Как найти множество значений функции



Скачать 88.95 Kb.
Дата23.11.2012
Размер88.95 Kb.
ТипДокументы
КАК НАЙТИ МНОЖЕСТВО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ
Сильвестров В.В.

д.ф.-м.н., профессор кафедры естественнонаучных дисциплин

Чувашского республиканского института образования
Единый государственный экзамен (ЕГЭ) внес новое веяние в экзаменационные задания по математике. Наряду с задачами традиционного характера, предлагающимися на выпускных экзаменах за курс средней школы и вступительных экзаменах в вузы, задания ЕГЭ неизменно содержат 2-3 задачи на нахождение множества значений функции или сводящиеся к ним задачи. Такие задачи вызывают у учащихся немалые затруднения, и особенно, если требуется оформление решения с обоснованием всех моментов.

В данной статье на конкретных примерах раскрываются методы нахождения множества значений функции. Более подробно с этими методами, теорией и типовыми примерами можно ознакомиться по книге [1].

Приведем свойства непрерывных, монотонных и дифференцируемых функций, наиболее часто используемые при нахождении множества значений функции.

Если функция непрерывна на отрезке и – ее наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке, то множество значений функции на есть отрезок

Если непрерывная и возрастающая функция на отрезке , то множество значений функции на этом отрезке есть отрезок . При этом каждое значение функция принимает ровно при одном значении , т.е. уравнение имеет единственный корень на от­резке . Если – непрерывная и убывающая функция на отрезке , то ее множество значений на gif" name="object17" align=absmiddle width=50 height=18> есть отрезок .

Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема (имеет производную) в интервале то наибольшее и наименьшее значения функции на этом отрезке существуют и достигаются либо на концах отрезка, либо в критических точках функции, расположенных на отрезке.

К основным методам и приемам нахождения множества значений функции относятся:

  • последовательное нахождение значений сложных аргументов функции;

  • метод оценок;

  • использование свойств непрерывности и монотонности функции;

  • использование производной;

  • графический метод;

  • метод введения параметра;

  • метод обратной функции.

Рассмотрим эти методы на конкретных примерах.

Пример 1. Найдите область значений функции

.

Решим пример методом последовательного нахождения значений сложных аргументов функции.

Так как принимает все неотрицательные значения, и только их, то



Обозначим Тогда где Функция определена лишь при поэтому ее множество значений при совпадает с множеством значений функции на промежутке (0; 10], где функция непрерывна и возрастает. При она стремится к , а при принимает значение 1. Следовательно, множество значений на (0; 10] есть луч Тем самым, . Тогда у функции область значений .

Через сложный аргумент z исходная функция выражается формулой где . Эта функция определена при поэтому множество значений функции у при совпадает с ее множеством значений при . На промежутке (0; 2] функция непрерывна и убывает. Так как логарифмирование по основанию 0,1 меняет характер монотонности, то у – непрерывная и возрастающая функция на (0; 2]. При дробь стремится к , значит, функция у стремится к . При она равна Следовательно, множество значений функции у при есть луч . Это и есть

Ответ: .

Пример 2. Найдите область значений функции

Решим пример методом оценок.

Из неравенств

складывая второе и последнее по частям, получим

При и функция принимает значения и Эта функция, как линейная комбинация непрерывных функций и непрерывна на всей числовой оси, поэтому она принимает все значения с (– 7) до 7 включительно, причем только их, так как в силу неравенств другие значения у нее невозможны.

Ответ: .

Наиболее распространенная ошибка при нахождении множества значений функции методом оценок состоит в следующем. На основании полученных оценок, например, неравенств делается ошибочно заключение, что множество значений функции есть отрезок [АВ], в то время, как такое заключение можно сделать лишь тогда, когда функция непрерывна на рассматриваемом промежутке и на нем имеются точки, в которых функция принимает значения А и В (достигает нижней А и верхней В границы оценки). В общем случае оценка лишь означает, что множество значений функции на рассматриваемом промежутке принадлежит отрезку [АВ], и вовсе не означает, что оно совпадает со всем отрезком [АВ]. Например, функция как и функция в примере 2, удовлетворяет неравенствам Однако нет таких значений x, при которых функция принимала бы значения (– 7) и 7, поэтому на основании неравенств можно лишь утверждать о принадлежности множества значений функции отрезку . На самом деле, , что найдем в следующем примере, используя производную.

Пример 3.

Решение. По формуле синуса тройного угла



Обозначим Тогда Так как принимает все значения с (– 1) до 1 включительно, и только их, то область значений функции у совпадает с множеством значений функции на отрезке .

На этом отрезке функция дифференцируема, так как ее производная существует при всех . Из уравнения находим критические точки функции которые принадлежат отрезку . В этих точках и на концах отрезка



Так как то и по свойству дифференцируемой функции наименьшее значение функции на отрезке равно , а наибольшее значение равно . На отрезке функция , как многочлен, непрерывна (это следует также из дифференцируемости функции), поэтому ее множество значений на этом отрезке есть и область значений .

Ответ: .

Пример 4. Найдите множество значений функции на отрезке .

Решим пример, используя свойство непрерывности и монотонности функции.

На отрезке функция а значит, и функция убывают и непрерывны. Кроме того, так как для всех х. Так как имеет другой характер монотонности, чем t, и то функция непрерывна, возрастает и положительна при . Функция непрерывна и возрастает на всей числовой оси, в частности, и на отрезке , где она, кроме того, положительна. Следовательно, функция как произведение двух непрерывных, возрастающих и положительных функций и , также непрерывна и возрастает на отрезке , поэтому искомое множество значений функции есть отрезок

Ответ: .

Задача нахождения области (множества) значений функции тесно связана с вопросом о разрешимости уравнения Действительно, число а является одним из значений функции тогда и только тогда, когда найдется хотя бы одно значение аргумента х такое, что Последнее озна­чает, что уравнение имеет хотя бы один корень х. Следовательно, область значений функции совпадает с множеством значений параметра а, для которых уравнение имеет хотя бы один корень.

Пример 5.

Решение. Найдем множество значений параметра а, для которых уравнение



имеет хотя бы один корень.

При уравнение является линейным с ненулевым коэффициентом при неизвестной x, поэтому имеет решение.

При уравнение является квадратным, поэтому оно разрешимо тогда и только тогда, когда его дискриминант







Так как точка принадлежит заштрихованному отрезку, то искомым множеством значений параметра а, значит, и областью значений будет весь этот отрезок.

Ответ: .

Как продолжение метода введения параметра можно рассматривать метод обратной функции, для нахождения которой надо решать относительно х уравнение считая у параметром. Если это уравнение имеет единственное решение то область значений исходной функции совпадает с областью определения обратной функции

Пример 6.

Решение. Найдем обратную функцию из уравнения

.

Теперь найдем область определения :



Так как то

Ответ:

При нахождении множества значений функции во многих случаях помогает схематический график функции.

Пример 7. Из уравнения нашли всевозможные у через х. Найдите множество всех значений, которые может принимать у.

Решим пример графически.

В системе координат Оху построим график уравнения



Им будет окружность радиуса 2 с центром в точке (0; 1). С другой стороны, этот график представляет собой совокупность графиков всевозможных функций у, определяемых из заданного уравнения, поэтому у может принимать все те значения, которые являются координатами проекций точек графика на ось Оу. Из рисунка видно, что искомое множество есть отрезок .



Ответ: .
Пример 8. Найдите все те значения функции каждое из которых она принимает только при одном значении аргумента х (ровно один раз).

Решение. По свойствам степеней . Обозначим Тогда Так как и – возрастающая функция на числовой оси, то различным значениям х соответствуют различные положительные значения t, поэтому задача равносильна задаче нахождения таких значений а функции каждое из которых она принимает ровно при одном положительном значении аргумента t.

Последнее означает, что график функции при (часть параболы с вершиной в точке ветви которой направлены вверх) и прямая имеют единственную общую точку (пересечения или касания). Из рисунка, на котором изображены нужные нам часть параболы и прямые, видно, что указанному условию удовлетворяют значения Это и есть искомые значения функции у.



Ответ:

Приведенные примеры не исчерпывают все многообразие задач, связанных с нахождением множества значений функции. Большое число таких задач, с решениями и без них, имеется в книге [1]. Приведем некоторые из них, рекомендуя читателям самостоятельно решить их.

А1. Найдите области (множества) значений функций:

1)  2)  3) 

4)  5)  6)  7) .

А2. Найдите наименьшее значение функции

A3. Найдите наибольшее значение функции

Bl. Найдите области (множества) значений функций:

1)  2) 

3)  4) 

В2. Найдите наименьшее целое значение функции

В3. Найдите наибольшее целое значение функции

В4. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

С1. Найдите области (множества) значений функций:

1) ;

2) 

3)

С2. Найдите все целые значения функции

СЗ. Найдите все те значения функции каждое из которых функция принимает только при одном значении х.

С4. Найдите все неотрицательные значения параметра с, при которых уравнение не имеет корней.

Ответы:

А1. 1) [– 5; 5]; 2) [2; 3]; 3)

4) 5) 6) 7)

А2. – 3.

A3. 8.

В1. 1) [1; 3]; 2) [– 2; – 1]; 3) [1/3; 27]; 4)

В2. – 3.

ВЗ. – 5.

В4. 0,4.

С1. 1) [– 5; 2,5]; 2) 3) [– 0,5; 2,5].

С2. 3; 4; 5; 6; 7; 8.

С3.

С4. [0; 16).

ЛИТЕРАТУРА

1. Сильвестров В.В. Множество значений функции. Чебоксары: Изд-во ЧГУ, 2004. 64 с.

Похожие:

Как найти множество значений функции iconМетодические рекомендации для изучения темы «Множество значений функции. Наибольшее и наименьшее значения функции»
Множеством (областью) значений функции называется множество всех тех значений, которые может принимать функция. Геометрически это...
Как найти множество значений функции iconПрактикум абитуриента Колегаева Елена Михайловна
Мы рассмотрим класс задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции. Наиболее часто встречаются задачи двух типов...
Как найти множество значений функции iconОбязательная часть. ( 4 Варианта) (1 балл) Найти область определения и множество значений функции
Используя графики тригонометрических функций, найти все решения неравенства, заключенные в промежутке [ -3П; п ]
Как найти множество значений функции iconИнструкция для учащихся к уроку по теме «Множества значений показательных и логарифмических функций»
Алгоритм решения: построить график данной функции; на оси абсцисс отметить заданный промежуток; найти множество значений
Как найти множество значений функции iconСош с. Солодники
Областью определения данной функции является множество всех чисел, а область значений этой функции при есть множество всех чисел,...
Как найти множество значений функции iconИсследование функции. ( 12 января 2010 года ) Предел последовательности
Определение. Числовая функция – это функция, область определения которой есть множество всех натуральных чисел; множество значений...
Как найти множество значений функции iconФункции нескольких переменных
Если для каждой точки, существует единствен­ное число, то на (область определения) задана функция переменных, причем множество –...
Как найти множество значений функции iconАналитический способ задания функции
Зависимость наибольшего и наименьшего значения функции, если известно множество значений функции
Как найти множество значений функции iconТесты егэ, можно заметить, что во все варианты включено задание на нахождение множества значений функции
...
Как найти множество значений функции iconПрограмма дисциплины: Основы элементарной математики
Основные элементарные функции (оэф), их свойства и графики. Сложные функции. Поведение функций около точек разрыва и «на краях» области...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org