Сборник научных трудов Выпуск 6 Саратов: иц «Наука» 2008 ббк 22. 1 Р



страница8/11
Дата09.10.2012
Размер0.85 Mb.
ТипСборник
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

Т.А. КАПИТОНОВА, Н.С. КУЗНЕЦОВА

ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ



Анализ упражнений и задач, представленных в учебниках  – 3 приводит к необходимости разработки дополнительных упражнений: на построение графиков, на нахождение области определения и множества значений обратных функций, на использование свойств взаимно обратных функций. Упражнения такого типа позволяют учащимся лучше усвоить и запомнить определения и свойства обратных функций, прояснить именно обратную функциональную зависимость.

Задачи, связанные с обратными функциями, часто вызывают у школьников значительные трудности. Связано это, прежде всего с тем, что в учебниках подобным задачам уделяется мало внимания.

Учителю можно рекомендовать следующее:

  1. использовать такие задания не только во время изучения данной темы, но и после, при повторении, периодически обращаться к таким заданиям;

  2. познакомить учащихся с решением уравнений, содержащих взаимно обратные функции;

  3. рассматривать графические способы решения уравнений, содержащих взаимно обратные функции;

  4. давать учащимся задания на выведение соотношений для обратных функций, или на доказательство этих соотношений как тождеств.

Общеизвестно, что лучше всего усваивается не тот материал, который изучается непосредственно, а материал, который является средством решения других задач. Поэтому целесообразно подобрать и сконструировать специальные типы учебных заданий, для решения которых учащимся необходимо использовать определения и свойства взаимно обратных функций.

Приведем примеры таких заданий и варианты их решения.

Задание 1. Вычислить

Решение.

Способ 1. Задание выполняется практически устно при использовании клеточного фона.

, , , ( – острый угол прямоугольного равнобедренного треугольника АВС) (рис. 1)

Таким образом,
Способ 2. Обозначим через . Тогда gif" name="object117" align=absmiddle width=439 height=42>Теперь остается найти по заданному значению тангенса этого аргумента. Для того чтобы эта задача была однозначной, нужно указать пределы изменения . Так как

и , то , то есть . Следовательно, . Учитывая, что , получаем

Ответ. π.
Задание 2. Построить график функции .

е


шение.
Область определения данной функции . На отрезке функция тождественно равна функции (рис. 2).

Задание 3. Построить график функции.

Решение. Найдем область определения функции:

, . Таким образом, . На этом множестве функция тождественно равна функции (рис. 3).

Задание 4. Построить график функции .

Решение. Область определения функции :

.

Функция тождественно равна функции (рис. 4).

Задание 5. Построить график функции .

Решение. Функция имеет период 2π. Для построения графика функции достаточно построить график функции на отрезке и воспользоваться свойством графика периодичной функции.

1 этап. Построим график функции на отрезке . На этом отрезке функция тождественно равна функции (рис. 5).

2 этап. Построим график функции на отрезке .

Воспользуемся свойством четности функции .

Получаем =. Таким образом, на отрезке функция тождественна функции (рис. 6).

3 этап. В силу периодичности функции осуществляем параллельный перенос полученной ломаной влево и вправо на 2π (рис. 7).


Построение подобного графика лучше всего выполнять по этапам. После демонстрации решения данного примера, каждый этап решения необходимо обсудить с учащимися, обосновать выбор промежутков на 1 и 2 этапах.

Задание 6. Решить уравнение .

Решение. Построим график линейной функции .

В этой же системе координат построим график функции (рис. 8). Поскольку функция возрастает, а функция убывает, их графики пересекаются только в одной точке - , а потому заданное уравнение имеет единственный корень: х=1.

Ответ. 1.

Задание 7. Решить неравенство .

Решение. Так как функции и являются взаимно обратными и область определения функций и – вся числовая прямая, то получаем . Подставляя полученное равенство в исходное неравенство, получаем:



Проводя рассуждения, аналогичные приведенным выше, получаем, что . Исходное неравенство приобретает вид:

.

Решая полученное неравенство, находим . Так как выполнялись только тождественные преобразования, то решением исходного неравенства является .

Ответ. .

Задание 8. Найти все целые значения х, удовлетворяющие неравенству .

Решение. Область определения неравенства . Значит, нам достаточно рассмотреть три значения х: 1, 2, 3.

Если х=1, то левая часть равна .

Если х=2, то .

Если х=3, то .

Ответ. х=1; 2.

Задание 9. Найти сумму площадей фигур, первая из которых ограничена линиями , вторая , не применяя интегрального исчисления.

Решение. Построим эти фигуры. Графики функций

и пересекаются в точке А(1; 1) (рис. 9). Обычно площади таких фигур вычисляются с помощью определенных интегралов, но в данной ситуации этим способом мы воспользоваться не можем.

Из рисунка видно, что сумма площадей данных фигур численно равна площади квадрата, ограниченного линиями: , , , .

Таким образом, сумма площадей данных фигур равна 1.

Ответ. 1.

Задание 10. Вычислите .

Решение. Данный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями: , . Функции и являются взаимно обратными, следовательно, площадь данной фигуры равна площади фигуры, ограниченной линиями: , (рис. 10).

=.

Таким образом, =.

Ответ. .

Ученики знают, что интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривыми . То есть вычисление определенного интеграла сводится к нахождению площади соответствующей криволинейной трапеции.

Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой ученики не могут. В связи с этим возникает необходимость найти фигуру, равновеликую данной, площадь которой учащиеся могут вычислить. Такой фигурой является фигура, ограниченная снизу кривой и симметричная данной фигуре, относительно прямой .

Для закрепления «идеи» - способа, использованного при решении задач 9 и 10, учащимся можно предложить выполнить следующие задания (в качестве самостоятельной работы (домашнего задания) целесообразно предложить придумать аналогичные примеры).
Задание 11. Доказать тождество






Решение. Заметим что, (рис. 11, 12).
Задание 12. Вычислить .

Решение. Обозначим во втором слагаемом переменную интегрирования через у. Этот интеграл можно рассматривать как площадь криволинейной трапеции, находящейся слева от графика соотношения , равносильного соотношению . Тогда сумма интегралов равна площади фигуры ABCDEF, то есть разности площадей прямоугольников OBCD и OAFE (рис. 13).

Таким образом, =.

Ответ. .

При решении подобных заданий необходимо, чтобы ученики могли легко строить подобные фигуры, находить равновеликие фигуры, площади которых они могут вычислить.
Литература

1. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 классов общеобр. учреждений / Алимов Ш. А. и др. – М.: Просвещение, 1999.

2.Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 классов общеобр. учреждений / Алимов Ш. А. и др. – М.: Просвещение, 2004.

3.Алгебра и начала анализа. Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. / А. Н. Колмогоров и др.: Под ред. А. Н. Колмогорова – М.: Просвещение, 1991 г.

4. Генкин, Г. З. Геометрические решения алгебраических задач. // Математика в школе. 2001, № 7. С. 61-66.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

Похожие:

Сборник научных трудов Выпуск 6 Саратов: иц «Наука» 2008 ббк 22. 1 Р iconСборник научных трудов Выпуск 8 Саратов: иц «Наука» 2010 удк 51(072. 8) Ббк 22. 1 Р у 92
Учитель – ученик: проблемы, поиски, находки: Сборник научных трудов: Выпуск – Саратов: иц «Наука», 2010. – 72 с
Сборник научных трудов Выпуск 6 Саратов: иц «Наука» 2008 ббк 22. 1 Р iconСборник научно-методических трудов Выпуск 7 Саратов: иц «Наука» 2009 удк 51(072. 8) Ббк 22. 1 Р
Учитель – ученик: проблемы, поиски, находки: Сборник научно-методических трудов: Выпуск – Саратов: иц «Наука», 2009. – 88 с
Сборник научных трудов Выпуск 6 Саратов: иц «Наука» 2008 ббк 22. 1 Р iconСборник научных трудов Выпуск 12 Владивосток Издательство Дальневосточного университета 2008 ббк 81 к 90
Охватывает широкий комплекс признаков. Эти признаки (тяжеловесный, непредвиденный, любит охотиться, бороться, настроен на успех)...
Сборник научных трудов Выпуск 6 Саратов: иц «Наука» 2008 ббк 22. 1 Р iconСборник научных трудов Выпуск I благовещенск 2004 ббк
Печатается по решению редакциониздательского совета Благовещенского государственного педагогического университета
Сборник научных трудов Выпуск 6 Саратов: иц «Наука» 2008 ббк 22. 1 Р iconСборник научных трудов Выпуск I благовещенск 2003 ббк 63. 521 (=652) а 62
Охватывает огромную территорию (более 0,5 млн кв км) между Яблоновым, Становым, Буреинским хребтами и долиной реки Амур
Сборник научных трудов Выпуск 6 Саратов: иц «Наука» 2008 ббк 22. 1 Р iconСборник научных трудов «Проблемы современной науки»
С целью предоставления возможности свободно обнародовать свои изыскания по различным областям науки Центр научного знания «Логос»...
Сборник научных трудов Выпуск 6 Саратов: иц «Наука» 2008 ббк 22. 1 Р iconВыпуск 14 ежегодный сборник научных трудов махачкала
В настоящий выпуск вошли новые рубрики: «Рецензии и отзывы», «Из архива сборника»; «Наши юбиляры»
Сборник научных трудов Выпуск 6 Саратов: иц «Наука» 2008 ббк 22. 1 Р iconСборники Выпуск №9 сборник научных трудов Института информационных технологий и моделирования
Выпуск №9 сборник научных трудов Института информационных технологий и моделирования
Сборник научных трудов Выпуск 6 Саратов: иц «Наука» 2008 ббк 22. 1 Р iconСборник научных трудов Новосибирск, 2001 ббк 78. 38 Б59 Редакционная коллегия
Сборник предназначен для широкого круга библиотечных работников, аспирантов, преподавателей вузов культуры
Сборник научных трудов Выпуск 6 Саратов: иц «Наука» 2008 ббк 22. 1 Р iconСборники научных трудов
Актуальные проблемы филологии, истории и культурологии: теоретический и методический аспекты: Межвузовский сборник научных работ....
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org