Сборник составляли и редактировали: Берштейн М. А., Бойко К. С., Бойко М. С., Игнатович С. Ю., Крижановский О. Ф., Кулагин В. М. и другие



Скачать 394.66 Kb.
страница1/4
Дата23.10.2014
Размер394.66 Kb.
ТипСборник
  1   2   3   4
МАТЕРИАЛЫ

третьего (областного) этапа

Всеукраинской олимпиады школьников

по математике

(задания и решения)



Харьков - 2003

Сборник содержит материалы областной математической олимпиады школьников, которая состоялась 26 января 2003 года в Харьковском национальном университете имени В.Н.Каразина.


В сборник включены тексты всех задач, предложенных на олимпиаде, и их полные решения.
Сборник составляли и редактировали: Берштейн М.А., Бойко К.С., Бойко М.С., Игнатович С.Ю., Крижановский О.Ф., Кулагин В.М. и другие.
Авторы задач:

Бойко М.С. (7.2)

Игнатович С.Ю. (9.2)

Крижановский О.Ф. (7.3–7.5, 8.1, 8.3–8.5, 9.1, 9.3–9.5, 10.1–10.5, 11.1, 11.3–11.5)


Задачи 7.1, 8.2, 11.2 – из материалов жюри.
Состав комиссии по составлению заданий для олимпиады: Бойко К.С., Бойко М.С., Игнатович С.Ю., Каролинский Е.М., Крижановский О.Ф., Лейбина О.В.

Комиссия по составлению заданий выражает искреннюю благодарность Игорю Михайловичу Мительману (г. Одесса, Ришельевский лицей) за ценные замечания, которые позволили существенно улучшить формулировки ряда задач.




7 класс

Задача 7.1. Является ли число 2003 2003 + 5 квадратом натурального числа? Ответ обоснуйте.

Ответ: Нет. Решение. Подсчитаем последнюю цифру числа 20032003. Она совпадает с последней цифрой числа 32003. Поскольку 31 = 3, 32 = 9, 33 = 27, 34 = 81, 35 = 273, то последняя цифра степеней числа 3 повторяется с периодом 4. В частности, число 32003 = 34·500 + 3 оканчивается цифрой 7. Следовательно, последняя цифра числа 20032003 также равна 7, а число 20032003 + 5 оканчивается цифрой 2. Однако квадрат натурального числа не может оканчиваться цифрой 2 (это легко проверить, рассмотрев последние цифры квадратов чисел от 0 до 9).
Задача 7.2. Миллион троллейбусных талонов пронумерован стандартным способом: 000000, 000001, , 999999. Назовем талон счастливым, если с помощью всех цифр его номера (каждая цифра должна использоваться ровно столько раз, сколько раз она встречается в записи этого номера), скобок и знаков арифметических действий +, , × (не все эти знаки обязательно использовать) можно получить арифметическое выражение, значение которого равняется нулю. Сколько талонов не являются счастливыми? Ответ обоснуйте.

Ответ: 0. Решение. Покажем, что несчастливых талонов нет, то есть все талоны – счастливые. Сперва заметим, что если из нескольких цифр номера можно составить выражение, значение которого равно нулю, то и из всех цифр номера можно составить выражение, равное нулю (для этого достаточно выражение из нескольких цифр, равное нулю, умножить на остальные цифры номера).
В частности, если в номере талона встретилась цифра 0 или в номере талона есть хотя бы две одинаковые цифры, то он счастливый. Рассмотрим талон, все цифры номера которого различны и не равны 0. Тогда наименьшая цифра номера положительна и не превосходит 4. Пусть наименьшая цифра равна 1, тогда остальные пять цифр принадлежат множеству {2, 3, , 9}. Разобьем это множество на четыре подмножества {2,3}, {4,5}, {6,7}, {8,9}; в каждом из них разность большего и меньшего элементов равна 1 (то есть наименьшей цифре номера). Пусть наименьшая цифра номера равна 2, тогда остальные пять цифр принадлежат подмножествам {3,5}, {4,6}, {7,9}, {8}; если такое подмножество состоит из двух элементов, то разность большего и меньшего элементов равна 2 (то есть наименьшей цифре номера). Аналогично для случая, когда наименьшая цифра номера равна 3, рассмотрим подмножества {4,7}, {5,8}, {6}, {9}, а для случая, когда наименьшая цифра номера равна 4, рассмотрим подмножества {5,9}, {6}, {7}, {8}. Поскольку в каждом случае подмножеств четыре, а различных цифр – пять (мы рассматриваем все цифры номера, кроме наименьшей), по принципу Дирихле хотя бы две (различные) цифры номера принадлежат одному и тому же подмножеству. Пусть a <  – эти две цифры, а c – наименьшая цифра номера (тогда a > c, b > c). Следовательно, талон счастливый, поскольку имеем выражение b – a – c = 0.

Задача 7.3. Можно ли правильный шестиугольник со стороной 2003 см разбить на четырехугольники, составленные из трех равносторонних треугольников со стороной 1 см (как изображено на рисунке)? Ответ обоснуйте.

Ответ: Можно. Решение. Покажем, как строится такое разбиение. Назовем четырехугольник, изображенный на рисунке, элементарным. Складывая элементарные четырехугольники “елочкой”, легко получить параллелограмм размером 3 × N для любого N (рис.1). Затем от исходного шестиугольника отрежем “кольцо” ширины 3, составленное из таких параллелограммов (рис.2). При этом шестиугольник останется правильным, а длина его стороны уменьшится на 3. Продолжая процесс, после 667 таких шагов получим правильный шестиугольник со стороной 2003  667·3 = 2, который уже легко разрезать на элементарные четырехугольники (рис.3).




Рис.1          Рис. 2       Рис. 3



Задача 7.4. В каждой клетке доски 2003 × 2003 сидит по одному муравью. Назовем расстоянием между двумя клетками длину кратчайшей из ломаных, которые соединяют центры этих клеток таким образом, что каждое их звено параллельно одной из сторон доски. В начальный момент времени муравьи начинают переползать из клетки в клетку, причем нескольким муравьям разрешается одновременно находиться в одной клетке. В некоторый момент оказалось, что для любых двух муравьев расстояние между клетками, в которых они сидят, равняется расстоянию между клетками, в которых эти муравьи сидели вначале (считаем, что каждый муравей “целиком” сидит в соответствующей клетке). Докажите, что в этот момент времени хотя бы один муравей находится в той же самой клетке, в которой он находился первоначально.

Решение. Из условия немедленно вытекает, что различные муравьи в конечный момент времени окажутся в различных клетках, по одному в каждой клетке. Рассмотрим муравья O, который изначально находился в центральной клетке, и покажем, что он и в конечный момент времени должен оказаться в центральной клетке. Действительно, расстояние между центральной клеткой и любой другой клеткой доски не превосходит 2002. Предположим, что муравей O в конечный момент времени переполз в другую, не центральную клетку. Разобьем доску на четыре части двумя прямыми, параллельными сторонам доски и проходящими через правый верхний угол центральной клетки. Тогда муравей O переполз в одну из этих четырех частей. Но расстояние между клеткой, куда переполз муравей O, и угловой клеткой противоположной части (т.е. угловой клеткой доски, которая принадлежит противоположной части) будет больше 2002. Например, если муравей переполз в правую верхнюю часть, то левая нижняя угловая клетка доски находится от его клетки на расстоянии большем, чем 2002. Пусть в этой угловой клетке в конечный момент времени сидит муравей V. Тогда расстояние между муравьями O и V в конечный момент времени строго больше расстояния между этими же муравьями в начальный момент времени, что противоречит условию.
Задача 7.5. Можно ли таблицу 2003 × 2003 так заполнить всеми натуральными числами от 1 до 20032 (в каждую клетку записывается только одно число, причем каждое число используется только один раз), чтобы все суммы чисел в каждой строке и каждом столбце (всего 2·2003 сумм) оказались попарно различными и кратными 2003? Ответ обоснуйте.

Ответ: Можно. Решение. Приведем пример расстановки чисел, удовлетворяющей условию задачи. Будем нумеровать строки сверху вниз, а столбцы слева направо. Поставим в первом столбце сверху вниз числа 1, 2, 3, , 2003; во втором столбце сверху вниз числа 2004, 2005, , 4006; и т.д.; наконец, в 2003-м столбце поставим сверху вниз числа 2003·2002 + 1, 2003·2002 + 2, , 2003·2002 + 2003. Формально, на пересечении i-й строки и j-го столбца стоит число 2003·(j  1) + i. Сумма всех чисел в первом столбце равняется сумме всех натуральных чисел от 1 до 2003, т. е. 2003·2004 / 2 = 2003·1002. Каждое число второго столбца на 2003 больше своего левого соседа из первого столбца, поэтому сумма всех чисел во втором столбце равняется 2003·2003 + 2003·1002 = 2003·(2003 + 1002). Рассуждая аналогично, получим суммы чисел в других столбцах (см. таблицу).

Подсчитаем теперь суммы чисел в строках. Если из числа i, стоящего на пересечении 1-го столбца и i-й строки, вычесть 1, результат умножить на 2003 и к полученному числу прибавить 1, то получится число 2003·(i  1) + 1, стоящее на пересечении 1-й строки и i-го столбца. Поэтому сумма всех чисел в первой строке равняется (2003·1002  2003)·2003 + 2003 = 2003·(2003·1001 + 1). Каждое число второй строки на 1 больше своего верхнего соседа из 1-й строки, поэтому сумма всех чисел во второй строке равняется 2003 + 2003·(2003·1001 + 1) = 2003·(2003·1001 + 2). Рассуждая аналогично, получим суммы чисел в других строках (см. таблицу).

Все полученные суммы в строках и столбцах делятся на 2003.


столбец

сумма

строка

сумма




в столбце




в строке

1й

2003·(2003·0 + 1002)

1я

2003·(2003·1001 + 1)

2й

2003·(2003·1 + 1002)

2я

2003·(2003·1001 + 2)









1001й

2003·(2003·1000 + 1002)

1001я

2003·(2003·1001 + 1001)

1002й

2003·(2003·1001 + 1002)

1002я

2003·(2003·1001 + 1002)

1003й

2003·(2003·1002 + 1002)

1003я

2003·(2003·1001 + 1003)









2002й

2003·(2003·2001 + 1002)

2002я

2003·(2003·1001 + 2002)

2003й

2003·(2003·2002 + 1002)

2003я

2003·(2003·1001 + 2003)

Как видно из таблицы, суммы чисел в 1002-м столбце и 1002-й строке (и только они!) совпадают. Действительно, остатки от деления на 20032 для сумм по столбцам одинаковы и равны 2003·1002, а для сумм по строкам все различны между собой. Теперь “подправим” расстановку чисел следующим образом: поменяем местами первые числа среднего (1002-го) и последнего (2003-го) столбцов, а также последние числа этих же столбцов. Таким образом, поменялись местами числа 2003·1001 + 1   и   2003·2002 + 1, стоящие в первой строке, и поменялись местами числа 2003·1001 + 2003   и   2003·2002 + 2003, стоящие в последней строке. При этом суммы чисел в строках и суммы чисел во всех столбцах, кроме среднего и последнего, не изменятся. Сумма чисел в среднем столбце увеличится на 2·(2003·2002  2003·1001) = 2003·(2003  1) и станет равной



A = 2003·(2003·1001 + 1002) + 2003·(2003  1) = 2003·(2003·1002 + 1001),

а сумма чисел в последнем столбце уменьшится на такую же величину, т.е. на 2003·(2003  1), и станет равной



B = 2003·(2003·2002 + 1002)  2003·(2003  1) = 2003·(2003·2001 + 1003).

Эти две новые суммы по 1002-му и 2003-му столбцам также делятся на 2003. Покажем, что они не могут совпасть ни с одной из сумм, полученных ранее. Действительно, остатки чисел A и B при делении на 20032 равны 2003·1001 и 2003·1003 соответственно. Из всех сумм в таблице такие остатки встречаются только в 1001-й и 1003-й строках. Следовательно, A или B не могут совпасть ни с одной суммой по остальным столбцам и ни с одной из сумм по строкам, кроме, быть может, 1001-й и 1003-й. Но, как видно из таблицы, суммы по 1001-й и 1003-й строкам также не совпадают с A и B. Итак, указанная расстановка чисел на доске удовлетворяет условию задачи. На рисунке в качестве иллюстрации приведена аналогичная расстановка чисел от 1 до 25 в таблице 5×5.






















суммы

в строках





















суммы

в строках






1

6

11

16

21

55




1

6

21

16

11

55




2

7

12

17

22

60




2

7

12

17

22

60




3

8

13

18

23

65

    

3

8

13

18

23

65




4

9

14

19

24

70




4

9

14

19

24

70




5

10

15

20

25

75




5

10

25

20

15

75


суммы


в столбцах

15


40




65

90


115





суммы

в столбцах



15


40




85

90




95





8 класс

Задача 8.1. Величины углов некоторого треугольника (в градусах) выражаются натуральными числами. Каждое из этих трех чисел запишем в десятичной системе счисления (первая слева цифра не может быть нулем), а затем переставим все его цифры в обратном порядке. Может ли оказаться, что три полученных таким образом числа являются величинами углов (в градусах) некоторого другого треугольника, у которого величина хотя бы одного угла не совпадает ни с одной из величин углов исходного треугольника? Ответ обоснуйте.

Ответ: Может. Решение. Например, треугольник с величинами углов 89, 87 и 4 градуса превращается в треугольник с величинами углов 98, 78 и 4 градуса. Эти треугольники удовлетворяют условию задачи, поскольку 89 + 87 + 4 = 98 + 78 + 4 = 180 и наборы углов этих треугольников различны.

Замечание. Эта задача считается решенной, если приведен пример треугольника, удовлетворяющего условиям задачи. Покажем, как можно “вычислить” этот пример. Рассмотрим два случая.

1) Величины всех трех углов треугольника выражаются двузначными натуральными числами  и . Тогда = 180 и  +  +  = 180. Иначе говоря, 10a + b + 10c + d + 10e + f = 180, 10b + a + 10d + c + 10f + e = 180. Складывая эти равенства, получаем, что 360 = 11(a + b + c + d + e + f). Поскольку все числа a, b, c, d, e, f – целые, то правая часть последнего равенства кратна 11, а левая – нет. Полученное противоречие показывает, что величины всех трех углов треугольника не могут выражаться двузначными натуральными числами.



2) Величины двух углов треугольника выражаются двузначными натуральными числами и , а третьего – однозначным числом e. Тогда  +  + e = 180,   +  + e = 180. Иначе говоря, 10a + b + 10c + d + e = 180, 10b + a + 10d + c + e = 180. Складывая эти равенства и вычитая из первого второе, получаем 11(a + b + c + d) = 360  2 и 9(a + c  b  d) = 0. Из первого равенства следует, что число 360  2e делится на 11. Поскольку 352 = 32·11, то число 8  2e делится на 11. Таким образом, число 2e должно давать остаток 8 при делении на 11. Однако 2e  18 (т.к. e – это цифра, 1  e  9), поэтому получаем, что 2= 8. Следовательно, = 4, откуда имеем a + b + c + d = (360  8) / 11 = 32. Но a + c = b + d, поэтому a + c = b + d = 16. Поскольку a, b, c, d – цифры (т.е. a, b, c, d  9), возможны только следующие варианты: 9 + 7 = 7 + 9 = 8 + 8 = 16. Итак, цифра a может равняться 7, 8 или 9. Пусть, например, a = 8, тогда c = 8. Далее, одна из цифр b и d равна 7, а другая 9, или обе равны 8. Если b = d = 8, то углы исходного треугольника равны 88, 88 и 4, то есть совпадают с углами полученного треугольника, что противоречит условию. Если b = 9, d = 7, то углы исходного треугольника равны 89, 87 и 4 градуса, а углы полученного треугольника равны 98, 78 и 4 градуса. Мы получили пример, приведенный в решении.
Задача 8.2. В треугольнике ABC на стороне BC выбрана такая точка K, что отрезок AK пересекает медиану BM в точке N, причем AN = BC. Докажите, что BK = KN.

Решение. Продолжим медиану BM за точку M на длину этой медианы. Получим точку B1 такую, что BM = MB. Тогда треугольник AMB1 равен треугольнику CMB по двум сторонам и углу между ними (вертикальному). Следовательно, AB1 = BC = AN. Значит, треугольник NAB1 равнобедренный, поэтому угол ANB1 равен углу AB1N. Кроме того, угол AB1N равен углу NBK, что вытекает из равенства треугольников AMB1 и CMB. Углы BNK и ANB1 равны как вертикальные. Из этих равенств получаем, что углы BNK и NBK тоже равны. Следовательно, треугольник BKN равнобедренный и BK = KN.
  1   2   3   4

Похожие:

Сборник составляли и редактировали: Берштейн М. А., Бойко К. С., Бойко М. С., Игнатович С. Ю., Крижановский О. Ф., Кулагин В. М. и другие icon1. Об открывшейся возможности использования счета спбГУ
Бойко и главному бухгалтеру Н. В. Гаврилюк произвести выплату стипендии за январь в ближайшие дни. Проректор И. П. Бойко предложил...
Сборник составляли и редактировали: Берштейн М. А., Бойко К. С., Бойко М. С., Игнатович С. Ю., Крижановский О. Ф., Кулагин В. М. и другие iconЙога. Искусство коммуникации (Издание второе, исправленное) Виктор Сергеевич Бойко

Сборник составляли и редактировали: Берштейн М. А., Бойко К. С., Бойко М. С., Игнатович С. Ю., Крижановский О. Ф., Кулагин В. М. и другие iconРоссия и мир глазами друг друга: из истории взаимовосприятия
Агеева от; к им. Аурова Н. Н., к и н. Бойко Т. В.; к и н. НевежинВА.; к им. СергеевЕ. Ю
Сборник составляли и редактировали: Берштейн М. А., Бойко К. С., Бойко М. С., Игнатович С. Ю., Крижановский О. Ф., Кулагин В. М. и другие iconЯзыковая ситуация в мегаполисе (на примере языковой ситуации в Лондоне)
Официальные оппоненты: доктор филологических наук, профессор Борис Леонидович Бойко
Сборник составляли и редактировали: Берштейн М. А., Бойко К. С., Бойко М. С., Игнатович С. Ю., Крижановский О. Ф., Кулагин В. М. и другие iconСергей бойко берег чувства моего
Вспыхивает яркий свет. Он поднимается и начинает ходить по сцене. Она сидит в постели, держит на коленях книгу
Сборник составляли и редактировали: Берштейн М. А., Бойко К. С., Бойко М. С., Игнатович С. Ю., Крижановский О. Ф., Кулагин В. М. и другие iconБойко Наталия Семеновна
Организация городских выборов в ходе проведения городской реформы 1870 года в дореволюционной россии (на примере городов среднего...
Сборник составляли и редактировали: Берштейн М. А., Бойко К. С., Бойко М. С., Игнатович С. Ю., Крижановский О. Ф., Кулагин В. М. и другие iconУченый совет: итоги заседания 28 марта
Таиланда Чулапхон Махидон. Также по просьбе универсантов первый проректор по экономике Иван Бойко представил информацию о зарплатах...
Сборник составляли и редактировали: Берштейн М. А., Бойко К. С., Бойко М. С., Игнатович С. Ю., Крижановский О. Ф., Кулагин В. М. и другие iconСоглашение о сотрудничестве
«Посольство» в лице Чрезвычайного и Полномочного Посла Республики Болгария в Российской Федерации Коцева Бойко Василева, действующего...
Сборник составляли и редактировали: Берштейн М. А., Бойко К. С., Бойко М. С., Игнатович С. Ю., Крижановский О. Ф., Кулагин В. М. и другие iconПеречень диссертаций, защищенных в совете д 212. 198. 01 в 2011 году
Бойко П. А. «Кредитно-финансовые институты Российской империи: от традиционализма к модернизации» по специальности 08. 00. 01 – Экономическая...
Сборник составляли и редактировали: Берштейн М. А., Бойко К. С., Бойко М. С., Игнатович С. Ю., Крижановский О. Ф., Кулагин В. М. и другие iconВосточная философия Список основной и дополнительной литературы Основная литература
Очерки по истории философии: учеб пособие / [Бойко В. А. и др.; общ ред. О. А. Донских, Ю. П. Ивонин]. – Новосибирск: [Изд-во нгуэу],...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org