Лекция 26. Проверка адекватности и работоспособности регрессионной модели. Планы второго порядка. Регрессионный анализ результатов вычислительного эксперимента на детерминированной теоретической модели



Скачать 137.86 Kb.
Дата08.10.2012
Размер137.86 Kb.
ТипЛекция

Лекция 26. Проверка адекватности и работоспособности регрессионной модели. Планы второго порядка. Регрессионный анализ результатов вычислительного эксперимента на детерминированной теоретической модели

Проверка адекватности и работоспособности регрессионной модели


По уравнению регрессии (6.75) можно вычислить предсказанные значения функции отклика всех точках спектра плана: . В результате будет получено N значений . Если регрессионная модель получена на основе ПФЭ и все коэффициенты регрессии признаны значимыми, то в формуле (6.75) . Тогда значения должны совпадать со средними выборочными значениями , полученными в результате эксперимента для каждой точки спектра плана. Следовательно, поверхность отклика проходит через все точки , и полученная модель адекватна. Значения в этом случае используют для проверки правильности вычислений коэффициентов регрессии.

Если же , то в общем случае , а величины их разностей несут информацию об ошибках предсказания по уравнению регрессии и их можно использовать для последующего анализа свойств полученной модели ее адекватности и работоспособности.

Для оценки рассеяния эмпирических значений относительно расчетных , полученных по уравнению регрессии, используют дисперсию адекватности

(6.76)

где n число параллельных опытов; N – число точек спектра плана;
количество значимых коэффициентов регрессии.

Если число параллельных опытов в различных точках спектра плана неодинаково, то для вычисления используют формулу

(6.77)

где число параллельных опытов в i-й точке спектра плана.

Проверка адекватности регрессионной модели осуществляется путем сопоставления дисперсии адекватности и дисперсии воспроизводимости эксперимента .
У адекватной модели значение обусловлено в основном действием случайной помехи, поэтому различие между и должно быть небольшим, так как они оценивают одну и ту же дисперсию помехи .

Проверку гипотезы об адекватности модели (гипотезы о равенстве дисперсий и ) выполняют по критерию Фишера (F-критерию)

(6.78)

В формулах (6.76) и (6.77) учтено, что чем больше число т параллельных опытов, тем с большей достоверностью оцениваются средние значения функции отклика у. Поэтому требования к различиям между экспериментальными и расчетными значениями становятся более жесткими, что отражается в увеличении F-критерия.

Полученные значения статистики F сравнивают с табличным значением критерия Фишера , определяемым в зависимости от уровня значимости q и чисел степеней свободы и , с которыми определялись дисперсии и :

(6.79)

(6.80)

Если , регрессионная модель считается адекватной.

Различие между дисперсиями и обусловлено систематической ошибкой при определении функции отклика по уравнению регрессии из-за его приближенности. Если модель описывает физические свойства исследуемого объекта неудовлетворительно, систематическая ошибка приводит к значительному возрастанию дисперсии адекватности и, следовательно, к увеличению статистики F.

При гипотеза адекватности модели отвергается. В таком случае нужно либо изменить структуру математической модели, либо уменьшить интервалы варьирования факторов и провести повторно эксперимент с моделью прежней структуры.

В первом варианте реализуется принцип постепенного усложнения структуры математической модели. Если использовалось упрощенное уравнение регрессии первого порядка, учитывающее влияние на функцию отклика только факторов, или факторов и некоторого количества эффектов их взаимодействий низших порядков, что характерно для ДФЭ, то в модель можно дополнительно ввести новые члены, содержащие другие эффекты взаимодействия тех же порядков или более высоких порядков. Однако во многих случаях такой путь оказывается неэффективным, так как, согласно выражению (6.76), при увеличении количества членов уравнения регрессии и неизменном числе точек спектра плана N дисперсия адекватности может возрасти, несмотря на снижение разности , поскольку при этом увеличивается и, следовательно, уменьшается знаменатель выражения (6.76). Кроме того, следует иметь в виду, что с увеличением порядка эффекта взаимодействия возрастает вероятность незначимости коэффициента регрессии при этом эффекте. В этой связи наиболее целесообразно перейти к планированию второго порядка, используя регрессионное уравнение в виде полного квадратного полинома.

После обеспечения адекватности регрессионной модели осуществляют проверку ее работоспособности.

Адекватность регрессионной модели еще не гарантирует ее пригодность к практическому использованию в задачах прогнозирования и поиска оптимальных решений. Модель может оказаться неработоспособной из-за низкой ее точности. Для проверки работоспособности модели используют коэффициент детерминации, представляющий собой числовую интегральную характеристику точности уравнения регрессии. Его значение вычисляют по формуле

(6.81)

где среднее значение отклика:

(6.82)

Модель считается работоспособной при . В этом случае обеспечивается уменьшение ошибки предсказания, полученного по уравнению регрессии, по крайней мере, в 2 раза в сравнении с предсказанием по среднему значению отклика , без учета влияния факторов на функцию отклика у.

Планы второго порядка


Планы второго порядка предназначены для получения регрессионной модели в виде полного квадратного полинома полинома второй степени. Такой полином содержит основные эффекты, все парные взаимодействия и квадратичные эффекты

(6.83)

Число коэффициентов уравнения регрессии в этом случае

(6.84)

что в раз больше, чем в линейной модели вида (6.43).

Соответственно возрастает и минимально необходимое число точек в спектре плана. Для получения квадратичной модели варьирование факторов в эксперименте должно осуществляться, по крайней мере, на трех уровнях.

Существует большое множество различных планов второго порядка. Систематизированное их изложение дается в специальной литературе [9]. Рассмотрим кратко лишь композиционные планы типа , получившие широкое применение благодаря их экономичности и простой структуре. Эти планы содержат ядро ПФЭ2k или ДФЭ2k-p и включают 2k звездных точек, которые расположены на координатных осях на расстоянии от центра эксперимента. Величина выбирается из условия минимизации обобщенной дисперсии оценок коэффициентов регрессии, что обеспечивает минимум объема эллипсоида рассеяния этих оценок. Следовательно, планы построены с учетом критерия D-оптимальности. Величина для этих планов оказывается равной 1 для всех k факторов, а область планирования представляет собой гиперкуб. Центральной точки планы Bk не содержат.

Если ядром плана является ПФЭ2k, то число точек спектра плана типа Bk определяют по формуле

(6.85)

а если ядро составляет план ДФЭ2k-p, то

(6.86)

В качестве примера в табл. 6.9 приведена матрица спектра плана типа Bk при k = 3, ядром которого является план ПФЭ23.

Таблица 6.9

i

x1

x2

x3

i

x1

x2

x3

1

-1

-1

-1

9

-1

0

0

2

+1

-1

-1

10

+1

0

0

3

-1

+1

-1

11

0

-1

0

4

+1

+1

-1

12

0

+1

0

5

-1

-1

+1

13

0

0

-1

6

+1

-1

+1

14

0

0

+1

7

-1

+1

+1













8

+1

+1

+1













Из приведенной таблицы легко видеть процедуру построения плана. Первые восемь точек составляют ядро плана Bk, соответствуют спектру плана ПФЭ23, а остальные шесть – звездные точки. В этих точках варьируется только один какой-либо фактор , на нижнем или верхнем уровне, а остальные находятся в центре эксперимента и их нормированные значения равны нулю.

Оценки коэффициентов регрессии вычисляют по формулам:

(6.87)

(6.88)

(6.89)

(6.90)

В формулах (6.87) и (6.88) число точек ядра спектра плана: .

Если отдельные коэффициенты и окажутся незначимыми, то их можно исключить из уравнения регрессии без пересчета остальных коэффициентов.

Дисперсии оценок коэффициентов регрессии различны, так как план не обладает свойством ортогональности, а коэффициенты и коррелированны, поэтому в случае незначимости некоторых коэффициентов при исключении их из модели требуется уточнение оставшихся коэффициентов и .

Регрессионный анализ результатов вычислительного эксперимента на детерминированной теоретической модели


Детерминированная математическая модель характеризуется взаимно однозначным соответствием между внешним воздействием на моделируемую систему и ее реакцией на это воздействие. Поэтому в каждой точке спектра плана проводят только один опыт. План активного вычислительного эксперимента составляется в зависимости от вида регрессионной модели так же, как и для вероятностных математических моделей. При построении экспериментальных факторных моделей, предназначенных для решения задач оптимизации параметров технических объектов в процессе их функционального проектирования, используют планы первого и второго порядков.

Регрессионный анализ при экспериментах на детерминированных и вероятностных моделях включает одни и те же этапы: статистический анализ результатов эксперимента, получение оценок коэффициентов регрессии оценка адекватности экспериментальной факторной модели. Однако содержание первого и третьего этапов в обоих случаях различно.

На первом этапе осуществляется построение модели среднего и ее статистический анализ. При этом определяют среднее значение функции отклика и дисперсию модели среднего , характеризующую рассеяние результатов эксперимента относительно :

(6.91)

(6.92)

где значение функции отклика в i-й точке спектра плана;
N количество проведенных опытов, равное числу точек спектра плана.

Коэффициенты регрессии первого порядка определяются по
формулам (6.70) и (6.71), а регрессии второго порядка, полученной на основе плана типа , по формулам (6.87)(6.90).

После определения коэффициентов осуществляется проверка пригодности полученного уравнения регрессии. Для этого вначале необходимо вычислить по уравнению регрессии предсказываемые значения функции отклика в каждой точке плана . В уравнение регрессии при вычислениях подставляют значения нормированных факторов в соответствии с матрицей спектра плана. Затем определяется остаточная дисперсия

(6.93)

где число коэффициентов в уравнении регрессии.

При оценке пригодности полученного уравнения регрессии принимается иная нулевая гипотеза, чем при экспериментах на вероятностных моделях. Здесь нулевая гипотеза гласит о том, что модель среднего достаточно хорошо описывает исследуемый процесс. Качество предсказания, обеспечиваемого уравнением регрессии, оценивают по критерию Фишера F сравнивая остаточную дисперсию с дисперсией модели среднего :

(6.94)

Уравнение регрессии адекватно описывает результаты эксперимента, если полученное по формуле (6.94) значение F больше табличного значения критерия Фишера , определяемого при принятом уровне значимости и числах степеней свободы и , с которыми определены дисперсии и . Согласно выражениям (6.92) и (6.93) . Если условие выполняется, это означает, что уравнение регрессии описывает результаты эксперимента в раз лучше модели среднего. Тогда нулевая гипотеза отвергается.

При оценке значимости коэффициентов регрессии принимается нулевая гипотеза о том, что , и осуществляется проверка, отличаются ли статистически значимо оценки коэффициентов от нуля. Значимость проверяют по критерию Стьюдента, используя формулу (6.73). При вычислении дисперсии , оценивающей погрешности определения коэффициентов , используется остаточная дисперсия (а не дисперсия воспроизводимости эксперимента , как это было для вероятностной модели)

. (6.95)

При упрощении уравнения регрессии остаточная дисперсия может возрасти, что приводит к снижению критерия Фишера. Поэтому члены уравнения регрессии с незначимыми коэффициентами можно исключать лишь в том случае, если проверка полученной упрощенной модели на адекватность по критерию Фишера дает положительный результат.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК


  1. Советов Б.Я. Моделирование систем : учеб. для вузов / Б.Я. Советов,
    С.А. Яковлев. 3-е изд., перераб. и доп. М. : Высш. шк., 2001. 343 с.

  2. Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем: учеб. для вузов / В.П. Тарасик. М.: Наука, 1997. 600 с.

  3. Введение в математическое моделирование: учеб. пособие для вузов / под ред. П.В.Тарасова. М.: Интермет Инжиниринг, 2000. 200 с.

  4. Советов Б.Я. Моделирование систем : учеб. для вузов / Б.Я. Советов,
    С.А. Яковлев. 2-е изд. М.: Высшая школа, 1998. 319 с.

  5. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем – искусство и наука /
    Р. Шеннон. М.: Мир, 1978. 308 с.

  6. Максимей И.В. Имитация моделирования на ЭВМ / И.В. Максимей.
    М.: Радио и связь, 1988. 232 с.

  7. Литвинов В.В. Методы построения имитационных систем / В.В. Литвинов Т.П.Марьянович. Киев Наукова Думка 1991. 120 с.

  8. Шрайбер Т.Дж. Моделирование на GPSS / Т.Дж. Шрайбер.
    М.: Машиностроение, 1980. 592 с.

  9. Технология системного моделирования / Е.Ф. Аврамчук [и др.]. М. Машиностроение 1988. 520 с.

  10. Альянах И.Н. Моделирование вычислительных систем / И.Н. Альянах.
    Л. Машиностроение 1988. 233 с.

  11. Балакирев В.С. Оптимальное управление процессами химической технологии / В.С. Балакирев В.М. Володин А.М. Цирлин. М. Химия 1978. 384 с.

  12. Пакеты прикладных программ: Математическое моделирование / под ред. А.А. Самарского. М.: Наука, 1989. 128 с.

  13. Системное обеспечение пакетов прикладных программ / под ред.
    А.А. Самарского. М.: Наука, 1990. 208 с.







Похожие:

Лекция 26. Проверка адекватности и работоспособности регрессионной модели. Планы второго порядка. Регрессионный анализ результатов вычислительного эксперимента на детерминированной теоретической модели iconЛекция 25. Генерирующие соотношения и определяющие контрасты. Статистический анализ результатов активного эксперимента. Определение коэффициентов регрессионной модели и проверка их значимости
Дфэ содержит полностью совпадающие или противоположные столбцы, то это исключает возможность раздельного оценивания коэффициентов...
Лекция 26. Проверка адекватности и работоспособности регрессионной модели. Планы второго порядка. Регрессионный анализ результатов вычислительного эксперимента на детерминированной теоретической модели iconЛекция 31. Анализ и интерпретация результатов машинного моделирования. Корреляционный анализ результатов моделирования. Регрессионный анализ результатов моделирования. Дисперсионный анализ результатов моделирования
...
Лекция 26. Проверка адекватности и работоспособности регрессионной модели. Планы второго порядка. Регрессионный анализ результатов вычислительного эксперимента на детерминированной теоретической модели icon2 Понятие об обратных задачах
Эта процедура носит название идентификации – задачи определения недостающих или неточно известных параметров или функциональных соотношений...
Лекция 26. Проверка адекватности и работоспособности регрессионной модели. Планы второго порядка. Регрессионный анализ результатов вычислительного эксперимента на детерминированной теоретической модели icon«Линейный регрессионный анализ»
Предполагая, что валовый выпуск зависит линейно от фондовооруженности и производительности труда построить линеную регрессионную...
Лекция 26. Проверка адекватности и работоспособности регрессионной модели. Планы второго порядка. Регрессионный анализ результатов вычислительного эксперимента на детерминированной теоретической модели iconЛекция№1 Введение
Задача курса – изучение моделей знаний: модели на основе нейронных сетей, фреймы, семантические сети, продукционные модели, логические...
Лекция 26. Проверка адекватности и работоспособности регрессионной модели. Планы второго порядка. Регрессионный анализ результатов вычислительного эксперимента на детерминированной теоретической модели iconЛекция 29. Тактическое планирование машинных экспериментов с моделями систем (продолжение). Проблема выбора правил автоматической остановки имитационного эксперимента с моделями системы. Обработка и анализ результатов моделирования систем
Другой способ – задание доверительных интервалов для выходных переменных и остановка прогона машинной модели Мм при достижении заданного...
Лекция 26. Проверка адекватности и работоспособности регрессионной модели. Планы второго порядка. Регрессионный анализ результатов вычислительного эксперимента на детерминированной теоретической модели iconОценка параметров регрессионной модели
Эту информацию можно представить в виде матрицы X значений факторов во всех n опытах, предусмотренных спектром плана эксперимента,...
Лекция 26. Проверка адекватности и работоспособности регрессионной модели. Планы второго порядка. Регрессионный анализ результатов вычислительного эксперимента на детерминированной теоретической модели iconМоделирование систем. Технологии вычислений
Основные этапы вычислительного эксперимента. Классификация программного обеспечения для проведения вычислительного эксперимента....
Лекция 26. Проверка адекватности и работоспособности регрессионной модели. Планы второго порядка. Регрессионный анализ результатов вычислительного эксперимента на детерминированной теоретической модели iconВопросы к экзамену по дисциплине «модели и методы анализа проектных решений»
Корреляционно-регрессионный анализ. Понятие выборки, ошибки. Доверительный интервал и доверительная вероятность
Лекция 26. Проверка адекватности и работоспособности регрессионной модели. Планы второго порядка. Регрессионный анализ результатов вычислительного эксперимента на детерминированной теоретической модели iconАннотации удк 519. 7 : 004. 8 Нечеткий динамический процесс с нечеткими тенденциями в анализе временных рядов Афанасьева Татьяна Васильевна
По результатам вычислительного эксперимента демонстрируются преимущества предложенной модели динамических процессов по сравнению...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org