векторный оператор «реверсивный ротор» закручивает невихревое изменяющееся векторное поле, представленное производной вектора по времени, превращая его в вихревое пространственное векторное поле, ортогональное исходной производной вектора по времени. Так как направление «кручения» оператора «реверсивный ротор» противоположно направлению, осуществляемому оператором «ротор», то знак вновь образованного вихревого поля выбирается противоположным (отрицательным). То есть векторный оператор «реверсивный ротор» выполняет действие, обратное пространственному преобразованию оператора «ротор» на всем «пространстве» производных векторных полей. В то же время векторный оператор «реверсивный ротор» сам не дифференцирует вектор, на производную которого он действует. Этим самым осуществляется тождественное обратимое векторное преобразование.

Если ввести интегральный векторный оператор, восстанавливающий не производную вектора, а сам вектор из ротора вектора (условно назовем такой оператор оператором «антиротор»), то такой оператор наряду с обратным векторным преобразованием одновременно должен производить операцию интегрирования.



4.4. Определение векторного оператора «реверсивный ротор», применимого к физическим полям

При применении векторного оператора «реверсивный ротор» к физическим векторным полям необходимо учитывать изменение размерности правой и левой частей уравнения из-за перестановки переменных x, y, z и t при преобразовании. Обозначим размерность координат – метр (L), а времени – секунда (T).



Определение 2. Для физических векторных полей векторный оператор «реверсивный ротор», определяется следующим образом:

и ; (4.4)

и . (4.4*)

Обозначая размерное отношение L/T, как константу v, имеющую размерность скорости, [м/с], уравнения (4) и (4*) можно представить в виде:



и ; (4.5)

и . (4.5*)

Применение оператора «реверсивный ротор» к физическим полям

Применим векторный оператор «реверсивный ротор», определенный уравнениями (4.5), (4.5*), к уравнению



, (4.6)

связывающему реальные физические поля E и B в электродинамике:



;

, что преобразуется к виду:

. (4.7)

Применим теперь векторный оператор «реверсивный ротор» к уравнению (4.7):



;

.

После сокращения размерного коэффициента получается исходное уравнение (4.6).

Электродинамическая постоянная «v» не зависит ни от величины полей, ни от скорости их изменения и, как следует из волнового уравнения, соответствует скорости распространения волны электромагнитного взаимодействия, c2.99792458108 м/c, которая называется также скоростью света в вакууме.

На примере уравнений Максвелла для электрического и магнитного полей в вакууме видно, что векторный оператор «реверсивный ротор», с учетом размерности координат и времени, применим к преобразованиям реальных физических полей. С его помощью из уравнения, представляющего собой закон электромагнитной индукции Фарадея, естественным образом вытекает одно из основных уравнений электродинамики  уравнение Максвелла, которое не следует ни из эксперимента, ни из известных физических законов. Уравнения (4.6) и (4.7) являются взаимосвязанными, трансформируемыми друг в друга при помощи векторного преобразования, что соответствует их физической эквивалентности. Поэтому справедливость одного из этих уравнений, установленная в виде физического закона (в данном случае  это закон электромагнитной индукции Фарадея) является достаточным условием для утверждения о справедливости второго уравнения (уравнения Максвелла (4.7)) в качестве эквивалентного физического закона.



4.5. Трансформация векторных полей.

Если исходить из определения оператора «ротор», то действие векторного оператора «обратный ротор», казалось бы, можно представить в виде, показанном на Рис. 4.2, где предполагается некоторая тождественность векторных полей до и после векторного преобразования дифференциальным векторным оператором «ротор».

Проверим это предположение. Применим оператор «реверсивный ротор» к уравнению:

.

, откуда следует:

.

Полученное равенство изменяет направление векторов в исходном определении дифференциального векторного оператора «ротор», что недопустимо.

Поэтому .



Рис. 4.2. Результат отождествления векторных полей до и после векторного преобразования «ротор». Направление полей не соответствует исходному определению оператора «ротор», показанному на (Рис. 4.1): «правый винт» превращается в «левый винт».
Применение векторного оператора «реверсивный ротор» к производным одного и того же векторного поля показывает принципиальное различие между векторным полем до применения, и векторным полем после применения оператора «ротор». Это означает необходимость представлять поле вектора а и поле вектора rot(а) как трансформируемые друг в друга, но различные векторные поля.

Исходное векторное поле, представленное вектором а, будем считать первичным (причиной), а поле, образованное векторным преобразованием оператора «ротор», будем считать вторичным полем (следствием действия оператора «ротор») и обозначим его, как поле векторов b. Тогда обратное преобразование векторных полей, не затрагивающее операции дифференцирования, во введенных таким образом обозначениях будет иметь вид, показанный на Рис. 4.3.



В электродинамике в некоторых простейших случаях переход к вращающейся системе отсчета, внутри которой исчезает вращение, приводит к отсутствию сил со стороны магнитного поля, и силовое воздействие может быть представлено только силой со стороны электрического поля. Но из этого никак не следует вывод, что магнитного поля нет или оно всегда может быть заменено электрическим полем. Частный случай векторного поля, взятого в отдельной изолированной системе отсчета, относится только к данной выбранной системе, в которой осуществляется ограниченное по степеням свободы движение электрического заряда.



Рис. 4.3. Определение векторного преобразования, обратного операции «ротор», не затрагивающего операции дифференцирования. Разделение векторных полей выполнено по признаку причинно-следственных отношений. Исходное поле представлено вектором а (причина), а поле, образованное операцией «ротор», представлено вектором b (следствие).
Поскольку в пространстве существуют и прямолинейные векторные поля, и вращающиеся замкнутые векторные поля, а находиться в двух системах отсчета одновременно невозможно, то в общем случае выбором системы координат нельзя свести одно поле к другому. Источник этих полей один – это электрические заряды. Электрические заряды создают вокруг себя электрическое поле (всестороннее прямолинейное векторное поле), а движение электрических зарядов создает магнитное поле (замкнутое круговое векторное поле). При этом, естественно, прямолинейное движение электрических зарядов создает вокруг них круговое магнитное поле, а круговое движение электрических зарядов (равно как вращение электрически заряженных частиц вокруг собственной оси) создает прямолинейное в пространстве магнитное поле, заключенное в объеме, ограниченном радиусом вращения.

Целесообразность введения векторного оператора «реверсивный ротор» была показана при анализе системы уравнений классической электродинамики [2].

Похожие:

4. о векторном операторе, обратном дифференциальному векторному оператору iconСлоения на аналитические кривые и смежные вопросы
Голоморфные функции нескольких комплексных переменных и их простейшие свойства: теорема о неявной функции; об обратном операторе;...
4. о векторном операторе, обратном дифференциальному векторному оператору iconЛекция 3 Передаточная функция многоканальной системы
В качестве выходной координаты многоканальной системы следует считать вектор состояния, а входной – вектор управления. Такая динамическая...
4. о векторном операторе, обратном дифференциальному векторному оператору iconТеорема (о замкнутом операторе)
Теорема (о замкнутом операторе). банаховы пространства. Пусть линейный оператор. Если и а – замкнут, то а – ограничен
4. о векторном операторе, обратном дифференциальному векторному оператору iconСлабо неидеальный бозе-газ
...
4. о векторном операторе, обратном дифференциальному векторному оператору iconЭкспресс-метод оценки параметров намагниченных источников по векторному представлению магнитных аномалий

4. о векторном операторе, обратном дифференциальному векторному оператору iconПрограммами Windows в прямом и обратном направлениях +
Переключение между задачами (программами) Windows в прямом и обратном направлениях
4. о векторном операторе, обратном дифференциальному векторному оператору iconВопросы по дифференциальному исчислению
Функция: определение, способы задания, классификация, основные характеристики поведения функции
4. о векторном операторе, обратном дифференциальному векторному оператору iconПостроение сложных объектов с помощью геометрических примитивов в векторном графическом редакторе

4. о векторном операторе, обратном дифференциальному векторному оператору iconИнструкция оператору
Прежде чем приступить к вводу данных, ознакомьтесь, пожалуйста, с настоящей инструкцией
4. о векторном операторе, обратном дифференциальному векторному оператору iconОтветы на экзаменационные вопросы интернет-курсов интуит (intuit): 294. Программирование на языке C++
В условном операторе между ключевыми словами if и else после выражения в скобках может находиться
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org