Рабочая программа дисциплины «Алгебра» Направление подготовки: 010400 Прикладная математика и информатика



Скачать 138.21 Kb.
Дата24.11.2012
Размер138.21 Kb.
ТипРабочая программа


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Томский государственный университет
Факультет прикладной математики и кибернетики


УТВЕРЖДАЮ

Декан факультета прикладной математики и кибернетики, профессор

_________А.М. Горцев
"1" марта 2011 г.


Рабочая программа дисциплины

«Алгебра»

Направление подготовки: 010400 – Прикладная математика и информатика

Квалификация выпускника: Бакалавр

Форма обучения: очная

Томск

2011 г.

1. Цели освоения дисциплины

Целью курса «Алгебра» является изучение свойств основных алгебраических систем, а именно, изучение операций над элементами множеств произвольной природы, обобщающими операции сложения и умножения чисел. Такие алгебраические системы, в частности, возникают в криптографических методах защиты информации, в квантовой механике и твердотельной электронике.
2.Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата

Курс читается студентам бакалавриата факультета прикладной математики и кибернетики ТомГУ и относится к вариативной части профессионального цикла Б.3. Курс читается в седьмом семестре и опирается на математические дисциплины естественно-научного цикла.
3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины (модуля)

Изучение дисциплины «Алгебра» влияет на формирование следующих компетенций:

Способность владеть культурой мышления, умение аргументировано и ясно строить устную и письменную речь (ОК-1).

Способность и готовность к письменной и устной коммуникации на родном языке (ОК-10).

Способностью демонстрации общенаучных базовых знаний естественных наук, математики и информатики, понимание основных фактов, концепций, принципов теорий, связанных с прикладной математикой и информатикой (ПК-1).

Способностью понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат (ПК-3).

Способностью в составе научно-исследовательского и производственного коллектива решать задачи профессиональной деятельности (ПК-4).

Способностью критически переосмысливать накопленный опыт, изменять при необходимости вид и характер своей профессиональной деятельности (ПК-5).

Способностью собирать, обрабатывать и интерпретировать данные современных научных исследований, необходимые для формирования выводов по соответствующим научным, профессиональным, социальным и этическим проблемам (ПК-7).

Способностью решать задачи производственной и технологической деятельности на профессиональном уровне, включая: разработку алгоритмических и программных решений в области системного и прикладного программирования (ПК-9).

В результате освоения дисциплины «Алгебра» обучающийся должен:

  • Знать: основные понятия общей алгебры, свойства основных алгебраических структур (групп, колец, полей)

  • Уметь: применять математический аппарат для исследования свойств алгебраических систем (групп, колец, полей); понимать и излагать базовую общематематическую информацию; использовать аппарат общей алгебры для освоения основ криптографических методов защиты информации и криптографических телекоммуникационных протоколов

  • Владеть: методами исследования основных свойств алгебраических систем (групп, колец, полей)



4. Структура и содержание дисциплины «Алгебра»
Общая трудоемкость дисциплины составляет 2,3 зачетные единицы, 84 часа.




п/п

Раздел

Дисциплины

Семестр

Неделя семестра

Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах)

Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра)

Форма промежуточной аттестации (по семестрам)

Лекции

(час.)

Самост.

работа

(час.)




1


Отношения


7


1-2


4

6


Опрос, проверка домашнего задания

Коллоквиум

2

Группы

7

3


2





Опрос


3

Разложение группы по подгруппе

7

3-4


3

4

Опрос, проверка домашнего задания

4

Отношение сопряженности

7

5


2




Опрос, проверка домашнего задания

5

Циклические группы

7

5


1

1

Опрос, проверка домашнего задания

6

Нормальные подгруппы

7

6


1




Опрос, проверка домашнего задания

7

Фактор-группы

7

6


1

2

Опрос, проверка домашнего задания


8

Гомоморфизмы групп

7

7


2

2

Опрос, проверка домашнего задания

Контрольная работа

9

Прямое произведение групп


7

8


1

1

Опрос, проверка домашнего задания

10

Нормальные и композиционные ряды

7

8

9

1

1

Опрос, проверка домашнего задания

Коллоквиум

11

Кольца и поля


7

10


2




Опрос, проверка домашнего задания

13

Кольцо классов вычетов целых чисел

7

12

13

2


2


Опрос, проверка домашнего задания

14

Модулярная арифметика

7

14

2

2


Опрос, проверка домашнего задания

15

Кольцо классов вычетов многочленов. Конечные поля

7

15


3


2


Опрос, проверка домашнего задания

Контрольная работа

16

Свойства полей Галуа

7

16


3

1

Опрос, проверка домашнего задания

Зачет




Всего







30

24

30


1. Отношения. Определение n-арного отношения. Бинарные отношения (отношение эквивалентности, частичного порядка, линейного порядка). Отображения.

2. Группы. Полугруппы. Понятие группы. Примеры групп. Теоремы единственности единичного и обратного элементов в группе.

3. Разложение группы по подгруппе. Понятие подгруппы. Критерий «быть подгруппой». Теорема о пересечении конечного числа подгрупп группы. Разложение группы по подгруппе. Левые и правые смежные классы. Условия принадлежности двух элементов группы одному левому (правому) смежному классу. Индекс подгруппы в группе. Теорема Лагранжа.

4. Отношение сопряженности. Сопряженные элементы. Сопряженные подгруппы.

5. Циклические группы. Подгруппы циклической группы. Порядок элемента в группе.

6. Нормальные подгруппы (нормальные делители). Свойства нормальных подгрупп. Связь между нормальными и сопряженными подгруппами.

7. Фактор-группы.

8. Гомоморфизмы групп. Теоремы о гомоморфизмах групп.

9. Прямое произведение групп. Необходимое и достаточное условие разложимости группы в прямое произведение своих подгрупп.

10. Нормальные и композиционные ряды. Теорема Жордана-Гельдера.

3. Кольца и поля. Понятие кольца. Теорема о соотношениях в кольце. Кольцо многочленов. Понятие поля. Примеры полей. Идеалы в кольце. Корректность операции умножения смежных классов по идеалу. Кольцо классов вычетов.

4. Кольцо классов вычетов целых чисел. Расширенный алгоритм Евклида. Классы вычетов целых чисел. Простые поля (поля Галуа из p элементов).

5. Модулярная арифметика. Понятие сравнимости целых чисел. Полная и приведенная система вычетов. Функция Эйлера. Мультипликативность функции Эйлера. Системы сравнений. Китайская теорема об остатках.

6. Кольцо классов вычетов многочленов. Конечные поля. Делимость многочленов. Нормированный и неприводимый многочлены. Теорема Безу. Идеалы и классы вычетов многочленов. Конечное поле как поле Галуа из pk элементов. Характеристика поля.

7. Свойства полей Галуа. Минимальная функция и ее свойства. Мультипликативная группа поля Галуа и примитивный элемент. Дискретное логарифмирование в поле Галуа. Решение систем уравнений в полях Галуа.
5. Образовательные технологии

В процессе чтения курса используются следующие формы проведения занятий:

а) занятия лекционного типа;

б) интерактивная форма проверки знаний студентов;

в) внеаудиторная работа;

г) контроль успеваемости студентов (проведение опросов и коллоквиумов, проверка домашних заданий, проверка контрольных работ);

Занятия лекционного типа составляют 35% от общего количества аудиторных занятий.
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.

Самостоятельная работа студентов в виде выполнения домашних заданий (контроль и помощь со стороны преподавателя, проводящего практические занятия).

Самостоятельная работа студентов по овладению знаниями на основе лекционного материала (опросы студентов, самостоятельные работы на практических занятиях, коллоквиумы). Консультации лектора и преподавателя, проводящего практические занятия.

Самостоятельная работа студентов по доказательству некоторых утверждений (контроль и помощь со стороны лектора и преподавателя, проводящего практические занятия).

Для проверки теоретических знаний студентов проводится коллоквиум после окончания занятий по теме «Отношения», и коллоквиум после окончания занятий по теме «Классы вычетов целых чисел».
Перечень контрольных вопросов для подготовки к промежуточным самостоятельным работам, в том числе к коллоквиумам.

Отношения

  1. Множества, основные операции над множествами, декартово произведение множеств.

  2. Отношение на паре множеств, бинарное отношение на множестве, примеры отношений.

  3. Основные операции над отношениями (произведение отношений, построение обратного отношения).

  4. Свойства бинарных отношений (с примерами: один пример на каждое свойство).

  5. Отношение эквивалентности (с примерами: 2 примера эквивалентностей).

  6. Доказать, что по каждому разбиению множества можно задать эквивалентность на этом множестве.

  7. Доказать, что каждая эквивалентность на множестве отвечает некоторому разбиению этого множества.

  8. Привести примеры эквивалентностей на множестве и разбиений, которым они отвечают.

  9. Отношение порядка, максимальный (минимальный) и наибольший (наименьший) элементы частично упорядоченного множества (с примером).

  10. Верхняя и нижняя полурешетки (с примером).

  11. Является ли множество всех подмножеств некоторого множества решеткой относительно отношения включения?

  12. Отношение линейного порядка (2 примера линейно упорядоченных множеств).

  13. Отображения: в, на, взаимно однозначное отображение (один пример на каждое отображение).

  14. Подстановки, утверждение о числе различных подстановок на множестве {1, 2, …, n} (с доказательством).

  15. Бинарная операция на множестве, 2 примера множеств с заданными операциями.


Группы

  1. Понятие полугруппы; 3 примера полугрупп.

  2. Понятие группы; пример группы; теоремы единственности единичного и обратного элементов в группе (с доказательством).

  3. Понятие подгруппы группы; критерий «быть подгруппой» (с доказательством); теорема о пересечении конечного числа подгрупп группы (с доказательством).

  4. Разложение группы по подгруппе; критерий принадлежности двух элементов группы одному левому смежному классу по подгруппе (с доказательством).

  5. Разложение группы по подгруппе; теорема о разбиении множества элементов группы на левые смежные классы (с доказательством).

  6. Индекс подгруппы в группе; теорема Лагранжа (с доказательством).

  7. Нормальная подгруппа; критерий проверки «нормальности» подгруппы (через сопряженные подгруппы) (с доказательством).

  8. Фактор-группы; теорема о том, что фактор-группа, образует группу относительно операции умножения смежных классов (с доказательством).

  9. Циклические группы; порядок элемента; теорема о подгруппе циклической группы (с доказательством).

  10. Гомоморфизмы групп; теорема о гомоморфном образе группы (с доказательством).

  11. Гомоморфизмы групп; теорема о гомоморфизмах групп (в двух положениях) (с доказательством).

  12. Прямое произведение групп. Критерий разложимости группы в прямое произведение своих подгрупп (с доказательством).

  13. Нормальные и композиционные ряды в группах.


Кольца и поля

  1. Определение кольца; теорема об основных соотношениях в кольце.

  2. Кольцо многочленов.

  3. Определение поля; 2 примера поля.

  4. Кольцо классов вычетов по идеалу.

  5. Понятие делимости и алгоритм деления Евклида для целых чисел.

  6. Кольцо классов вычетов целых чисел; доказать, что совокупность целых чисел образует идеал тогда и только тогда, когда она состоит из всех чисел, кратных некоторому целому числу.

  7. Кольцо классов вычетов целых чисел.

  8. Кольцо классов вычетов целых чисел. Простые поля Галуа.

  9. Полная и приведенная система вычетов (с примерами).

  10. Функция Эйлера. Теорема о мультипликативности функции Эйлера.

  11. Системы сравнений. Китайская теорема об остатках.

  12. Многочлены над полем: нормированный многочлен, неприводимый многочлен, теорема деления для многочленов, алгоритм деления Евклида для многочленов.

  13. Теорема Безу (с доказательством).

  14. Идеал в кольце многочленов; сформулировать три теоремы для кольца многочленов, аналогичные теоремам для идеала в кольце целых чисел. Определения расширения и характеристики поля Галуа.

  15. Доказать, что в поле характеристики p имеет место равенство (a + b)p = a p + bp.

  16. Минимальная функция; 2 теоремы о свойствах минимальной функции (с доказательством).

  17. Определение системы линейных уравнений над полем; совместные и несовместные системы; однородные и неоднородные системы.

  18. Примитивный элемент в поле Галуа. Дискретное логарифмирование в полях Галуа.

  19. Метод решения однородной системы линейных уравнений над полем.


7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины «Аналитическая геометрия»

а) Основная литература:

    1. Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970.

    2. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. Мир, 1976.

    3. Виноградов И.М. Основы теории чисел. СПб.: Лань, 2004.

    4. Парватов Н.Г. Конспект лекция по теории групп. Изд-во ТГУ, Томск, 2008.


б) Дополнительная литература:

1. Холл М. Теория групп. М.: Издательство иностранной литературы, 1962.

    2. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976.


8. Материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)

Учебные пособия из списков основной и дополнительной литературы присутствуют в научной библиотеке ТГУ или на кафедре ИТИДиС РФФ в достаточном количестве.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению подготовки 010400 – Прикладная математика и информатика


Автор: д.т.н., профессор Н.В.Евтушенко.

Рецензент: д.т.н., профессор А.Ю. Матросова.


Программа одобрена на заседании Ученого совета ФПМК

от «24» февраля 2011 г., протокол № 282.


Похожие:

Рабочая программа дисциплины «Алгебра» Направление подготовки: 010400 Прикладная математика и информатика iconРабочая программа дисциплины Прикладная статистика Направление подготовки 010400 Прикладная математики и информатика
Учебная дисциплина «Прикладная статистика» относится к вариативной части профессионального цикла (Б. 3) по направлению 010400 «Прикладная...
Рабочая программа дисциплины «Алгебра» Направление подготовки: 010400 Прикладная математика и информатика iconРабочая программа дисциплины Идентификация Направление подготовки 010400 Прикладная математика и информатика
Для изучения курса необходимы знания по предметам: математический анализ, линейная алгебра, теория вероятностей, математическая статистика,...
Рабочая программа дисциплины «Алгебра» Направление подготовки: 010400 Прикладная математика и информатика iconПрограмма вступительных испытаний по дисциплине «Алгебра и аналитическая геометрия»
Программа для поступающих на направление подготовки магистратратуры 010400 «прикладная математика и информатика»
Рабочая программа дисциплины «Алгебра» Направление подготовки: 010400 Прикладная математика и информатика iconРабочая программа дисциплины Функциональный анализ Направление подготовки 010400 Прикладная математика и информатика
Дисциплина «Функциональный анализ» находится в цикле Б. 2 Математический и естественнонаучный цикл (Базовая часть)
Рабочая программа дисциплины «Алгебра» Направление подготовки: 010400 Прикладная математика и информатика iconРабочая программа дисциплины Имитационное моделирование Направление подготовки 010400 Прикладная математика и информатика
Монте-Карло, как одного из методов решения математических задач при помощи моделирования случайных величин, на примере вычисления...
Рабочая программа дисциплины «Алгебра» Направление подготовки: 010400 Прикладная математика и информатика iconПрограмма дисциплины теория вероятностей и математическая статистика
Направление подготовки 010400. 62 прикладная математика и информатика (математическое и информационное обеспечение экономической...
Рабочая программа дисциплины «Алгебра» Направление подготовки: 010400 Прикладная математика и информатика iconРабочая программа дисциплины Уравнения математической физики Направление подготовки 010400 Прикладная математика и информатика
Дисциплина “Уравнения математической физики” находится в цикле Б3 «Профессиональный цикл»
Рабочая программа дисциплины «Алгебра» Направление подготовки: 010400 Прикладная математика и информатика iconРабочая программа для студентов очной формы обучения направление подготовки 230700. 62 «прикладная информатика»
Платонов м. Л. Алгебра и математическая логика. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов очной формы обучения...
Рабочая программа дисциплины «Алгебра» Направление подготовки: 010400 Прикладная математика и информатика iconПрограмма дисциплины Дискретная математика для направления 010400. 68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистров

Рабочая программа дисциплины «Алгебра» Направление подготовки: 010400 Прикладная математика и информатика iconПрограмма дисциплины Дискретная математика для направления 010400. 68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистров

Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org