20. Правильные многогранники и их симметрия




Скачать 45.68 Kb.
Название20. Правильные многогранники и их симметрия
Дата конвертации08.10.2012
Размер45.68 Kb.
ТипДокументы
Олег, в модели "Куб" надо исправить надпись "Середины граней" на "Центры граней"
20. Правильные многогранники и их симметрия. По аналогии с правильными плоскими фигурами - многоугольниками - в пространстве определяют правильные многогранники: многогранник называется правильным, если все его грани - равные друг другу правильные многоугольники, а все его двугранные углы равны между собой.

Мы знаем, что существует правильный многоугольник с любым количеством сторон, т.е. число видов правильных многоугольников - бесконечно. Однако для правильных многогранников это не так. Еще Евклид доказал, что существует всего пять видов правильных многогранников. Предложение, которым он завершает свои “Начала”, звучит так: “Вот я утверждаю, что кроме упомянутых пяти тел нельзя построить другого тела, заключенного между равносторонними и равноугольными равными друг другу многоугольниками.”

Перечислим правильные многогранники:

- правильные тетраэдры (четырехгранники), у которых грани правильные треугольники (рис.85,а);

- кубы (правильные гексаэдры, шестигранники), у которых грани - квадраты (рис.85,б);

- правильные октаэдры (восьмигранники), у которых грани - правильные треугольники (рис.85,в);

- правильные додекаэдры (двенадцатигранники), у которых грани - правильные пятиугольники (рис.85,г)

- правильные икосаэдры (двадцатигранники), у которых грани - правильные треугольники (рис.85,д).

а) б) в)

г) д)

Рис.85

Интересно, что центры граней каждого правильного многогранника являются вершинами другого правильного многогранника. Так, например, отметив центры граней куба, мы можем получить правильный октаэдр (рис.86,а) и наоборот (рис.86,б). Далее, центры граней правильного додекаэдра являются вершинами правильного икосаэдра и наоборот (рис.86, в,г) А центры граней правильного тетраэдра являются вершинами нового правильного тетраэдра (рис.86,д).

а) б) в)

г) д)

Рис.86
Расскажем о симметрии правильных многогранников. Начнем с правильного тетраэдра.

В правильном тетраэдре шесть плоскостей симметрии: каждая такая плоскость определяется ребром тетраэдра и серединой скрещивающегося с ним ребра (рис.87,а).

Две плоскости симметрии тетраэдра, содержащие два его скрещивающихся ребра, пересекаются по прямой, проходящей через середины этих скрещивающихся ребер (рис.87,б). Такая прямая является осью симметрии тетраэдра. У тетраэдра три оси симметрии.

Кроме перечисленных видов симметрии, тетраэдр обладает поворотной симметрией на угол 1200 - вокруг прямой, содержащей высоту тетраэдра (рис.87,в). Таких осей поворота четыре - по числу высот тетраэдра.

а) б) в)

Рис.87
Центра симметрии правильный тетраэдр не имеет. Это легко объясняется, например, тем, что правильный тетраэдр не имеет параллельных граней.

Перейдем теперь к кубу. Куб (как и произвольный параллелепипед) имеет центр симметрии - точку пересечения диагоналей.

Оси симметрии куба изображены на рисунке 88. Те его оси симметрии куба, которые проходят через центры его противоположных граней, являются и осями его поворотной симметрии на угол 900. Оказывается, куб имеет и другие оси поворота.



Рис.88

Рассмотрим куб ABCDA1B1C1D1 (рис.89).



Рис.89

Проведем отрезки AC, CD1 и AD1. Мы получили правильную треугольную пирамиду DACD1,с вершиной D, которая - очевидно - имеет ось поворотной симметрии DM (M - центр грани ACD1 этой пирамиды): при повороте вокруг этой прямой на 1200 пирамида DACD1 отображается на себя. При этом повороте ребро DD1 - в DA, а потому куб отобразится на себя и значит, точка B1 останется ребро куба DA перейдет в ребро DC , ребро DC - в ребро DD1, на месте.

Итак, куб при повороте на 1200 вокруг прямой DM (или, что то же самое, — почему? — вокруг прямой DB1, содержащей диагональ куба) отобразится на себя. Это означает, что прямая, содержащая диагональ куба, является осью поворотной симметрии куба на угол 1200. Таких осей в кубе четыре.

Плоскости симметрии куба изображены на рисунке 90.





Рис.90
На рисунках 91-92 изображены остальные правильные многогранники и некоторые их элементы симметрии. Используя модели, сосчитайте для каждого правильного многогранника количество осей и плоскостей симметрии. Постарайтесь определить в каждом случае углы поворотной симметрии.

а) б)

Рис.91 Рис.92
С п р а в к а с л о в е с н и к а. Слова октаэдр, икосаэдр, додекаэдр - греческого происхождения:  (окто) - восемь (сравните, например, со словом октава),  (эйкоси) - двадцать,  (додека) - двенадцать,  (эдра) - опора, грань. В буквальном переводе октаэдр, икосаэдр, додекаэдр - имеющие 8, 20, 12 опор (или граней).

Слово куб происходит от греческого слова  (кюбос). Изначально, куб - игральная кость с шестью гранями. Но в теории многогранников куб иногда называют правильным гексаэдром, т.е. правильным шестигранником (гекс по -гречески шесть) .

В Древней Греции правильные многогранники символизировали различные стихии: тетраэдр был символом Огня, куб - символом Земли, октаэдр - символом Воздуха, икосаэдр - символом Воды, а додекаэдр - символом Вселенной (рис.93).

а) б) в)

г) д)

Рис.93
Мы определили правильные многогранники как те, у которых равны друг другу ребра, углы граней и двугранные углы. Но можно было бы их определить как максимально симметричные многогранники. Это означает следующее. Если у правильного многогранника P взять вершину A, идущее из нее ребро a и грань , прилегающую к этому ребру, а затем взять еще один такой набор из вершины A1,, ребра a1 и грани 1, то найдется такое движение многогранника P, которым вершина A, ребро a и грань  отображаются соответственно в вершину A1 ,, ребро a1 и грань 1. Это свойство является характеристическим свойством правильного многогранника - им обладают только правильные многогранники. Поэтому можно было бы определить правильный многогранник как многогранник, обладающий свойством максимальной симметричности.

Конечно, можно определить правильный многогранник и конструктивно: как многогранник, составленный из одинаковых правильных пирамид, имеющих общую вершину.

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

20. Правильные многогранники и их симметрия iconПрограмма элективного курса «правильные многогранники»
Правильные многогранники. Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но...

20. Правильные многогранники и их симметрия iconПравильные многогранники
Правильные выпуклые многогранники следующие: тетраэдр ( 4 грани, рис. 99 ); гексаэдр ( 6 граней, рис. 100 ) – это хорошо нам известный...

20. Правильные многогранники и их симметрия iconУрок геометрии и информатики 10 класс «Симметрия в пространстве. Правильные многогранники»
Однако человек обращается к математике «не затем, чтобы любоваться неисчислимыми сокровищами. Ему, прежде всего, нужно ознакомиться...

20. Правильные многогранники и их симметрия iconТема реферата
Я выбрала тему «Правильные многогранники» потому, что в нашей жизни многогранники встречаются повсюду, почти в каждом предмете можно...

20. Правильные многогранники и их симметрия iconТема реферата
Я выбрала тему «Правильные многогранники» потому, что в нашей жизни многогранники встречаются повсюду, почти в каждом предмете можно...

20. Правильные многогранники и их симметрия iconУрок №14 Тема урока: Пять красивых тел. Правильные многогранники
Цель урока: Рассмотреть правильные многоугольники, их свойства и их место в гармонии мироздания

20. Правильные многогранники и их симметрия icon11 «А» класс Учитель-консультант: учитель высшей категории Коваленко С. В. Гурьевск, 2008 Содержание
Правильные многогранники с древних времён притягивали учёных и философов своей неповторимостью. Их изучением занимались Евклид, Платон,...

20. Правильные многогранники и их симметрия icon«Правильные многогранники»
Познакомить учащихся с новым типом выпуклых многогранников правильными многогранниками

20. Правильные многогранники и их симметрия icon«Правильные многогранники» (10 класс)
Познакомить учащихся с новым типом выпуклых многогранников – правильными многогранниками

20. Правильные многогранники и их симметрия icon1. Правильные многогранники в философской картине мира Платона
Познакомить учащихся с новым типом выпуклых многогранников – правильными многогранниками

Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2012
обратиться к администрации
ru.convdocs.org
Главная страница