Программа дисциплины «Топология ii»



Скачать 133.99 Kb.
Дата08.10.2012
Размер133.99 Kb.
ТипПрограмма дисциплины
Правительство Российской Федерации

Государственное образовательное бюджетное учреждение

высшего профессионального образования

Государственный университет – Высшая школа экономики
Факультет математики

Рабочая программа дисциплины
«Топология II»



Направление:

010100.62 «Математика»

Подготовка:

бакалавр

Форма обучения:

Очная


Автор программы:

проф. В.А.Васильев









Рекомендована секцией УМС




Одобрена на заседании

по математике




кафедры алгебры

Председатель




Зав. кафедрой, проф.


___________________________С.К.Ландо





________________________В.А.Васильев

«_____» ______________________2009 г.




«_____» ______________________2009 г.











Утверждена УС







факультета математики







Ученый секретарь доцент








_________________________Ю.М.Бурман







«_____» ______________________2009 г.








Москва

2009

Рабочая программа дисциплины «Топология II» [Текст]/Сост. Васильев В.А.; ГУ-ВШЭ. –Москва.– 2009. – 9 с.
Рабочая программа составлена на основе государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки бакалавров Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 010100.62 «Математика».
Рабочая программа предназначена для методического обеспечения дисциплины основной образовательной программы по направлению 010100.62 «Математика».

Составитель: д.ф.-м.н. Васильев В.А. (vva@mi.ras.ru)


©

Васильев В.А., 2009.

©

Государственный университет–Высшая школа экономики, 2009.


Пояснительная записка
Автор программы: доктор физико-математических наук В. А. Васильев
Требования к студентам: для усвоения курса необходимо знакомство с коммутативной алгеброй, геометрией и топологией в объеме, проходимом на первом курсе. Некоторые разделы требуют знакомства с дифференциальным исчислением в многомерном пространстве и/или дают введение в этот материал
Аннотация.

Дисциплина «Топология II» предназначена для подготовки бакалавров по направлению 010100.62.
Курс топологии является важнейшим интегрирующим курсом в составе математических дисциплин, использующим идеи и дающим мотивировки для курсов алгебры, геометрии и анализа и объясняющим их взаимосвязь и единство.

Первый модуль (второго курса) посвящён знакомству с важными и часто используемыми топологическими структурами и инвариантами: накрытиями, расслоениями, старшими гомотопическими группами и группами симплициальных гомологий. Впервые в математических курсах вводится и используется важнейшее алгебраическое понятие цепного комплекса и его гомологий. Нарабатывается геометрическая интуиция и проводится подготовка к введению и изучению сингулярных гомологий произвольного топологического пространства. Разбираются основные понятия гомологической алгебры.
Второй модуль посвящён определению и способам вычисления сингулярных гомологий. Подробно рассматриваются клеточные пространства и клеточные гомологии, доказывается гомотопическая инвариантность групп гомологий, основные гомологические точные последовательности. На компактных многообразиях вводятся морсовские функции (лемма Морса дается без доказательства) и описываются соответствующие клеточные разбиения. Определяются группы когомологий и доказывается теорема двойственности Пуанкаре.
Третий модуль посвящён аналитическим и дифференциально-геометрическим аспектам теории гомологий, а также ее приложениям. Определяются кривизны погруженной поверхности в трехмерном пространстве и доказывается теорема Гаусса-Бонне. Эйлерова характеристика многообразия связывается с числом особых точек векоторного поля. Степень отображения интерпретируется в гомологических терминах. Доказываются занимательные результаты о существовании замечательных точек отображений: теорема Брауэра, теорема Борсука, теоремы о сэндвичах и т.п. Вводится и геометрически интерпретируется когомологическое умножение.


Цели и задачи изучения дисциплины, ее место в учебном процессе

Цель изучения дисциплины:


  • воспитание у студентов топологического мышления, умения различать алгебраические структуры в геометрических и аналитических объектах


о ознакомление с основными понятиями современной топологии и гомологической

алгебры и их приложениями

Задачи изучения дисциплины:


  • знакомство с базисными топологическими структурами – гомотопическими группами, группами гомологий, накрытиями, расслоениями, комплексами, многообразиями, клеточными пространствами, векторными полями.



  • знакомство с классическими топологическими пространствами, встречающимися во многих прикладных задачах и дающими основной запас примеров для развития топологической индуиции: двумерных поверхностей, групп Ли, проективных и грассмановых пространств, а также операций над ними.




  • освоение простейших способов топологического различения и исследования пространств, возникающих в математических, физических и прикладных задачах

Тематический план учебной дисциплины




Название темы


Всего часов по дисциплине

В том числе аудиторных

Самостоятельная работа

Всего

Лекции

Семинары




1 модуль

60

28

8

20

32



Гомотопические группы

12

6

2

4

6



Накрытия и фундаментальная группа

14

6

2

4

8



Гомологии цепного комплекса, их свойства

18

8

2

6

10



Симплициальные комплексы и симплициальные гомологии

16

8

2

6

8




2 модуль

68

32

10

22

36



Сингулярные гомологии, их гомотопическая инвариантность и основные свойства

18

8

3

5

10



Клеточные комплексы и клеточные гомологии

18

8

2

6

10



Комплекс Морса

16

8

2

6

8



Когомологии и двойственность Пуанкаре

16

8

3

5

8




3 модуль

88

42

12

30

46



Первая и вторая квадратичные формы поверхности, кривизна и формула Гаусса—Бонне

38

18

5

13

20



Векторные поля и эйлерова характеристика

13

7

2

5

6



Умножение в когомологиях

18

8

2

6

10



Прикладные задачи

19

9

3

6

10




Итого:

216

102

30

72

114



Основная литература




Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии.–М.:Наука, 1989.



Васильев В.А. Введение в топологию.–М.: ФАЗИС, 1997.



Прасолов В.В. Задачи по топологии. – М.: МЦНМО, 2008.



Новиков С. П., Тайманов, И.А. Современные геометрические структуры и поля..–М., МЦНМО, 2005.



Прасолов В.В. Наглядная топология. – Изд. 2–е.– М.: МЦНМО, 2006.



Мищенко А.С.,Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии.–М.:Факториал, 2000..


Дополнительная литература


1.

Прасолов В.В.. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии.–М.: МЦНМО, 2004.

2.

Прасолов В.В. Элементы теории гомологий.– М.: МЦНМО, 2006.

3.

Рохлин В.А., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы.–М.: Наука, 1977.

4.

Хирш М. Дифференциальная топология.–М.:ИО НФМИ, 1999










Формы контроля
Текущий контроль - решение задач на семинарских занятиях.
Промежуточный контроль - 3 контрольные работы по темам:

  1. Фундаментальная группа накрытия и гомологии полиэдров.

  2. Гомологии комплекса Морса и индекс пересечения.

  3. Элементарная дифференциальная геометрия.


Итоговый контроль - 1 письменный зачёт (1-й модуль) и 2 письменных экзамена (2-й и 3-й модули).

Формула для вычисления итоговой оценки:


30% оценки за домашние задания + 30% оценки за контрольную работу + 40% оценки за экзамен.

Содержание программы

Тема 1. Гомотопические группы.

Повторение (с 1-го курса) фундаментальных групп. Абсолютные и относительные старшие гомотопические группы. Точная последовательность пары. Зависимость от отмеченной точки.
Тема 2. Накрытия и фундаментальная группа.

Классификация накрытий над фиксированной базой в терминах ее фундаментальной группы. Универсальное накрытие. Изоморфизм старших гомотопических групп у накрытия и его базы. Точная гомотопическая последовательность расслоения.
Тема 3. Гомологии цепных комплексов, их свойства.

Определение комплекса абелевых групп, его группы гомологий. Гомоморфизмы комплексов и индуцированные отображения групп гомологий. Замена коэффициентов. Короткая точная последовательность комплексов и длинная последовательность групп гомологий.
Тема 4. Симплициальные комплексы и симплициальные гомологии.

Гомологии симплициального комплекса. Вычисление для основных примеров. Фундаментальный класс гладкого многообразия (ориентированного, или по модулю 2).
Тема 5. Сингулярные гомологии, их гомотопическая инвариантность и основные свойства.

Определение сингулярных гомологий топологического пространства. Их поведение при отображении топологических пространств. Гомотопные отображения определяют одинаковые отображения гомологий.
Тема 6. Клеточные комплексы и клеточные гомологии.

Клеточные разбиения. Основные факты о клеточных пространствах: лемма Борсука, теорема о клеточной аппроксимации. Клеточные гомологии. Для клеточных пар относительные гомологии изоморфны абсолютным гомологиям факторпространства. Вычисления для важных примеров. Точная последовательность Майера-Вьеториса.
Тема 7. Комплекс Морса.

Лемма Морса. Существование функции Морса на компактном многообразии. Клеточное разбиение, связанное с функцией Морса. Коэффициенты инцидентности в комплексе Морса и градиентная сеть.
Тема 8. Когомологии и двойственность Пуанкаре.

Двойственные (абстрактные) комплексы. Связь между гомологиями двойственных комплексов. Двойственные комплексы Морса. Изоморфизм Пуанкаре. Индекс пересечения на ориентированном многообразии. Изоморфизм Александера и индекс зацепления. Что делать если многообразие неориентируемо?

Тема 9. Первая и вторая квадратичные формы поверхности, кривизна и формула Гаусса--Бонне.

Кривизна и кручение пространственной кривой. Индекс самозацепления неуплощающейся кривой. Первая и вторая квадратичные формы поверхности. Эллиптические, гиперболические и параболические точки поверхности. Иерархия параболических точек. Гауссова и средняя кривизна. Формула Гаусса-Бонне.
Тема 10. Векторные поля и эйлерова характеристика..

Классификация особых точек векторных полей на многообразии. Индекс изолированной особой точки. Число Эйлера векторного поля как индекс пересечения. Число Эйлера равно эйлеровой характеристике.
Тема 11. Умножение в когомологиях.

Умножение в когомологиях. Интерпретация когомологического умножения на многообразии в терминах пересечений циклов. Кольцо кологмологий проективного пространства и других важных примеров.
Тема 12. Прикладные задачи.

Теорема Брауэра о неподвижной точке. Теорема Борсука о склеивании антиподов. Теоремы о разрезании сэндвичей. Несуществование отображений без сложных особых точек. Гомологические препятствия к вложимости и погружаемости многообразий.

Автор программы: _____________________________ В.А. Васильев

Похожие:

Программа дисциплины «Топология ii» iconПрограмма дисциплины «Топология ii»
Рабочая программа дисциплины «Топология ii» [Текст]/Сост. Васильев В. А.; Гу-вшэ. –Москва.– 2009. – 9 с
Программа дисциплины «Топология ii» iconРабочая программа дисциплины «Топология»
Рабочая программа дисциплины «Топология» [Текст]/Сост. Васильев В. А.; Гу-вшэ.–Москва.–2009.–12 с
Программа дисциплины «Топология ii» iconЛекция №3 Сетевая топология. Адресация. Коммутация. Сетевая топология 1 Топология физических связей 1
Термин топология может употребляться для обозначения двух понятий – физической топологии и логической топологии
Программа дисциплины «Топология ii» iconПрограмма дисциплины «дифференциальная геометрия и топология»
Одобрена на заседании кафедры геометрии, топологии и методики преподавания математики
Программа дисциплины «Топология ii» iconРабочая программа дисциплины "Геометрия и топология"
Направление подготовки 010500 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем»
Программа дисциплины «Топология ii» iconЛекции  32 часа Экзамен  нет практические(семинарские) занятия 
Топологические пространства, индуцированная топология, топология декартова произведения, топология несвязной суммы, склейки из квадрата....
Программа дисциплины «Топология ii» iconПрограмма дисциплины «топология» для студентов специальности 1-31 03 01 «Математика»
Одобрена на заседании кафедры геометрии, топологии и методики преподавания математики
Программа дисциплины «Топология ii» iconПрограмма курса дифференциальная топология и риманова геометрия
Топология, топологическое пространство. Гомеоморфизм, сравнение топологий. Открытые и замкнутые множества. Внутренность, замыкание...
Программа дисциплины «Топология ii» iconПрограмма вступительного экзамена «Математика» в магистратуру по направлению «Математика»
Топология на множестве. Открытые и замкнутые подмножества. База и предбаза топологии. Ииндуцированная топология. Непрерывные отображения...
Программа дисциплины «Топология ii» iconРабочая программа учебной дисциплины «Топология. Многообразия. Графы»
Данный курс является частью профессиональной подготовки специалистов на специальности 010400 – Физика, специализирующихся по специализации...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org