Выбор параметров при вариационном подходе к расчету регулярных сеток



Скачать 411.92 Kb.
страница1/4
Дата09.10.2012
Размер411.92 Kb.
ТипРеферат
  1   2   3   4


Ордена Ленина

Институт прикладной математики

имени М.В.Келдыша

Российской академии наук


Г.П. Прокопов

Выбор параметров при вариационном подходе

к расчету регулярных сеток



Москва, 2006 год
УДК 519.6

Выбор параметров при вариационном подходе к расчету регулярных сеток

Прокопов Г.П.

Препринт Института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН
Предлагается автоматизированный вариант назначения управляющих параметров для вариационного функционала, используемого при конструировании регулярных двумерных разностных сеток. Метод обобщается на расчет пространственных сеток.

Обсуждаются и другие вопросы, связанные с реализацией вариационного подхода для создания надежных методов расчета регулярных двумерных и трехмерных сеток при численном решении нестационарных задач.

Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант № 05-01-00097).
Selection of parameters in process of calculation of regular grids based on variational method.

Prokopov G.P.

Preprint of Keldysh Institute of Applied Mathematics RAS.
One suggests an automatic variant to pick up the control parameters for variational functional used for construction of regular 2D grids. The method can be generalized for the calculation of 3D grids.

We discusse some other issues connected with realization of variational approach for creation of robust methods to calculate regular 2D and 3D grids in process of numerical solution of non-stationary problems.

This work is carried out based on support of RFFI (grant 05-01-00097).
Содержание

стр.
Введение ………………………………………………………….. 3

§ 1. Одномерные управляющие функции и их назначение……. 4

§ 2. Неравномерные прямоугольные «сетки» ………………….. 8

§ 3. Неравномерные полярные «сетки»…………………………. 11

§ 4. Дискретная реализация управления функционалом………. 14

§ 5. Некоторые замечания о расчете двумерных сеток………… 16

§ 6. Выбор функционала для трехмерных сеток и назначение

одномерных управляющих функций………………………. 21

§ 7. Модельные примеры для пространственного случая.

Функционал без якобиана для трехмерных сеток…………. 25

§ 8. О дискретизации пространственного функционала……….. 26

Заключение ………………………………………………………. 30

Список литературы ……………………………………………….. 31

Введение


Дискретные аналоги вариационных функционалов широко используются, как один из возможных путей, при конструировании алгоритмов расчета двумерных сеток, необходимых для численного решения разнообразных задач математической физики. Существенной частью такой работы является автоматизация назначения коэффициентов функционалов.
При решении нестационарных задач для их назначения могут использоваться метрические параметры сетки, полученной на предыдущем шаге расчета, с некоторой корректировкой для обеспечения удовлетворительных свойств сетки.

В этом отношении в особом положении находится получение начальной сетки, для которого «предыдущего» шага нет. Некоторым аспектам возможных путей автоматизации назначения параметров функционала посвящена настоящая работа.

Результаты, достигнутые при использовании вариационного подхода для двумерных сеток, создали уверенность в возможности их обобщения на случай пространственных (трехмерных) сеток. Проблема их построения была актуальной всегда, поскольку позволяет решать задачи для реальных объектов без той идеализации приближенного подхода, который неизбежно порождается рассмотрением двумерных задач.

Существенно выросшая производительность вычислительной техники и растущие запросы практики потребность в надежных алгоритмах построения трехмерных сеток сделали особенно острой. Поэтому в настоящей работе будут рассматриваться и вопросы обобщения упомянутых выше алгоритмов на пространственный случай.
§ 1. Одномерные управляющие функции и их назначение.
1.1. Как обычно, при построении регулярной сетки в отдельной односвязной области W на плоскости переменных (х,у) будем считать ее четырехугольником с криволинейными границами. Тогда задачу можно трактовать как дискретную реализацию невырожденного отображения квадрата Q: (0£x, 1) на область W .

В работах автора [1]-[3] для этой цели привлекаются вариационные функционалы вида:

(1.1) ,

(1.2) ,

Входящие в них величины представляют метрические параметры отображения:

(1.3)

Ввиду очевидного тождества

(1.4)

невырожденность отображения взаимосвязана с положительной определенностью симметричной матрицы g и коэффициентов G:
(1.5) ,

Функционалы (1.1) или (1.2) минимизируются на классе функций , , являющихся гладким продолжением внутрь квадрата Q заданных на его границе функций . Эти последние осуществляют взаимно-однозначное отображение границы квадрата Q на границу области W, в которой должна быть построена сетка.

Функционалы (1.1) и (1.2) различаются только отсутствием или наличием в знаменателе якобиана отображения g0. Для краткости и наглядности условимся называть (1.1) функционалом без якобиана (ФБЯ), а (1.2) – функционалом с якобианом (ФЯ).

1.2. Если назначить в качестве коэффициентов

(1.6) , , ,

оба функционала (1.1) и (1.2) достигают абсолютного минимума. Для второ-го из них , а для первого величина равна площади области W..

Следовательно, при назначении (1.6) оба функционала воспроизводят любое заданное невырожденное отображение квадрата Q на область W. Их дискретные аналоги можно считать универсальными генераторами сеток.

При расчете нестационарных задач с подвижными границами можно использовать сетку, полученную на предыдущем шаге по времени, и условия (1.6) для расчета сетки на новом шаге. По соображениям, обсуждавшимся, например, в [3] на стр. 18-19, возникающие функционалы, названные опорными, нуждаются в некоторой корректировке посредством других функционалов для обеспечения удовлетворительных и желательных свойств сетки.

Если этого не сделать, то, образно говоря, опорный функционал штампует очередную сетку по образу и подобию предыдущей, «не задумываясь», хороша она или плоха.

В особом положении находится получение начальной сетки на исходный момент расчета, для которого «предыдущего» шага нет. Аналогичной является ситуация для задач, в которых сетка остается неподвижной в процессе нестационарного расчета или вообще речь идет о стационарной задаче.

1.3. Назначение коэффициентов матрицы G становится первоочередной заботой для таких ситуаций. В [3] были высказаны соображения о целесообразности использования (в качестве одного из вариантов решения этой проблемы) двух одномерных функций аргументов x,и h. Рассмотрением такой возможности мы и займемся.

Назначим коэффициент . Это можно трактовать как стремление к получению «квазиортогональных» сеток.

Тогда функционалы (1.1) и (1.2) принимают вид:

(1.7) ,

(1.8) , в случае ФБЯ (1.1)

(1.9) , в случае ФЯ (1.2)

Введем в рассмотрение функционал вида:

(1.10)
Здесь А(x), В(h) – некоторые управляющие функции. Как видно из (1.10), умножение их на одинаковый произвольный множитель не изменяет функционала. Чтобы обеспечить их детерминированность, использован прием из работы [4] .

Будем считать обе функции А(x), В(h) нормированными:

(1.11) , ,

«компенсировав» эти ограничения дополнительным свободным параметром , который должен быть подобран в процессе минимизации.

1.4. Пусть задано некоторое начальное состояние управляющих функций А(x), В(h) и отображения , , представляющего непрерывный аналог искомой сетки. Для краткости будем и его называть «сеткой» (отмечая это кавычками).

Вычислим ее метрические параметры (1.3) и назначим функции , в соответствии с формулами (1.8) или (1.9).

Как выяснится позже, с практической точки зрения представляется естественным в качестве исходного состояния функций А(x), В(h) использовать производные усредненных законов расстановки узлов сетки на противоположных границах области. Условия нормировки (1.11) при этом будут выполнены.

Далее «заморозим» В(h) и вычислим функции

(1.12) ,

Тогда для (1.10) получим выражение:



Очевидно, что его минимизация достигается при задании вместо А(x) управляющей функции

(1.13)

Аналогично, «замораживая» А(x), вычислим функции:

(1.14) ,

Тогда для (1.10) получается выражение:



Его минимизация достигается назначением вместо В(h) управляющей функции

(1.15)

Для обеспечения нормировки (1.11) в качестве новых функций полагаем:

(1.16) ,

,

1.5. Отметим, что из формул (1.13) и (1.15) величину можно убрать ввиду последующей нормировки (1.16).

Однако параметр будет играть весьма существенную роль при пересчете сетки. Напомним, что, как известно из курсов вариационного исчисления, уравнения Эйлера-Лагранжа, которым должна удовлетворять «сетка» , , обеспечивающая минимум вариационного функционала (1.10), имеют вид:

(1.17)


В случае ФБЯ (1.1) это линейные уравнения:

(1.18)


В случае ФЯ (1.2) уравнения нелинейные и имеют существенно более громоздкий вид, который неоднократно обсуждался (см., напр., [3], стр.8). Мы их выписывать не будем.

Параметр определяется требованием минимизации функционала (1.10). Следовало бы воспользоваться полученными новыми функциями , что привело бы к формуле:

(1.19)

Однако, в целях экономии вычислительных затрат, разумно и, по-видимому, вполне допустимо, учитывая интегральный характер параметра , совмещать его расчет с расчетом . Причем воспользоваться не просто вычислениями , а результатами (1.12) или (1.14) в таком виде:

(1.20)

Новое обозначение введено в (1.20) потому, что, вообще говоря, в формуле (1.19).

1.6. После реализации формул (1.12)-(1.16), а затем (1.19) или (1.20), возникает альтернатива: либо сразу принять , (или ) в качестве управляющих, либо продолжить процесс их вычисления, приняв их в качестве нового приближения и повторяя еще раз описанную процедуру при зафиксированной «сетке» , , т.е. для прежних функций , . К обсуждению вопроса о целесообразности такого гипотетического итерационного процесса вернемся позже.

Пока же отметим, что в случае, если в формулах (1.16) отменить нормировку посредством величин А0, В0 и упразднить параметр , то результат будет аналогичным. Проблема состоит в том, не приведет ли это к неконтролируемому росту погрешностей вычислений при использовании такой упрощенной процедуры на огромном числе временных шагов нестационарного процесса. Поэтому мы предпочитаем описанный, несколько более обременительный в плане вычислительных затрат, но более надежный вариант.

Ввиду того, что назначение управляющих параметров приобретает итерационный характер, стоит обратить внимание на возможность использования меры предосторожности в виде коэффициента «запаса», чтобы демпфировать возможные колебательные процессы. Этот прием настолько традиционен, что мы ограничимся этим замечанием.
  1   2   3   4

Похожие:

Выбор параметров при вариационном подходе к расчету регулярных сеток iconГ. П. Прокопов Универсальные вариационные функционалы для построения двумерных сеток
Рассматриваются вопросы конструирования ортогональных или близких к ним сеток (квазиортогональных), построения дискретных моделей...
Выбор параметров при вариационном подходе к расчету регулярных сеток iconПрименение ЭВМ при изучении строительной механики
Анализ результатов расчета практически превращается в одну из форм оптимального проектирования. Это возможно только при системном...
Выбор параметров при вариационном подходе к расчету регулярных сеток iconРеализация вариационного подхода к расчету двумерных сеток в нестационарных задачах

Выбор параметров при вариационном подходе к расчету регулярных сеток iconА. В. Березин, А. С. Воронцов редактор прямоугольных сеток москва 2005 А. В. Березин, А. С. Воронцов аннотация редактор прямоугольных сеток
Представлены алгоритмы и описаны возможности редактора трехмерных прямоугольных сеток, ориентированного на математические модели...
Выбор параметров при вариационном подходе к расчету регулярных сеток iconВопросы к экзамену по дисциплине «Режущие инструменты»
Кинематическая схема резания. Выбор схемы резания, выбор геометрических параметров режущей части
Выбор параметров при вариационном подходе к расчету регулярных сеток iconРасчет цепей с источниками постоянных воздействий Задание
По заданному номеру варианта изобразить цепь, подлежащую расчету, выписать значения параметров элементов
Выбор параметров при вариационном подходе к расчету регулярных сеток iconПсихоакустические критерии качества звучания и выбор параметров умзч
Костин В. Психоакустические критерии качества звучания и выбор параметров умзч радио №12 1987 г
Выбор параметров при вариационном подходе к расчету регулярных сеток iconОценка расхода наносов для неизученных рек
Для параметров формулы (сила сцепления грунта при сдвиге и коэффициент внутреннего трения) получены зависимости от категории крупности...
Выбор параметров при вариационном подходе к расчету регулярных сеток icon10 октября 2007 г. №2260-рп о мерах по обеспечению безопас
Ввести журнал по применению защитно-улавливающих сеток, в котором фиксировать перенос защитно-улавливающих сеток, контроль за их...
Выбор параметров при вариационном подходе к расчету регулярных сеток iconВыбор оптимальных условий процесса электрофлокирования с учетом параметров ворса

Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org