2. Линейные пространства



Скачать 172.23 Kb.
Дата08.10.2012
Размер172.23 Kb.
ТипДокументы

2. Линейные пространства


















Линейным пространством называется множество L, в котором определены операции сложения и умножения на число, т.е. для каждой пары элементов a,bL существует некоторый cL , который называется их суммой, и для любого элемента aL и любого числа R существует bL называемый произведением  на a. Элементы линейного пространства называются векторами. Операции сложения и умножения на число удовлетворяют следующим аксиомам.

Аксиомы сложения:  a, b, cL

a+b = b+a – коммутативность

(a+b) + c = a + (b+c) – ассоциативность

В пространстве существует такой элемент, который называется нуль-вектор и обозначается 0, который в сумме с любым a из L дает этот же элемент a, т.е. 0L: aL 0 + a = a.

Для всякого a из L существует противоположный элемент, обозначаемый -a , такой что (-a) + a = 0

( aL (-a)L : (-a) + a = 0)

Следствия из аксиом сложения:

1. Нуль-вектор единственен, т.е. если хотя бы для одного aL справед­ливо, что b + a = a , то b = 0.

2. Для любого вектора aL противоположный элемент единственен, т.е. b + a = 0  b = (-a)

Аксиомы умножения:  ,  R  a, bL

 (a) = () a

(a+b) = a + b – дистрибутивность (по векторам)

(+)a = a + a – дистрибутивность (по числам)

1a = a

Следствия из аксиом умножения:  a L    R

0 = 0

0 a = 0

(-a) = (-1) a

2.1 Примеры линейных пространств


1. Пространство Kn столбцов высоты n. Элементами этого пространства являются столбцы, содержащие n вещественных чисел, с операциями покомпонентного сложения и покомпонентного умножения на число. Нуль-вектором в таком пространстве является столбец, состоящий из n нулей.



2. Обычные векторы в трехмерном пространстве R3 с операциями сложения “по правилу параллелограмма” и умножением-растяжением.
Предполагается, что начала всех векторов находятся в начале координат, нуль-вектор  это вектор, который и заканчивается в начале координат

3. Многочленом степени n от одной переменной1 называется функция

Pn(x) = nx+ n-1xn n-1 + … + 1x + 0 причем n  0

Множество многочленов, степени не выше n, с обычными операциями сложения и умножения на число, образуют линейное пространство. Отметим, что множество многочленов, степени n, линейного пространства не образуют. Дело в том, что сумма двух многочленов степени, например, 3 может оказаться многочленом степени 2 (например, (x3 + 3) + (– x3 – 2x2 + 7) = – 2x2 + 10 – многочлен степени 2). Однако, операция сложения многочленов может понизить степень, но не повысить ее, поэтому множество многочленов, степени не выше n, замкнуто относительно сложения (т.е. сумма двух многочленов, степени не выше n, – всегда многочлен, степени не выше n) и образует линейное пространство.

2.2 Размерность, базис, координаты.


Линейной комбинацией векторов {e1, e2, …en}  называется выражение 1e1 + 2e2 + nen = Таким образом, линейная комбинация — это просто сумма векторов с числовыми коэффициентами. Если все коэффициенты i равны 0, линейная комбинация называется тривиальной.

Система2 векторов называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная 0. Другими словами, если существуют такие n чисел  R, что не все они равны нулю, и линейная комбинация векторов с коэффициентами равна нуль-вектору:



В противном случае векторы называются линейно независимыми. Другими словами – векторы называются линейно независимыми, если
из 1e1 + 2e2 + …+nen = 0 следует 1 =2 = …= n = 0 , т.е. если любая линейная комбинация этих векторов, равная нуль-вектору, является тривиальной.

Разложением вектора a по системе векторов {ei} называется представле­ние a в виде линейной комбинации векторов {ei}. Другими словами, разложить вектор a по векторам {ei} означает найти такие числа i , чтобы

a = 1e1 + 2e2 + kek

Заметим, что определению независимости векторов можно придать такую форму: векторы независимы, тогда и только тогда, когда разложение 0 по ним единственно.

Линейное пространство называется конечномерным, если существует такое целое n, что все независимые системы векторов в этом пространстве содержат не более n элементов.

Размерностью конечномерного линейного пространства L называется максимально возможное число линейно независимых векторов (обозначается dimL или dimL). Другими словами, линейное пространство называется n–мерным, если:

1. в пространстве существует независимая система, состоящая из n векторов;

2. любая система, состоящая из n +1 вектора, линейно зависима.

Базисом линейного пространства Ln называется любая независимая система векторов , число элементов которой равно размерности пространства.

Теорема 1. Всякую независимую систему векторов можно дополнить до базиса. Т.е., если система Lk независима и содержит векторов меньше, чем размерность пространства (n Lk, что объединенная совокупность векторов {e1,e2,…en, f1,f2,…fk-n} независима, содержит k векторов и, следовательно, образует базис Lk. ▄ Таким образом, во всяком линейном пространстве есть много (на самом деле – бесконечно много) базисов.

Система векторов называется полной, если любой aL можно разложить по векторам системы (возможно разложение не единственно).

Напротив, разложение любого вектора по независимой системе всегда единственно (но не всегда существует). Т.е.

3

Теорема 2 Разложение любого вектора по базису линейного пространства всегда существует и единственно. То есть, базис является независимой и полной системой. Коэффициенты i разложения вектора по базису {ei} называются координатами вектора в базисе {ei}.▄

Все координаты нуль-вектора равны 0 в любом базисе.

2.3 Примеры


1. Пространство R3 – известное из школьного курса трехмерное прост­ранство векторов-“направленных отрезков” с обычными операциями сложе­ния “по правилу параллелограмма” и умножения на число. Стандартный базис образуют три взаимно перпендикулярных вектора, направленных по трем осям координат; их обозначают буквами i , j и k.

2. Пространство Kn столбцов высоты n имеет размерность n. Стандарт­ный базис в пространстве столбцов образуют векторы – это столбцы, у которых на i–ой позиции стоят единицы, а остальные элементы нули:





Действительно, легко видеть, что любой столбец раскладывается по сис­теме векторов единствен­ным образом, а именно: , т.е., коэффициенты разложения по для любого столбца просто равны соответствующим элементам этого столбца.

3. Пространство многочленов, степени не выше n, имеет размерность n+1. Стандартный базис в этом пространстве:

{}. В самом деле, из определения многочлена степени n очевидно, что любой многочлен, степени не выше n, однозначно представляется в виде линейной комбинации векторов , причем коэффициентами линейной комбинации являются просто коэффициенты многочлена (если степень многочлена k меньше n, то последние n-k коэффициентов равны 0).

2.4 Изоморфизм линейных пространств


Пусть базис в Ln . Тогда каждому aLn взаимно однозначно соответствует набор из n чисел – координат вектора a в базисе . Следовательно, каждому aLn можно взаимно однозначно сопоставить вектор из пространства столбцов Kn – столбец , который образуется из координат вектора a. При так определенном соответствии базису будет сопоставлен стандартный базис из Kn. 4

Легко проверить, что суммирование векторов в Ln приводит к суммированию соответствующих координат в базисе ; значит сумме векторов в Ln отвечает при нашем соответствии сумма соответствующих столбцов в Kn; аналогичное правило имеет место и для умножения на число.

Взаимно однозначное соответствие между элементами двух пространств с сохранением введенных в этих пространствах операций называется изоморфизм. Изоморфизм, как и равенство, свойство транзитивное (переходное): если пространство Ln изоморфно Kn , а пространство Kn изоморфно некоторому пространству Mn, то и Ln изоморфно Mn.

Теорема 3. Всякое линейное пространство размерности n изоморфно Kn, следовательно, в силу транзитивности, все линейные пространства размерности n изоморфны друг другу. ▄

Изоморфные объекты с точки зрения математики являются в сущности только разными “воплощениями” (реализациями) одного объекта, и любой факт, доказанный для некоторого пространства, справедлив и для любого другого пространства, изоморфного первому.

2.5 Подпространства


Подпространством пространства L называется подмножество ML, замкнутое относительно операций сложения и умножения на число, т.е. x,y

M

Очевидно, 0M , если M – подпространство L, т.е., нуль-вектор принадлежит любому подпространству5.

Каждое подпространство линейного пространства само является линейным пространством. Множество {0} является подпространством (все аксиомы линейного пространства выполнены, если пространство состоит из единственного элемента – нуль-вектора) 6.

Каждое линейное пространство содержит два тривиальных подпространства: само пространство и нулевое подпространство {0}; прочие подпространства называются нетривиальными.

Пересечение двух подпространств является подпространством. Объединение двух подпространств подпространством, вообще говоря, не является, например, объединение двух прямых, проходящих через начало координат, не содержит суммы векторов, принадлежащих разным прямым (такая сумма лежит между прямыми) 7.

Пусть , nLk. Тогда множество всех линейных комбинаций этих векторов, т.е. множество всех векторов вида

a = 1f1 + 2f2 + nfn

образует n-мерное подпространство G{f1, f2,…fn}, которое называется линейной оболочкой векторов {f1 , f2 ,…fn }.

Теорема 4. Базис любого подпространства может быть дополнен до базиса всего пространства. Т.е. пусть MnLk подпространство, размерности n – базис в Mn. Тогда в Lk существует такой набор векторов Lk, что система векторов {f1,f2…fn , g1, g2, …gk-n} 8 линейно независима и содержит k элементов, следовательно, образует базис. ▄

2.6 Примеры подпространств.


1. В R3 всякая плоскость, проходящая через начало координат, образует двумерное подпространство, а всякая прямая, проходящая через начало координат, образует одномерное подпространство (плоскости и прямые, не содержащие 0, подпространствами быть не могут), и других подпространств в R3 нет.

2. В пространстве столбцов K3 столбцы вида , т.е. столбцы, у которых третья координата равна 0, образуют подпространство, очевидно изоморфное пространству K2 столбцов, высоты 2.

3. В пространстве Pn многочленов, степени не выше n, многочлены, степени не выше 2-х, образуют трехмерное подпространство (у них по три коэффициента).

4. В трехмерном пространстве P2 многочленов, степени не выше 2, многочлены, обращающиеся в 0 в заданной точке х0, образуют двумерное подпространство (докажите!).

5. Задача. В пространстве K4 множество М состоит из столбцов, координаты которых удовлетворяют условию: 1 22 + 3 =0 (*). Докажите, что М трехмерное подпространство K4.

7

Решение. Докажем, что М подпространство. Действительно, пусть аМ , bМ , значит, а12 + а3 =0, b1 2b2 + b3 =0. Но по правилу сложения векторов (а + b)i = аi + bi . Отсюда следует, что если для векторов а и b условие (*) выполнено, то и для а + b это условие выполнено. Так же ясно, что если для столбца а условие (*) выполнено, то оно выполнено и для столбца а. И, наконец, нуль-вектор множеству М принадлежит. Таким образом доказано, что М подпространство. Докажем, что оно трехмерно. Отметим что любой вектор аМ в силу условия (*) имеет координаты (**). Пусть m1 = , m2 = , a h4 = . Покажем, что система векторов {m1 ,m2 ,h4} образует базис в М . Составим линейную комбинацию 1m1 + 2m2 + h4 = с произвольными коэффициентами. Очевидно, что любой вектор а из М (см. (**)) раскладывается по набору {m1 ,m2 , h4}; для этого достаточно выбрать в качестве коэффициентов разложения координаты вектора 1 = а1, 2 = а2, 4 = а4 .В частности, единственной линейной комбинацией векторов m1 ,m2 , h4 , равной нуль-вектору, является комбинация с нулевыми коэффициентами: 1 = 0, 2 = 0, 4 = 0. Из единственности разложения нуль-вектора следует, что {m1 ,m2 , h4} независимая система векторов. А из того факта, что всякий аМ раскладывается по системе {m1 ,m2 , h4} , следует, что эта система полная. Полная и независимая система образует базис в подпространстве М. Так как этот базис содержит три вектора, то М трехмерное подпространство.







1 Степень многочлена определяется по самой высокой степени, коэффициент при которой не равен 0.

2 Напомним: “совокупность, набор, система” - синонимы.

3 Т.е. у двух разложений одного вектора по независимой системе векторов коэффициенты разложения обязательно совпадают – это критериальное свойство, т.е. им обладают все независимые системы и только они.

4 Вектор e1 из базиса очевидно имеет координаты {1, 0, 0 …0}, следовательно ему соответствует столбец h1 , и т.д.

5 Если в х М положить =0, получим 0 М.

6 Следует различать 0 и {0}, т.е. сам нуль-вектор и множество, состоящее из одного элемента – нуль-вектора.

7 Минимальным подпространством, содержащим два данных подпространства M и N, является их сумма: M +N = {x}: $x1ÎM, x2ÎN, x = x1+x2 т.е. сумма подпространств – это совокупность х, представимых в виде суммы двух элементов, один из которых принадлежит первому подпространству, а второй – второму.

8 Всего элементов в таком наборе векторов: n+(k-n)=k. Теорема фактически является следствием теоремы 1.



Похожие:

2. Линейные пространства iconПрограмма экзамена по алгебре и геометрии 2 семестр линейные пространства
Линейные пространства. Понятие линейного пространства. Примеры линейных пространств
2. Линейные пространства iconВопросы к экзамену алгебра линейные пространства
Размерность и базис линейного пространства. Конечномерные и бесконечномерные линейные пространства. Базис. Разложение вектора по...
2. Линейные пространства icon4. линейные операторы
Пусть Xn и Ym – линейные пространства. Отображение a называется линейным оператором из Xn в Ym, если оно сохраняет линейные зависимости,...
2. Линейные пространства icon3. линейные, евклидовы и унитарные пространства линейные пространства
Определение. Арифметическим пространством Rn называется множество векторов, в котором операции сложения векторов и умножения вектора...
2. Линейные пространства iconВопросы к экзамену по курсу "Линейная алгебра и геометрия"
Конечномерные линейные пространства. Базис пространства. Размерность пространства
2. Линейные пространства iconПрограмма курса Линейная и векторная алгебра. Программа курса
Линейные операции над векторами. Базисы, разложение вектора по базису. Координаты вектора. Декартов базис. Скалярное, векторное и...
2. Линейные пространства iconПрограмма курса «уравнения математической физики»
Линейные пространства, линейная независимость, конечномерные и бесконечномерные пространства, примеры
2. Линейные пространства iconЛинейные преобразования
Пусть дано п-мерное действительное пространство Vп. Рассмотрим преобразование этого пространства, то есть отображение, переводящее...
2. Линейные пространства iconТемы экзамена дисциплины «Математические основы теории систем»
Понятие пространства. Линейные векторные пространства. Пространство состояний системы
2. Линейные пространства iconЛинейные пространства
Определение линейного пространства. Непустое множество любой природы называется линейным пространством, если выполнены следующие...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org