Парапсихология и психофизика. 2000. №1. С. 22-57. Универсальность принципа синхронизации Гюйгенса и Гармония в Природе



страница5/18
Дата08.10.2012
Размер0.96 Mb.
ТипДокументы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   18

Атом водорода


Аналогия между релятивистским выражением для функции Гамильтона свободной частицы и дисперсионным соотношением для стоячих волн полого металлического резонатора (волновода) обсуждается давно (см., например, обзор [26]). Представляется, что отмеченная аналогия должна иметь глубокую физическую причину.

Для наглядности проведем сравнительный анализ квантования классического поля смещений струны и скалярного поля, описываемых одинаковыми уравнениями (подробности можно найти в [27]. Классическое поле смещения подчиняется волновому уравнению



где линейная плотность струны и скорость распространения колебаний равны единице. Если струна закреплена на концах, то справедливы граничные условия . Классические собственные решения уравнения (1) известны:



Релятивистским аналогом (1) является уравнение Клейна - Фока - Гордона



описывающее нейтральное скалярное поле. Здесь - масса частицы, - потенциал скалярного внешнего поля, взаимодействующего с полем . Найдем собственные функции и частоты для одномерного случая, когда и поле определено на отрезке с нулевыми граничными условиями на концах отрезка :



Итак, квантованные поля смещений и частоты классической струны и собственные функции и частоты релятивистского скалярного поля имеют тождественно одинаковую аналитическую форму, при они вообще не отличаются. Другими словами, в рассматриваемом случае собственные поля смещений и частоты классической струны и собственные функции и частоты квантового скалярного поля совпадают между собой, как результат тождественности соответствующих уравнений и граничных условий. Более того, формулы для собственных частот классической струны и квантового релятивистского скалярного поля совпадают по форме с формулами для собственных частот классических резонаторов. Это и есть принцип соответствия между классической физикой и квантовой механикой, и это соответствие не зависит от постоянной Планка .

Для атома водорода запишем классический гамильтониан



Введем величину gif" align=bottom> (совпадающую с точностью до двойки с секториальной скоростью), которая согласно второму закону Кеплера является инвариантом движения, тогда



и формула (5) перепишется в следующем виде



Найдем минимальное значение выражения (7), для чего потребуем равенства нулю первой производной этого выражения по . Минимум (7) достигается при



Подставляя (8) в (7), получаем



Значение интеграла движения можно определить из формулы (9), если положить значение равным энергии основного состояния атома водорода. Она известна [28] с высокой точностью, в результате получаем

. (10)

В начале этого параграфа мы объявили величину интегралом движения, проверим это утверждение. Вычислим действие



что точно равно постоянной Планка . Такое совпадение удивительно и представляется, что неслучайно. За таким совпадением должна быть простая и красивая физика.

Подведем итог: мы использовали классическое выражение для гамильтониана атома водорода, а из требования равенства его минимального значения энергии связи основного состояния атома водорода определили значение интеграла движения . Оказалось, что точно выполняется соотношение



Далее, используя только инвариант движения: , мы точно воспроизвели результаты теории Бора и современной квантовой теории. В результате мы приходим к выводу, что постоянная Планка является адиабатическим инвариантом Эренфеста для основного состояния атома водорода: . Напомним еще раз, условие квантования Бора вводилось как гипотеза, мы получили условие квантования Бора для основного состояния атома водорода из классического гамильтониана, считая, что электрон движется радиально по замкнутой траектории (подробности см. в [29]).

Интересно, можно ли таким же классическим путем получить квантование для возбужденных состояний атома водорода ? Ответ: да, можно [29].

Ход рассуждений Н. Бора был следующий. Электростатическая сила между протоном и электроном приводит к образованию связанных состояний атома водорода. Следуя Бору, потребуем равенства кулоновской и центробежной силы (теорема Эренфеста для записи уравнения движения электрона вдоль квазиклассической траектории)

(13)

и запишем условие квантования Бора-Зоммерфельда



Из этих уравнений получаются допустимые значения уровней энергии атома водорода,а также боровские радиусы



где - по определению радиус первой боровской орбиты



Соответственно для допустимых значений импульса и скорости электрона справедливы формулы:



Итак, энергии, радиусы, импульсы и скорости электрона в атоме водорода квантованы. Легко видеть, что радиус первой боровской орбиты равен соответствующей длине дебройлевской волны электрона, а отношение комптоновской длины волны к длине дебройлевской волны равно постоянной тонкой структуры . Далее из (15) и (16) легко получить следующие полезные соотношения:







где - классический радиус электрона.

Другими словами, условие квантования Бора является условием геометрического квантования. Комптоновские и дебройлевские волны играют фундаментальную роль в квантовании орбит атома водорода, причем такое квантование возможно только тогда, когда отношение длины комптоновской волны к длине дебройлевской волны соизмеримо с постоянной тонкой структуры . Отношение (19) может быть интерпретировано как параметр подобия для атома водорода, где есть радиус боровской орбиты, определяющий геометрические размеры системы, а величина играет роль характеристического радиуса. Следовательно, отношение характерного радиуса к характеристическому есть рациональное (в данном случае целое) число, играющее роль параметра подобия в задаче квантования атома водорода. Другим параметром подобия является постоянная тонкой структуры , содержащая только мировые константы , и , которая может быть представлена как отношение классического радиуса электрона к длине комптоновской волны . Тогда к трем вышеупомянутым мировым константам добавляется еще масса электрона . Итак, из четырех мировых констант , и , и динамической переменной можно составить только четыре величины , , и , имеющие размерность длины. Теорема Эренфеста (13) и условие квантования Бора (14) приводят к условиям самосогласования (20) этих величин между собой.

Мы сознательно повторили Боровский рецепт квантования атома водорода, акцентируя внимание на возможности получения параметра подобия. Легко заметить, что при этом наблюдается аналогия с задачей теплообмена (уравнение непрерывности на поверхности твердого тела равенство кулоновской и центробежной сил на боровской орбите). Отличие же заключается в том, что Бор в своих вычислениях использовал адиабатический инвариант Эренфеста (не угловой момент системы, как принято считать) и гипотезу его квантования. Далее, твердое тело имеет четко определенную физическую поверхность, границу, в то время как в случае атома водорода такой физической поверхности нет. Однако Бор определил "поверхность" атома водорода как квантованные орбиты, на которых имеет место равенство кулоновской и центробежной сил. Позже появление устойчивых квантованных орбит де Бройль интерпретировал как результат возникновения стоячих волн. Как видим, квантование атома водорода Бор провел на основе метода аналогий. Отметим еще раз хорошо известный факт, что Бор решил задачу квантования атома водорода в 1913 г. задолго до создания квантовой механики.

Итак, Бор определил "поверхность" атома водорода как радиус квантованных орбит. Такое определение "поверхности" атома водорода можно сформулировать как соответствующее граничное условие для уравнения Шредингера. Хорошо известно, что точки максимумов распределения плотности вероятности соответствуют боровским орбитам. Действительно, для данного наибольшее значение равно и распределение



имеет только один максимум. Максимальное значение определяется из условия



откуда следует результат (14). Итак, можно переформулировать граничные условия для нахождения связанных состояний уравнения Шредингера для атома водорода как граничные условия третьего рода



Именно с использованием граничного условия типа (21) мы получили условие квантования асимптотического импульса относительного движения продуктов распада исследуемого резонанса (детали см. в [1,6]), аналогичное условию (14) - условию квантования Бора для связанных состояний атома водорода. Легко показать, и этот вывод естественен, что и в квантовой теории на орбитах Бора импульсы и скорости электрона проквантованы.

Более того, М. Грызински [29] пришел к выводу, что атом водорода и атомы могут быть описаны классическими уравнениями Ньютона с использованием известных взаимодействий без введения свободных параметров, при этом электроны движутся по замкнутым траекториям.

Н. Бор определил "поверхность" атома водорода как радиус квантованных орбит, причем на такой орбите импульс электрона тоже проквантован. Тогда квантовая теория приводит к условию квантования Бора - Зоммерфельда. Следовательно, условие квантования Бора - Зоммерфельда следует из квантовой теории и точно выполняется на квантованных боровских орбитах для водородоподобных атомов. И это не случайное совпадение, как это было показано выше. Приведем отрывок из популярного учебника по квантовой механике ([30], стр. 46): "Эту планетарную теорию атома нельзя считать серьезной теорией. Она просто неверна. Тот факт, что она приводит к очень хорошим результатам в случае атома водорода, к счастью (или к несчастью), случаен. Этот успех явился для Бора и других теоретиков мощным толчком к развитию квантовой теории атома, но сам Бор никогда не обманывался, он не считал, что атом подобен планетной системе." На самом деле атом водорода подобен планетной системе [3,14].

Как мы знаем, боровский рецепт квантования блестяще подтвердился при сравнении с соответствующими экспериментальными данными, а также позднее совпал с результатами квантовой теории. Однако возникли трудности при полуклассической интерпретации основных результатов квантово-механической теории водородоподобного атома. Н.Бор назвал величину "моментом импульса электрона" (что и привело позже к ошибочной интерпретации модели Бора), при ее квадрат равен, в то же время квадрат момента импульса в квантовой теории равен . Поэтому пришли к выводу, что случай не имеет классического аналога, то есть принцип соответствия Бора для случая не выполняется.

Квантовая теория атома водорода имеет точную и прямую классическую аналогию: условие квантования Бора - Зоммерфельда есть условие квантования инварианта Эренфеста (подробное изложение истории развития принципа соответствия Бора и теории инварианта Эренфеста дано в монографии [12]) и для атома водорода выполняется точно.

Мы показали, что условие квантования Бора - Зоммерфельда вытекает точно из квантовой теории и оно не связано с квантованием углового момента. В завершении этого параграфа приведем выдержку (см. [12], стр. 108): Итак, адиабатический принцип пролил свет на тайну квантовых условий. Действительно, ранее квантовое условие Бора, согласно которому "момент импульса электрона, обращающегося вокруг ядра, равен целому кратному ", т.е. , потеряло оттенок загадочности: просто величина



является - уже согласно теореме Больцмана - адиабатическим инвариантом. Итак, отношение является инвариантом системы вне зависимости от вида взаимодействия конституентов между собой, входящих в состав системы. Еще лорд Рэлей в 1902 г. указал, что в некоторых синусоидально колеблющихся системах, таких как простой маятник, подвес которого медленно укорачивается, или поперечно колеблющаяся струна, на которую медленно надвигается узкое кольцо, или стоячие волны в медленно сокращающейся полости, происходят адиабатические изменения, при которых соотношение между энергией и частотой остается неизменным [23]. Следовательно, условие квантования Бора - Зоммерфельда возникает из условия квантования адиабатического инварианта Эренфеста и выполняется точно для атома водорода как для нерелятивистского, так и для релятивистского случаев [31]. Представляется, что совпадение результатов, полученных в рамках классической механики до создания квантовой механики, с соответствующими результатами квантовой теории не является случайным. Так, Зоммерфельд при получении своей формулы квантования энергии релятивистского атома водорода вообще не пользовался понятием спина электрона, тем не менее его результаты совпадают точно с более поздними результатами теории Дирака, где спин электрона вводится как фундаментальная величина. Мы считаем, что принцип соответствия Бора выполняется точно.

Наши рассуждения многим покажутся старомодными. Совпадение предсказаний, вытекающих из условия квантования инварианта Эренфеста, с правильными результатами квантовой теории, полученными в тех редких случаях, когда это удается сделать аналитически, удивляет. Адиабатический инвариант Эренфеста является интегралом движения в классической и квантовой механике при адиабатическом изменении некоторых параметров системы, поэтому квантование этого инварианта приводит к известным результатам квантовой теории. Представляется, что секториальная скорость (или обобщенное условие квантования Бора - Зоммерфельда) является универсальным инвариантом для периодических движений, и в том числе для резонансов элементарных частиц.

На глубокую геометрическую тождественность между условиями прозрачности потенциального барьера и условиями квантования для связанного состояния обратил внимание Давид Бом и дал изящное объяснение этому факту (см. стр. 337 и 340 в [32]):

"Образование волны между барьерами вблизи резонанса весьма напоминает процесс возникновения интенсивных стоячих волн в органной трубке или в резонансной полости с электромагнитными колебаниями. В последних примерах малый периодический импульс, сообщаемый извне, может создать интенсивную волну внутри при условии, что этот импульс имеет частоту, близкую к частоте резонирующей системы. Чем меньше в системе потери на трение, излучение и т.д., тем больше амплитуда волны и острее резонанс. Квантомеханическая задача совершенно подобна этой, так как волна, приходящая извне, ведет себя так же, как внешняя возбуждающая сила гармонического осциллятора. Если эта волна имеет такую же частоту, как и волна, испытывающая многократное отражение внутри ямы, то там возникает интенсивное колебание. Чем меньше потери, обусловленные прозрачностью барьера, тем интенсивнее волна в яме и тем острее резонанс. Таким образом, мы видим, что существует очень близкая аналогия рассматриваемого резонанса с механическими и электрическими явлениями.

Высокая прозрачность при резонансе вызывается тем, что волна в яме так велика, что даже если малая часть ее просочится сквозь барьер, то это дает заметный результат. Вследствие большой амплитуды появляется также большая вероятность попадания в область между барьерами. Это обусловлено тем, что ток вероятности через барьер пропорционален , поэтому если амплитуда достаточно велика, то компенсируется эффект малой прозрачности барьера. Зависимость прозрачности от интенсивности волны между барьерами является специфически волновым явлением. Трудно, например, представить себе, почему проникновение частиц через барьер может зависеть от того, что произойдет с ними после того, как они уже попадут внутрь ямы. Аналогию с явлением максимума прозрачности для волны резонанса можно усмотреть в простых гармонических колебаниях маятника. Если заданная внешняя периодическая сила находится в резонансе с маятником, то скорость передачи энергии маятнику пропорциональна амплитуде колебаний, которые уже существуют.

В первом приближении волна внутри барьера напоминает волновую функцию для связанного состояния, так как она велика в ограниченной области пространства. Более того, если мы образуем волновой пакет, то увидим, что при рассмотрении его как функции времени он входит в яму, задерживается там на длительное время и медленно просачивается наружу сквозь барьер. Поэтому, пока волновой пакет находится в яме, его очень трудно отличить от волновой функции связанного состояния. Действительно, метастабильные состояния в яме с барьерами значительно больше похожи на связанные состояния, чем на метастабильные состояния в потенциальной яме без барьеров, главным образом потому, что их время жизни значительно больше из-за малой прозрачности барьеров.

Такого же типа весьма интенсивная волна получается при полном внутреннем отражении света внутри тонкой стеклянной пластинки, которая расположена с очень тонким воздушным зазором между двумя толстыми стеклянными пластинками,... Для определенных длин волн наблюдается полная прозрачность, и свет внутри средней стеклянной пластинки имеет большую интенсивность."

Мы полностью согласны с утверждением Д.Бома. Добавим только, что при исследованиях резонансов в ядрах мы давно обратили внимание на независимость свойств этих резонансов от детальной структуры внешних полей, под действием которых возбуждаются такие резонансы [33].

В изложенных выше тезисах мы использовали метод Бора для квантования открытых систем, в частности для изучения свойств адронных резонансов (подробности см. в обзорах [1,6], здесь же мы привели, как мы надеемся, более аргументированную интерпретацию полученных результатов). При этом мы проводили аналогию с теорией -распада и теорией открытых волновых резонаторов. Однако следует особо подчеркнуть, что энергии адронных резонансов выше потенциальных барьеров. Тем не менее и для таких резонансных состояний можно говорить об их подобии со связанными состояниями [8]. Одним из принципиальных вопросов является вопрос о том, можно ли найти количественный критерий подобия связанных и резонансных состояний, который можно было бы проверить на основе экспериментальных и наблюдаемых данных. Для этого мы применяли классические принципы - подобия и размерностей, тестированные в разных областях физики.

Завершим этот параграф напоминанием, что в модели Бора периоды обращения электронов по боровским орбитам строго синхронизованы, что видно из формyлы



1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   18

Похожие:

Парапсихология и психофизика. 2000. №1. С. 22-57. Универсальность принципа синхронизации Гюйгенса и Гармония в Природе iconС. 15-18. Универсальность принципа синхронизации Гюйгенса в микро- и макромире
В этом смысле только интеграл энергии универсален и чрезвычайно полезен во всех случаях, потому что он известен a priori без полного...
Парапсихология и психофизика. 2000. №1. С. 22-57. Универсальность принципа синхронизации Гюйгенса и Гармония в Природе iconПарапсихология и психофизика. 2000. №2. С. 34-36. Оглядываясь на проблему сознания
Как это может быть? Позвольте мне описать два в некотором смысле аналогичных стратегических предложения, и сравнить их с рекомендацией...
Парапсихология и психофизика. 2000. №1. С. 22-57. Универсальность принципа синхронизации Гюйгенса и Гармония в Природе iconПарапсихология и психофизика. 2000. №2. С. 37-51. Функция и феноменология: закрывая разрыв в объяснении
В этой функционалистской перспективе трудная, эмпирическая проблема сознания состоит в том, чтобы обнаружить, какие именно нейронные...
Парапсихология и психофизика. 2000. №1. С. 22-57. Универсальность принципа синхронизации Гюйгенса и Гармония в Природе iconПарапсихология и психофизика. 2000. №1. С. 58-62. О распространении волн в сетевой среде и их воздействии на вещество
Предложена теория кластерных сетей. Обсуждаются особенности распространения волн в этих сетях. Показана возможность объяснения новых...
Парапсихология и психофизика. 2000. №1. С. 22-57. Универсальность принципа синхронизации Гюйгенса и Гармония в Природе iconПарапсихология и психофизика. 1992. №4. С. 3 Магия и квантовая механика
В последнем случае на магические обряды и ритуалы надо смотреть как на следствие тысячелетних экспериментов, поставленных древними...
Парапсихология и психофизика. 2000. №1. С. 22-57. Универсальность принципа синхронизации Гюйгенса и Гармония в Природе iconПарапсихология и психофизика. 1998. №1
Ик-излучения индуктора и перципиента. В экспериментах наблюдалась яркостная температура ладоней испытуемых в состоянии подготовки...
Парапсихология и психофизика. 2000. №1. С. 22-57. Универсальность принципа синхронизации Гюйгенса и Гармония в Природе iconПарапсихология и психофизика. 1992. №3. С. 2-13. Геопатогенные зоны и земное излучение таинственные загадки экологии
Земли, возникающих вследствие пересечения подземных водных потоков, геологических разломов и так называемых глобальных координатных...
Парапсихология и психофизика. 2000. №1. С. 22-57. Универсальность принципа синхронизации Гюйгенса и Гармония в Природе iconПарапсихология и психофизика. 1998. №2
Обнаружив, что информацию с большой скоростью можно передать и в сверх узкой полосе частот (эффект нелинейной модуляции), мне удалось...
Парапсихология и психофизика. 2000. №1. С. 22-57. Универсальность принципа синхронизации Гюйгенса и Гармония в Природе iconПарапсихология и психофизика. 1992. №6. С. 24-27. Целительные способности духа
Сила заговора обоснована, очевидно, всецело внушениями. Относительно исцеления прикосновением мнения расходятся. На взгляд представителей...
Парапсихология и психофизика. 2000. №1. С. 22-57. Универсальность принципа синхронизации Гюйгенса и Гармония в Природе iconПарапсихология и психофизика. 1995. №1. С. 22-46
Величину эффекта оценивали по углу поворота вертушки и воспроизводимости вращения. Движения вертушки фиксировали с помощью видеокамеры....
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org