Государственного контракта П1111 от 02 2010 г



Скачать 132.37 Kb.
Дата24.11.2012
Размер132.37 Kb.
ТипДокументы
Аннотация Государственного контракта П1111 от 02.6.2010 г.

"Компьютерное исследование групп гомоморфизмов конечных групп, гомоморфной устойчивости и конечных топологий" (шифр "НК-586П") от 02 июня 2010 по направлению "Математика" в рамках мероприятия 1.2.2 "Проведение научных исследований научными группами под руководством кандидатов наук.", мероприятия 1.2 "Проведение научных исследований научными группами под руководством докторов наук и кандидатов наук" , направления 1 "Стимулирование закрепления молодежи в сфере науки, образования и высоких технологий." федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 годы.


Ключевые слова: группа, полугруппа, гомоморфизм, изоморфизм, топологическая группа, отображение топологических пространств на непрерывность
1. Введение. В современной алгебре понятие группы является одним из важнейших понятий. Являясь одним из простейших примеров алгебраической системы, оно используется как в самой алгебре, так и в других математических областях.

Если А ─ произвольное непустое множество, то под понимают множество, состоящее из пар вида , где а и являются элементами множества А. Под бинарной операцией, заданной на множестве А, понимают всякое отображение вида . Множество А, снабженное бинарное операцией, называют группоидом. Обозначим бинарную операцию буквой f. Операцию f называют ассоциативной, если для любых элементов a, b и с множества А выполняется равенство

.

Группоид, в котором бинарная операция ассоциативна, принято называть полугруппы. Отметим, что полугруппы представляют наиболее хорошо изученные алгебраические системы, находящие применение в различных разделах и приложениях математики.
Элемент е полугруппы называют нейтральным (относительно бинарной операции в полугруппе), если для всякого элемента а полугруппы выполняется равенство

,

другими словами, если е, как принято говорить, коммутирует с любым другим элементом. Полугруппа, обладающая нейтральным элементом, называется моноидом.

Среди моноидов выделим, наконец, такие, которые обладают следующим свойством: для каждого элемента а моноида можно указать такой элемент gif" name="object7" align=absmiddle width=17 height=19> того же моноида, что выполняется равенство

.

Элемент принято называть обратным к а. Очевидно, что а обратен элементу . Моноид, в котором указанное свойство выполняется, называют группой.

Простым следствием указанных выше определений является тот факт, что в любой группе нейтральный элемент единствен и для всякого элемента группы обратный ему элемент тоже единствен.
Исторически в неявном виде группы впервые появились в работах Лагранжа, посвященным решению алгебраических уравнений. Понятие группы было сформулировано Галуа, но еще некоторое время прошло, прежде чем, начиная с работ Лиувилля, группы начали активно использоваться в математических исследованиях.

Среди всех групп выделяются группы, в которых любые два элемента коммутируют друг с другом. Такие группы называют коммутативными или абелевыми. Таким образом, группа G называется абелевой, если удовлетворяет следующему определяющему условию: для любых элементов а и b из G

.

Возможна следующая классификация групп. Отображение g группы в группу называют гомоморфизмом, если для любых элементов а и b группы G выполняется равенство

.

Взаимно однозначный гомоморфизм называют изоморфизмом, а группы, между которыми имеется изоморфизм, называют соответственно изоморфными. Поэтому множество всех групп можно разбить на классы изоморфных групп.

Для конечных групп очень много сделано в плане их классификации на классы изоморфных групп. В настоящее время существуют атласы групп, в которых, по крайней мере для групп относительно небольшого порядка, полностью дана классификация.
2. Группы гомоморфизмов и их компьютерное исследование. Двум гомоморфизмам g и h группы в абелеву группу поставим в соответствие отображение

, .

Относительно этого отображения, как легко показать, множество гомоморфизмов группы в абелеву группу является абелевой группой. Ее обозначают . Гомоморфизм группы в себя называют эндоморфизмом группы, и, соответственно, в случае вместо используют обозначение .

Группам в последнее время в алгебраической литературе уделяется большое внимание. В нашей работе [10] вычислены группы при условии . Чтобы привести здесь указанные результаты из нашей статьи, введем обозначения: n  циклическая группа порядка п, p q  прямое произведение групп, Dn  группа диэдра (группа преобразований плоскости, для которых правильной п-угольник является инвариантом), Q  мультипликативная группа кватернионов 1, –1, i, –i, j, –j, k и –k, заданная таблицей





1

-1

i

-i

j

-j

k

-k

1

1

-1

i

-i

j

-j

k

-k

-1

-1

1

-i

i

-j

j

-k

k

i

i

-i

-1

1

k

-k

-j

j

-i

-i

i

1

-1

-k

k

j

-j

j

j

-j

k

-k

-1

1

i

-i

-j

-j

j

-k

k

1

-1

-i

i

k

k

-k

j

-j

-i

i

-1

1

-k

-k

k

-j

j

i

-i

1

-1


и { є }  тривиальная группа, состоящая из «единичного» гомоморфизма, отображающего все элементы одной группы в нейтральный элемент другой группы.

Тогда результаты можно записать в виде таблицы групп гомоморфизмов, в которой на пересечении, скажем, строки 4 и столбца 6 записана группа Hom(4, 6).



В ходе предстоящего исследования планируется провести вычисления при .
3. Гомоморфная устойчивость групп. Вместе с тем в настоящее время интерес для исследователей представляет следующая задача. Подмножество Н группы называют подгруппой, если для сужения отображения f на множество является группой. Можно показать, что определяющее подгруппу условие равносильно условию

для любых .

Для любого отображения t некоторого множества M в некоторое множество подмножество



в называют образом отображения t. Легко показать, что образ всякого гомоморфизма группы в группу является подгруппой в .

Пару , в которой группа абелева, называют гомоморфно устойчивой, если множество



является подгруппой в . Важные достаточные и необходимые условия гомоморфной усойчивости пар некоторых классов групп в последние годы получены в работах Н. Я. Гриншпона и Т. А. Ельцовой. В нашей работе с помощью компьютерных вычислений планируется получить ответ о гомоморфной устойчивости всех пар групп G и , где и  абелева группа.
4. Группы автоморфизмов и их компьютерное исследование. Взаимно однозначный эндоморфизм группы называют автоморфизмом. Нетрудно проверить, что множество автоморфизмов произвольной группы G является группой относительно композиции автоморфизмов. Эту группу обозначают . Нейтральный элемент в  тождественное отображение id. Любой автоморфизм g группы G, для которого существует такой , что g можно представить в виде

,

называют внутренним автоморфизмом. Множество внутренних автоморфизмов является подгруппой в . Эту подгруппу обозначают . В работе [10] мы вычислили группы и для случая .

В качестве примера приведем программу из нашей статьи [10], составленную на языке Паскаль для вычисления групп Aut D5 и Inn D5:

var

a,b,c,d,e,f,s,v,w,x,y,i,j : integer;

hom : array [1..10] of integer;

m : array [1..10] of integer;

const

g : array [1..10,1..10] of integer =

((1,2,3,4,5,6,7,8,9,10), (2,3,4,5,1,8,9,10,6,7),

(3,4,5,1,2,10,6,7,8,9), (4,5,1,2,3,7,8,9,10,6),

(5,1,2,3,4,9,10,6,7,8), (6,9,7,10,8,1,3,5,2,4),

(7,10,8,6,9,4,1,3,5,2), (8,6,9,7,10,2,4,1,3,5),

(9,7,10,8,6,5,2,4,1,3), (10,8,6,9,7,3,5,2,4,1));

{таблица Кэли для группы D5}


BEGIN
s:=0; {счетчик автоморфизмов}

{шаг 1: задаем отображение D5 в D5}

hom[1]:=1;

for a:=1 to 10 do

for b:=1 to 10 do

for c:=1 to 10 do

for d:=1 to 10 do

for e:=1 to 10 do

for f:=1 to 10 do

begin

hom[2]:=a;

hom[3]:=g[a,hom[2]];

hom[4]:=g[a,hom[3]];

hom[5]:=g[a,hom[4];

hom[6]:=b;

hom[7]:=c;

hom[8]:=d;

hom[9]:=e;

hom[10]:=f;

w:=1; for i:=1 to 10 do

for j:=1 to i-1 do

if hom[i]=hom[j] then w;=0;

{шаг 2: если отображение взаимно однозначно,

то идем дальше}

if w<>0 then

begin

v:=0;

for x:=1 to 10 do

for y:=1 to 10 do

if hom[g[x,y]]=g[hom[x],hom[y]] then v:=v+1;

{шаг 3: если отображение является

гомоморфизмом, то идем дальше}

if v=100 then

begin

s:=s+1;

writeln('s=',s);

for i:=1 to 10 do

writeln(i,'->',hom[i]);


{шаг 4: проверяем, является ли автоморфизм внутренним}

w:=0;

for i:=1 to 10 do

begin

v:=0;

for j:=1 to 10 do

if g[j,i]=g[i,hom[j]] then v:=v+1;

if v=10 then w:=w+1

end;

if w>0 then writeln('inner');

{шаг 5: вычисляем порядок автоморфизма}

w:=0;

for i:=1 to 10 do

if hom[i]=i then w:=w+1;

if w=10 then writeln('ord = 1');

else

begin

w:=1;

for i:=1 to 10 do m[i]:=hom[i];

repeat

v:=0;

w:=w+1;

for i:=1 to 10 do

begin

m[i]:=hom[m[i]];

if m[i]=i then v:=v+1

end

until v=10;

writeln('ord = ',w)

end;

readln(j)

end

end

end;

writeln('END');

readln(j)
END.

Приведем наши результаты в виде таблиц, в которых S4  симметрическая группа степени 4 (то есть группа биекций множества порядка 4 относительно композиции биекций), PSL(2,7)  подгруппа в S7, порожденная подстановками (3 4) (5 6) и (1 2 3) (4 5 7), группа U состоит из элементов а, b, c и d и имеет генетический код (то есть систему определяющих отношений)

,

а группа V состоит из элементов s и t и определяется кодом

.

G

2

3

4



5

6

D3

7

8



{id}

2

2

D3

4

2

2

6





{id}

{id}

{id}

{id}

{id}

{id}

{id}

{id}

{id}




G

2×ℤ4



D4

Q

9



10

D5



D4

PSL(2,7)

D4

S4

6

U

4

V



{id}

{id}





{id}

{id}

{id}

D5


4. Два определения топологического пространства и задача компьютерного исследования топологий конечных множеств. Важным случаем групп, находящим многие применения в математике и физике, являются топологические группы. Понятие топологической группы появилось из слияния понятия группы и понятия топологического пространства.

Для произвольного множества S обозначим множество, состоящее из всех подмножеств множества S (включая несобственные подмножества  и S). Подмножество  в , удовлетворяющее условиям

,

,

,

называют топологией множества S. Само S называют топологическим пространством, а множества, входящие в ,  открытыми множествами. Пусть . Всякое открытое подмножество в S, содержащее а, называется окрестностью «точки» а. Топология  называется хаусдорфовой, или удовлетворяющей первой аксиоме отделимости, если для двух различных точек множества S существуют непересекающиеся окрестности этих точек. Подмножество называют базой топологии , если всякое открытое множество топологического пространства S можно представить в виде объединения (возможно, бесконечного) некоторых подмножеств из .
В работе предполагается с помощью вычислений на компьютере провести исследование всех топологий на конечных множествах небольшого порядка. Именно, предполагается найти все топологии, указать все возможные их базы, исследовать эти топологии на хаусдорфовость, а также на некоторые другие свойства, о которых мы здесь не упоминаем: например, на связность. Кроме того, возможно исследование отображений топологических пространств на непрерывность.
Любую топологию можно определить, перечислив открытые подмножества. Разумеется, вместо открытых подмножеств можно перечислить их дополнения – замкнутые подмножества. Замкнутые подмножества, в свою очередь, можно задать с помощью специального отображения, которое называется замыканием и у которого замкнутые подмножества являются неподвижными точками. Замыкание можно определить с помощью следующей системы аксиом:

1) пустое подмножество является неподвижной точкой замыкания;

2) замыкание объединения любых двух подмножеств совпадает с объединением замыканий этих подмножеств;

3) всякое подмножество вложено в свое замыкание;

4) замыкание является идемпотентом.
Приведенное только что определение топологического пространство является определением по Куратовскому. Можно показать эквивалентность приведенных выше определений топологического пространства (через аксиомы системы открытых множеств и через замыкание). При разработке алгоритма программы, вычисляющей топологии на конечных множествах, предстоит сделать вывод о том, для какого из определений алгоритм более эффективен.

Похожие:

Государственного контракта П1111 от 02 2010 г iconОтчету по 3 этапу Государственного контракта № П1111 "Компьютерное исследование групп гомоморфизмов конечных групп, гомоморфной устойчивости и конечных топологий"
Стимулирование закрепления молодежи в сфере науки, образования и высоких технологий." федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические...
Государственного контракта П1111 от 02 2010 г iconПредмет государственного контракта
Предмет государственного контракта Поставка медикаментов (психотропных) для областного государственного стационарного учреждения...
Государственного контракта П1111 от 02 2010 г iconПредмет государственного контракта
Предмет государственного контракта: поставка программного обеспечения для нужд территориальных органов и учреждений социальной защиты...
Государственного контракта П1111 от 02 2010 г iconТребования к предмету государственного контракта
Наименование, характеристики и количество поставляемых товаров: Поставка хирургического шовного материала (капрон) для нужд Владимирского...
Государственного контракта П1111 от 02 2010 г iconДокументация об аукционе по проведению открытого аукциона на право заключения государственного контракта на поставку
Наименование аукционной комиссии: Аукционная комиссия по проведению открытого аукциона на право заключения государственного контракта...
Государственного контракта П1111 от 02 2010 г iconПредмет государственного контракта
Предмет государственного контракта: поставка программного обеспечения для нужд департамента социальной защиты населения администрации...
Государственного контракта П1111 от 02 2010 г iconПредмет государственного контракта окдп 3311000 Поставка инструментов для проведения эндоваскулярных процедур для нужд муз «Городская больница №3»
Предмет государственного контракта окдп 3311000 Поставка инструментов для проведения эндоваскулярных процедур для нужд муз «Городская...
Государственного контракта П1111 от 02 2010 г iconПозиция Международное наименование товара
Предмет государственного контракта: Поставка гипсовых бинтов для Владимирского областного государственного учреждения здравоохранения...
Государственного контракта П1111 от 02 2010 г iconТребования к предмету государственного контракта
Наименование, характеристики и количество поставляемых товаров: Поставка перчаток для нужд Государственного учреждения здравоохранения...
Государственного контракта П1111 от 02 2010 г iconТребования к предмету государственного контракта
Наименование, характеристики и количество поставляемых товаров: Поставка передвижного дизельного генератора эд-100-Т400-1рпм для...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org