Линии переключения на фазовой плоскости



Скачать 50.24 Kb.
Дата08.10.2012
Размер50.24 Kb.
ТипДокументы

Линии переключения на фазовой плоскости



Если правая часть дифференциального уравнения не дифференцируемая функция (релейная система), то особые точки могут сливаться в целые линии – линии переключения, и по разные стороны от них нелинейный элемент НЭ системы переключается в разные состояния.

НЭ ЛЧ

φзад= 0 e(t) φ(t)
(-)

рис. 3. Нелинейная следящая система с гистерезисом.
Обозначим X1(t)= φ(t) и перейдём к системе из двух уравнений в фазовом пространстве:

Основная идея: там, где нелинейный элемент находится в одном из своих устойчивых состояний, дифференциальное уравнение сильно упрощается и его надо решить отдельно в каждой из этих областей и на границе линии переключения.

1) Область N1: F(x)=+1 при условии: система упрощается: ; уравнение фазовых тракторий:



Это уравнение можно явно проинтегрировать:

Ниже приведён фазовый портрет системы. Толстой линией показана линия переключения на фазовой плоскости. Правее этой линии реле находится в состоянии +1, левее - в состоянии -1.
2) Область N2: F(x)=-1 в остальной части плоскости.


рис. 4. Фазовый портрет следящей системы с гистерезисом.
Видим, что на фазовой плоскости имеется устойчивый предельный цикл - колебательный процесс, к которому стягиваются близкие траектории. Этот предельный цикл является предельным колебательным процессом, который устанавливается в системе.
Чтобы оценить время движения по траектории поступают очень просто. Выбирают начальные условия.
Решают уравнение до момента попадания в точку на линии переключения. Рассмотрим состояние в момент как начальное условие для движения в следующей области.

Переходим в другую область. Используя уравнения для этой области, находим - время перехода в следующую область и так далее.

Решение по областям и сопряжение граничных условий называется методом припасовывания.
Заметим, кстати, что в Примерах 1 и 2 Лекции 10 также имеются устойчивые предельные циклы на фазовой плоскости. Особенно интересен здесь Пример 1, в котором фазовое пространство трехмерно, поэтому предельный цикл будет в трехмерном пространстве, но мы можем рассмотреть его проекцию на фазовую плоскость.


рис. 5. Фазовый портрет системы из Примера 1 Лекции 10 и

трёхмерное фазовое пространство этой системы.

Наряду с предельными циклами, в нелинейных системах имеются так называемые скользящие режимы, при которых возможно существенно увеличить быстродействие в следящей системе.
1

p2

c

-c

Uзад= 1 e(t) X(t)
(-)

1 + Kos P


В этой системе имеется дифференциатор в цепи обратной связи. За счёт переключения реле все переходные процессы имеют две стадии: вначале происходит относительно медленное перемеще-ние до момента переключения реле, а затем последнее начинает переключаться с очень большой (теоретически бесконечной) частотой, удерживая при этом переходный процесс на некоторой линии фазовой плоскости. Эта линия называется линией скольжения, так как движение вдоль неё может происходить очень быстро.



рис. 1 Скользящий процесс в следящей системе с реле.
Ясно видна линия переключения, являющаяся также и линией скольжения. Она выделена жирно на фазовой плоскости. Кружочком обозначена точка покоя Х1=1; Х2=0.

Быстрое движение по линии скольжения обуславливает следующие возможности, возникающие в нелинейных системах:

  • Возможность получения с использованием релейного регу-

лятора гораздо меньшего времени переходного процесса, чем, например, при использовании стандартного ПИД-регулятора.

  • Возможность получения практически конечного времени переходного процесса (времени достижения заданного состояния).


Всё это хорошо видно на результатах моделирования рис.1.

Также видно, что переходный процесс апериодический и заканчивается за конечное время.
Реализация скользящих режимов в реальных системах встречает некоторые трудности.

  • Во-первых, скользящий режим всегда является идеализацией.

  • Во-вторых, при программной реализации релейного элемента

часто имеются сложности численного интегрирования дифференциальных уравнений при автоматическом выборе шага.
На практике всегда реализуется режим близкий к скользящему, но отличающийся от истинно скользящего конечной частотой преключения. В самом деле, реальный релейный элемент не может переключаться с бесконечной частотой вне зависимости от способа его реализации: аппаратной (реле), электронной (электронная ключевая схема) или программной. Яркий пример скользящего режима на практике - регулятор зарядки аккумулятора в автомобиле, где реле (контроллер) зарядки включает и отключает обмотку возбуждения генератора с достаточно высокой частотой, достигающей сотни Герц. При этом, в силу большой ёмкости аккумулятора, переходные процессы близки к скользящему режиму. Если напряжение уже достигло номинального уровня, реле(контроллер) с большой частотой включает и отключает зарядную цепь так, что колебания вокруг номинала очень малы. Преимущества такого регулирования очевидны:

  • чрезвычайно высокий КПД при малых потерях энергии в самом регуляторе;

  • максимально возможная скорость переходных процессов зарядки, так как при зарядке всегда используется вся возможная мощность генератора (реле просто напрямую его подключает к аккумулятору).

Эти два свойства вообще являются характерными для релейных систем автоматического управления.

Похожие:

Линии переключения на фазовой плоскости iconВопросы для экзамена по курсу "теоретическая механика"
Одномерное движение, анализ на фазовой плоскости. Особые точки фазовой плоскости седло и центр. Сепаратриса
Линии переключения на фазовой плоскости iconМетодические рекомендации для совместного изучения уравнения прямой линии на плоскости и прямой линии и плоскости в пространстве. Спк, 2009год
Методические рекомендации предназначены для самостоятельной подготовки и ликвидации пробелов в знаниях учащихся по теме «Управление...
Линии переключения на фазовой плоскости iconЛекция 5 по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»
В предыдущих лекциях мы изучали прямые линии и плоскости, они задаются уравнениями первой степени: ax + by + cz + d = Сегодня мы...
Линии переключения на фазовой плоскости iconПрограмма курса «Алгебра и геометрия»
Понятие об уравнении линии на плоскости, способы задания. Общее уравнение прямой линии на плоскости. Взаимное расположение прямых....
Линии переключения на фазовой плоскости iconПрограмма Государственного экзамена по подготовке магистра по направлению «Радиофизика» (510419)
Консервативные и диссипативные колебательные системы и их фазовые портреты. Метод фазовой плоскости
Линии переключения на фазовой плоскости iconI семестр Эпюр Лист №1
Задача По заданным координатам построить пирамиду sавс d и плоскость keg найти угол наклона плоскости keg к плоскости П1 с помощью...
Линии переключения на фазовой плоскости iconНелинейные уравнения локальной нестационарности в безразмерных переменных в зоне прыжкового сопряжения
Настоящая статья преследует цель преобразования полученных в (1,2) уравнений к виду удобному для дальнейшего определения метода и...
Линии переключения на фазовой плоскости iconЭлементы аналитической геометрии
Определение Линия на плоскости – множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют некоторому уравнению, причем, координаты...
Линии переключения на фазовой плоскости iconЛинии на плоскости
При чтении экономической литературы приходится иметь дело с большим количеством графиков. Укажем некоторые из них
Линии переключения на фазовой плоскости iconЗадачи по теме «Дифференциальная геометрия»
В точке t=0 для винтовой линии записать уравнения главной нормали; бинормали м соприкасающейся плоскости
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org