Учебное пособие Для студентов экономического факультета Москва



страница1/5
Дата08.10.2012
Размер0.79 Mb.
ТипУчебное пособие
  1   2   3   4   5





Л. Ф. Усков

Математические модели
в экономике



Учебное пособие


Для студентов экономического факультета

Москва

Институт международного права и экономики

имени А.С. Грибоедова

Москва

Институт международного права и экономики имени А.С. Грибоедова


2004


УТВЕРЖДЕНО

кафедрой прикладной

информатики

Р е ц е н з е н т – зав. кафедрой математики Серпуховского военного института ракетных войск, проф. В. Бахарев.

Усков Л.Ф.

Математические модели в экономике: Учебное пособие. – М.: ИМПЭ им. А.С. Грибоедова, 2005. – 30 с.

Пособие составлено в соответствие с программой курса «Математические модели в экономике» и призвано помочь студентам экономического факультета в усвоении лекционного материала и при подготовке к семинарским занятиям. Оно включает в себя методы решения задач линейного программирования, сетевого планирования и оптимизации производственных функций.

Подготовлено на кафедре прикладной информатики.

Усков Л.Ф., 2005

1. Задача линейного программирования

1.1. Основные сведения из теории


Математически задача линейного программирования на максимум в стандартной форме задается следующим образом:
P1X1 + P2X2 + … + PnXn max (целевая функция)
при условиях A11X1 + … + A1nXn B1

A21X1 + … + A2nXn B2

……………………………

Am1X1 + … + AmnXn Bm

X1 0; X3 0; ….; Xn 0
или (p,x) max; AX B; X 0 в матричном виде.
Стандартная задача линейного программирования на минимум записывается аналогично:
(p,x) min; AX ; X 0.

Чтобы привести задачу линейного программирования в стандартной форме к форме канонической следует ввести дополнительные переменные:

Vi 0; i = 1,2…m, такие, что
ΣAij Xj + Vi = Bi, i = 1,2…m,

причем целевая функция при этом должна оставаться неизменной.

Множество векторов x, удовлетворяющих условиям, будем называть множеством допустимых планов и обозначать через Х, т.е.
X = {x: AX B, X 0}
Любой вектор называется допустимым планом. Вектор x* доставляет наибольшее значение целевой функции max (p,x) = (p,x*), этот вектор является решением задачи линейного программирования.

Основные свойства задачи линейного программирования (ЛП):

  1. Если допустимое множество задачи ЛП непусто и ограничено, то задача ЛП имеет решение.

  2. Множество Х является многогранным множеством. Граничные гиперплоскости называются гранями, а точки, в которых пересекаются n или больше граней – называются вершинами. Вершины связаны ребрами, в каждом из которых пересекаются по две грани.

  3. Множество точек Х = (х1, х2 ,…, хn), для которых значение целевой функции одинаково, называется линией уровня (n = 2), поверхностью уровня
    (n 3)

{x: p1x1 + p2x2 + … + pnxn = const}

и представляет собой гиперплоскость в n-мерном пространстве. Направление роста целевой функции определяется вектором градиента.

= {p1, p2, ... , pn}

Решением задачи ЛП является одна вершина или несколько вершин и все точки, лежащие между этими вершинами.

Для отыскания задачи ЛП достаточно найти все вершины допустимого множества Х и выбрать одну из них, в которой целевая функция принимает максимальное значение.

Метод полного перебора вершин применяется лишь для малоразмерных задач. Упорядоченный же перебор вершин лежит в основе симплекс-метода решения задач ЛП.

Каждой задаче линейного программирования можно сопоставить так называемую двойственную задачу. Прямая и двойственная задачи в стандартной форме записываются так:


Прямая задача


Двойственная задача






х1, х2 ,… , хn 0

у1, у2, …, уm 0



Решения прямой и двойственной задачи тесно связаны. Пусть
Х* = (х1*, х2*, …, хn*) и Y* = (у1*, у2*, …, уn*) соответственно решения прямой и двойственной задач, т.е.
max (p, x) = (p, x*)

min (b, y) = ( b, y*)
Тогда справедливы следующие соотношения:

  1. (p, x) (p, x*) = (b, y*) (b, y)

  2. для каждого j = 1, 2, …, n


и для каждого i = 1, 2, …, m
Таким образом:

1. Оптимальные значения прямой и двойственной задач совпадают.

2. Если в оптимальной точке некоторое ограничение выполняется как строгое неравенство, то соответствующая двойственная переменная равна нулю, а если в этой точке некоторая переменная принимает положительное значение, то соответствующее ограничение–неравенство в двойственной задаче выполняется как точное равенство.

  1   2   3   4   5

Похожие:

Учебное пособие Для студентов экономического факультета Москва iconУчебное пособие Для студентов экономического факультета Москва
Информационные системы в экономике: Учеб пособие. – М.: Импэ им. А. С. Грибоедова, 2003. – 54 с
Учебное пособие Для студентов экономического факультета Москва iconУчебное пособие для студентов юридического факультета Москва
Сравнительная теория закона: Учебное пособие. – М. Импэ им. А. С. Грибоедова, 2009. – 78 с
Учебное пособие Для студентов экономического факультета Москва iconПрограмма Учебное пособие Для студентов факультета журналистики Москва
Мода и журналистика: Программа, учебное пособие. – М.: Импэ им. А. С. Грибоедова, 2002. – 38 с
Учебное пособие Для студентов экономического факультета Москва iconУчебное пособие химки 2012 удк ббк
Учебное пособие предназначено для бакалавров: слушателей и студентов факультета заочного обучения и студентов гуманитарного факультета...
Учебное пособие Для студентов экономического факультета Москва iconУчебное пособие на английском языке Для студентов юридического факультета Москва
Конституционное право. Constitutional Law: Учебное пособие на английском языке. – М.: Импэ им. А. С. Грибоедова, 2008. – 16 с
Учебное пособие Для студентов экономического факультета Москва iconУчебное пособие на английском языке Для студентов юридического факультета Москва
Административное право. Administrative Law: Учебное пособие на английском языке. – М.: Импэ им. А. С. Грибоедова, 2008. – 14 с
Учебное пособие Для студентов экономического факультета Москва iconУчебное пособие Для студентов экономического факультета Москва
Охватывают все области управленческой деятельности, характеризуются своими значениями различных параметров. Так, например, риск присущ...
Учебное пособие Для студентов экономического факультета Москва iconУчебное пособие на английском языке Для студентов юридического факультета Москва
Учебное пособие на английском языке. – М.: Импэ им. А. С. Гри­боедова, 2008. – 20 с
Учебное пособие Для студентов экономического факультета Москва iconД. В. Кузнецов Характерные черты социально-экономического и политического развития эллинистического Египта в конце IV второй трети I вв до н э. Учебное пособие
Учебное пособие предназначено для студентов 1 курса отделения истории историко-филологического факультета и имеет целью помочь усвоить...
Учебное пособие Для студентов экономического факультета Москва iconУчебное пособие Для студентов экономического факультета Москва
Охватывает более 3500 банков в 90 странах мира. Скорость прохождения переводов в системе свифт намного выше, чем обычных телеграфных,...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org