Измерения. Погрешности измерений



Скачать 156.96 Kb.
Дата09.10.2012
Размер156.96 Kb.
ТипЛекции
Тема лекции:

Измерения. Погрешности измерений.

Измерения. Прямые и косвенные измерения. Случайные и систематические погрешности измерений. Распределение Гаусса.

Единицы измерений. Система единиц СИ. Размерности величин. Анализ размерностей

Физика наука экспериментальная. Это означает, что все физические законы должны подтверждаться экспериментальными данными, т. е. измерениями. Больше того, очень часто, но не всегда, физические законы начинаются с экспериментальных данных. Правда иногда случается, что физик угадает закон, скажем из каких-то принципов (физика наука еще и принципиальная), а над ним некоторые смеются. Тогда ставится эксперимент, и если закон подтверждается, то смеётся уже тот самый физик, от радости.

Итак, поговорим об измерениях. Очевидно, что любая величина измеряется с какой-то точностью.

Причины:

  1. точность прибора (цена деления термометра, цена деления линейки и т.п.);

  2. ошибки, связанные с методом измерения (не всегда можно приложить эталон, иногда процесс измерения выглядит достаточно сложно);

  3. иногда возникают ошибки, которые трудно учесть, но они откуда-то возникают. Такие ошибки называют систематическими. Это может быть нестабильность каких-то параметров, которые в данном измерении не контролируются (температура, влажность, да мало ли что). Но только ошибки оказываются больше, чем можно ожидать.

Остановимся кратко на классификации ошибок измерений, или как их еще называют погрешностей измерений.

Абсолютной погрешностью измерений называется разность между измеренным значением физической величины и ее точным значением:



(1)

Здесь введены обозначения — для измеренного значения величины , и — для ее точного значения. Обратите внимание, что абсолютная погрешность измеряется в каких-то величинах. Так если вы меряете время — то величина абсолютной ошибки может измеряться в секундах, или в часах или в минутах или …. В чем захотим, в том и померяем, но главное чтобы то в чем меряем, было для измерения времени, а не длины или площади или веса или еще чего-нибудь. То в чем меряется величина — называется размерностью величины, и об этом мы еще сегодня поговорим. У любого измерения всегда есть ошибка. Хотя бы потому, что ваш измерительный прибор (например, просто линейка) имеет конечную цену деления. В этом случае, за ошибку принимают цену деления, или половину цены деления.


Как записывают абсолютную ошибку, да очень просто:



(2)

Думаю, что в такой записи все понятно. Обратите внимание, что даже если измеренная величина равна , то пишут , т.е. последняя оставленная цифра имеет тот же порядок, что и ошибка. Следующие знаки оставлять бессмысленно, поскольку ошибка больше чем величина отбрасываемого при округлении остатка. В нашем примере говорят, что величина измерена с точностью 3 см или по другому, абсолютная погрешность составляет 3 см. Кроме абсолютной погрешности используют также относительную ошибку (относительную погрешность):



(3)

.

Ясно, что измерить расстояние от Дубны до Москвы с абсолютной ошибкой намного сложнее, чем рост баскетболиста с той же точностью с той же абсолютной ошибкой . И это видно на примере относительных ошибок: в первом случае , а во втором . Когда относительная ошибка не очень большая, то ее обычно выражают в процентах. Если какая-то величина измерялась несколько раз (N раз), то за измеренное значение принимают среднюю величину:



(4)

В физике обычно, среднюю величину обозначают либо заключенной в угловые скобки, либо с чертой сверху. Если при этом каждое измерение отличается одно от другого (т.е. разброс в измерениях больше шкалы прибора), то тогда ошибка в такой серии измерений вычисляется по формуле:



(5)

Из теории вероятностей вы узнаете, что выражение, которое стоит под корнем, называют несмещенной оценкой квадрата дисперсии. Еще раз подчеркнем, что считать ошибку по приведенной формуле нужно, если разброс измерений больше чем цена деления прибора. Если же во всех измерениях вы получаете одно и то же значение, то за абсолютную ошибку следует принять цену одного деления (последнюю из значащих цифр, которую ваш вольтметр, секундомер и т.п. показывает).

Не всегда интересующую нас физическую величину можно померить имеющимися приборами. Иногда эта величина задана какой-то функцией от других величин, которые мы знаем с какими-то погрешностями. Например, нас интересует средняя скорость,

,

(6)

А время и путь известны с какими-то абсолютными погрешностями . Спрашивается чему в таком в таком случае равно среднее значение скорости и её погрешность? Ответ дает следующее правило:

Пусть какая-то величина является функцией от N независимых переменных



(7)

А результаты измерений независимых переменных известны и могут быть записаны в виде.

.

(8)

В таком случае за измеренное значение величины принимают её значение при аргументах, равных измеренному значению:

.

(9)

Ответ кажется естественным. А ошибка (абсолютная погрешность) этой величины дается следующим выражением:

.

(10)

И окончательно имеем , где измеренное значение и ошибка даются выражениями (9) и (10). Здесь мы воспользовались стандартным обозначением для частных производных. Проведем эту процедуру для средней скорости (6)

.

(11)


а частные производные равны:

,

(12)

И согласно (10) находим, что абсолютная ошибка средней скорости равна:

,

(13)


Итак, по способу получения интересующей нас величины измерения делятся на два вида :

  1. Прямые измерения — измерения, при которых интересующая величина получается непосредственно в процессе измерения (по прибору, линейке и т.п.).

  2. Косвенные измерения — измерения, при которых интересующая величина рассчитывается по формуле (является функцией величин полученных при прямых измерениях).


Есть два вида представления погрешностей измерений:

Абсолютная погрешность (абсолютная ошибка) — величина показывающая насколько истинное значение отличается от точного. Абсолютная ошибка имеет ту же размерность, что и измеряемая величина (метры, секунды, …).

Относительная ошибка — показывает во сколько раз ошибка меньше измеряемой величины. Относительная ошибка величина безразмерная и часто выражается в процентах.

На этом закончим с ошибками измерений. Результатами этой части лекции Вам придется пользоваться при обработке результатов измерений полученных при выполнении лабораторных работ.

Погрешности физических измерений принято подразделять на систематические, случайные и грубые:

  1. Систематические погрешности вызываются факторами, действующими одинаковым образом при многократном повторении одних и тех же измерений. Систематические погрешности скрыты в неточности самого инструмента и неучтенных факторах при разработке метода измерений. Обычно величина систематической погрешности прибора указывается в его техническом паспорте. Что же касается метода измерений, то здесь все зависит от квалификации экспериментатора. Хотя суммарная систематическая погрешность во всех измерениях, проводимых в рамках данного эксперимента, будет приводить всегда либо к увеличению, либо к уменьшению правильного результата, знак этой погрешности неизвестен. Поэтому на эту погрешность нельзя внести поправку, а приходится приписывать эту погрешность окончательному результату измерений.

  2. Случайные погрешности обязаны своим происхождением ряду причин, действие которых неодинаково в каждом опыте и не может быть учтено. Они имеют различные значения даже для измерений, выполненных одинаковым образом, то есть носят случайный характер. Допустим, что сделано n повторных измерений одной и той же величины. Если они выполнены одним и тем же методом, в одинаковых условиях и с одинаковой степенью тщательности, то такие измерения называются равноточными.

  3. Грубые погрешности или промахи. Под грубой погрешностью измерения, понимается погрешность, существенно превышающая ожидаемую при данной процедуре измерений. Она может быть сделана вследствие неправильного применения прибора, неверной записи показаний прибора, ошибочно прочитанного отсчета и т.п. Обычно грубые погрешности просто не учитываются при дальнейшей обработке.


Ещё несколько коротких замечаний, суть которых Вы поймете подробнее при изучении теории вероятностей. Очевидно, что измеряемая нами физическая величина принимает случайное значение. Внимание — случайное совсем не означает произвольное. В тории вероятностей для описания непрерывной случайной величины вводят плотность вероятности . Плотность вероятности дает ответ на вопрос: «С какой вероятностью величина x попадает в интервал :

,

(14)

При правильно организованном процессе измерения распределение измеряемых значений подчиняется распределению Гаусса. В математике такое распределение чаще называется нормальным распределением. Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех. Ясно, что правильно подготовленный процесс измерений как раз и подчиняется этим условиям, Распределение Гаусса (нормальное распределение) имеет вид:

,

(15)

Можно показать, что написанное в таком виде распределение удовлетворяет общему требованию, которое предъявляется к любой плотности вероятностей:

,

(16)

Это условие называется нормировочным и означает в нашем случае, что в результате измерения хоть какое-то значение () будет получено. Другими словами вероятность хоть какого-то значения равна единице.

Нормальное распределение зависит от двух параметров — смещения () и масштаба (). В случае измерений — отвечает точному значению измеряемой величины, А величина называемая дисперсия показывает насколько точной является процедура измерений, насколько сильно отклоняется измеренное значение от точной величины. Это видно из графика нормального распределения, который для некоторых значений параметров приведен на Рис.1.



Рис. 1

И еще одно замечание о распределении Гаусса. Вероятности того, что измеряемая величина окажется в некоторых интервалах, приведены в таблице 1.












Вообще обработка результатов измерений является довольно основательной работой. Мы же на этом закончим, договорившись, что будем принимать, что абсолютная ошибка, о которой речь шла выше, равна дисперсии. Так если, например, при измерении какого-то расстояния мы получили результат , то согласно таблице с вероятность чуть больше половины (а точнее 0.6826) измеряемая величина лежит в интервале . И наверняка (с вероятностью 0.9973) измеряемая величина лежит в интервале .
После обсуждения погрешностей измерения остановимся на обсуждении единиц измерения физических величин. В физике (как и во многих других науках) основным методом является эксперимент (опыт) — наблюдение исследуемых явлений в точно учитываемых условиях, позволяющих многократно воспроизводить его при повторении этих условий. Поэтому, необходимо договориться в каких величинах будут производиться измерения. Другими словами выбрать систему измерения физических величин. В описании результатов опыта или в теоретических предсказаниях для опыта должно быть указано, какая система единиц используется. Вообще надо заметить, что выбор системы единиц важен не только в физике, но во всех сферах человеческой деятельности. Рассмотрим пример, когда произошла путаница с единицами измерения:

По дороге с ограничением скорости 60 км/час едет человек на американской иномарке. Машину останавливает сотрудник ГИБДД и выписывает штраф за превышение скорости. На замечание о том, что он ехал с отметкой 60 по спидометру, сотрудник (хорошо знающий английский) резонно возражает, что спидометр показывает скорость в милях/час.

Вопрос: во сколько раз был превышен предел скорости, если 1 миля = 1.609 километра.

Ответ — примерно в 1.6 раза, т.е. на 36 км/час и штраф платить надо.
Остановимся на том, как строится система единиц.

Для построения системы единиц произвольно выбирают единицы для нескольких независящих друг от друга физических величин. Эти единицы называются основными. Остальные же величины и их единицы выводятся из законов, связывающих эти величины с основными. Они называются производными. В примере, приведенном выше. основными единицами измерения были единицы длины и времени, а единица измерения скорости была производной величиной.

Существует много систем единиц измерения. В данном курсе будет использована интернациональная система единиц (СИ), которая строится на семи основных единицах. На остальных системах единиц останавливаться не будем. Для курса механики нам будет достаточно следующих трех основных величин

  1. Единица измерения длины — метр.

  2. Единица измерения массы — килограмм

  3. Единица измерения времени— секунда,

Чтобы эти величины у всех были одинаковыми, пользуются эталонами (каковым, кстати, может быть и физическое явление). Так основные механические величины в системе СИ определяются следующим образом:

  1. Метр (м) - длина пути, проходимого светом в вакууме за 1/299792458 с.

  2. Килограмм (кг) - масса, равная массе международного прототипа килограмма (платиноиридиевого цилиндра, хранящегося в Международном бюро мер и весов в Севре, близ Парижа).

  3. Секунда (с) - время, равное 9192631770 периодам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133.

Для установления производных единиц используют физические законы,

связывающие их с основными единицами. Например, из формулы для средней скорости (s — пройденный путь, t — промежуток времени) получаем, что в системе СИ скорость измеряется в м/c (длина деленная на время ). Таким образом, можно дать следующее определение размерности «Размерность физической величины — выражение, показывающее связь данной величины с физическими величинами, положенными в основу системы единиц; записывается в виде произведения символов соответствующих основных величин, возведенных в определенные степени, которые называются показателями размерности. Это значит, что размерность скорости равна , а размерность ускорения . Иногда еще пишут . На семинарах, при решении задач разрешается писать .

Основной закон теории размерностей «Размерность правой и левой частей уравнения, описывающего физическое явление должны быть одинаковыми».

Вообще-то это требование кажется довольно естественным. Мало кому придет в голову, скажем, приравнять метр к секунде. Для того чтобы показать, почему это плохо рассмотрим один пример. Пусть при изучении какого-то явления было установлено (на эксперименте), что ускорение (размерность ) пропорционально скорости (размерность ). Т.е. экспериментально был установлен закон:

,

(17)

и пусть (т.е. коэффициент пропорциональности — безразмерная величина). Экспериментатор, при установлении этого закона длину измерял в метрах, а время в секундах и получил, что . Т.е. в единицах, которыми, пользовался исследователь, открытый закон выглядит следующим образом:

,

(18)

Но единицы измерения придумали люди и законы природы не могут зависеть от того, какими масштабами мы пользуемся при измерении основных величин. Как изменится уравнение (17) если время измерять не в секундах, а в минутах. Скорость будет в 60 раз больше (в одной минуте 60 с и за это время пройденный путь в 60 раз больше) и соответственно для ускорения .

С другой стороны коэффициент безразмерный и значит, он имеет одну и ту же величину для разных единиц измерения, т.е. и для измерения времени в секундах и для измерения времени в минутах можно написать:

,

(19a)

,

(19b)

Очевидно, что равенства (19a) и(19b) не могут выполняться одновременно, если учесть связь между скоростями и ускорениями для различных единиц измерения времени. Действительно, пусть Уравнение (19a) выполняется, и все выглядит правильным. Но согласно размерностям для измерения времени в минутах должно быть и при подстановке этих значений в(19b) получим , что заведомо неверно. Таким образом, нарушение основного закона теории размерностей («Размерность правой и левой частей уравнения, описывающего физическое явление должны быть одинаковыми».) привело к тому, что наш закон выполняется только для специально выбранной системы единиц. Ну а выход состоит в том, что нельзя коэффициент , полученный в эксперименте для конкретных величин измерения (м, с) считать безразмерным (нам это не позволяет основной закон теории размерностей). Найдем, пользуясь этим законом размерность .

,

(20)

Это означает, что . И в численном виде уравнения (19a) и (19b) принимают вид:

,

(21a)

,

(21b)

Таким образом, на этом простом примере мы убедились в том, для независимости физических законов необходимо выполнение основного закона теории размерностей («Размерность правой и левой частей уравнения, описывающего физическое явление должны быть одинаковыми».)

Скоро вы сможете проверить, что если ускорение пропорционально скорости (см. (17)), то зависимость скорости от времени дается выражением:

.

(22)

Следует отметить, что поскольку , то в показателе экспоненты стоит безразмерная величина . Это общее правило, размерность величины дается только произведениями размерностей основных величин возведенных в некоторые степени. Так, никакая величина не может иметь размерность, например .

Не будем доказывать это строго, а предположим, что какие-то две величина a и b имеют размерности и связаны соотношением:

.

(23)

Согласно основному закону теории размерностей коэффициент является безразмерной величиной. Мы всегда можем перейти к другой величине измерения длины (скажем от метров к сантиметрам). Закон (22) от этого не должен изменится. Пусть новый масштаб длины в к раз отличается от исходного (для перехода от метров к сантиметрам ). Тогда и новое уравнение примет вид:

.

(24)

Но законы (23) и (24) это разные законы. Отсюда следует, что размерности типа быть не может. Итак: «Размерность любой физической величины дается произведением степеней основных величин». Для механических величин системе СИ (вообще говоря, в любой системе единиц, где за основные величины выбраны Длина (L), масса (M) и время (T)) размерность имеет вид:

.

(25)

Итак, что нам дают размерности:

  1. Возможность переходить от одних единиц измерения к другим.

  2. Возможность правильно записывать физические законы и проверять правильно ли Вы решили задачу. Понятно, что для этого необходимо ответ к задаче записать в буквах.

  3. Возможность понять (записать структуру) ответа. Иногда это называется найти ответ из соображений размерности.

Первые два пункта мы уже разобрали, а вот на последнем остановимся. Для этого рассмотрим следующую задачу:

Найти период колебаний математического маятника. Математическим маятником называется небольшой шарик, подвешенный на нерастяжимой нити в поле тяжести. Понятно, что величинами, от которых зависит ответ, являются:

  1. Масса шарика

  2. Длина нити

  3. Ускорение свободного падения

Обозначим период колебаний маятника — . Понятно что . Ищем ответ в виде:

.

(26)

Тогда составляя уравнение для размерностей отвечающее закону (26) очевидно имеет вид:

.

(27)

Приравнивая размерности правой и левой частей получаем:

.




.

(28a)

.

(28b)

Что дает:

.

(29)

На самом деле точный ответ, который мы получим позднее, имеет вид:

.

(30)

Численные множители (в нашем случае ) с помощью метода размерностей получить нельзя. Подведем итог:

  1. «В основе понятия размерности лежит требование, того чтобы физические законы не изменялись при изменении масштабов (величин измерения) входящих в эти законы величин»

  2. Размерность физической величины – выражение, составленное из произведений символов основных физических величин в различных степенях и отражающее связь данной физической величины с физическими величинами, принятыми в данной системе величин за основные. Размерность физической величины показывает, как изменится эта величина при изменении масштаба основных величин.

  3. В системе СИ основными величинами в механике являются

      1. Длина (L) — измеряется в метрах.

      2. Масса (M) — измеряется в килограммах.

      3. Время (T) — измеряется в секундах.


Где используются основные правила (законы) теории размерностей:

  1. Проверка правильности написания формул (законов). Для Вас это одна из проверок правильности решения задачи. И это одна из причин, по которой от Вас требуется находить решения задач в общем виде (в буквах).

  2. В некоторых случаях (не всегда) из соображений размерностей можно написать структуру ответа (пример с математическим маятником).

  3. Для эрудиции — анализ размерностей необходим при создании различных стендов, на которых испытываются различные изделия (модели самолетов, кораблей и т.п.).

  4. Для будущего — при работе по написанию программ для научных и инженерных применений (и не только) старайтесь найти безразмерную запись переменных.

Похожие:

Измерения. Погрешности измерений iconЛекция Погрешности измерений. Тема погрешности измерений. Классификация погрешностей измерений
Систематические погрешности – погрешности постоянные или изменяющиеся по определенному закону в зависимости от вызывающих их причин....
Измерения. Погрешности измерений iconЛабораторная работа №3 Погрешности результатов косвенных измерений студент группы 816151 Низамов И. А. Проверила
...
Измерения. Погрешности измерений iconЛекция Погрешности измерений и их классификация. Систематические погрешности
Достоверность (или точность) измерений характеризует степень доверия к полученным результатам измерений. Это позволяет для каждого...
Измерения. Погрешности измерений iconОценка погрешностей результатов измерений Погрешности измерений и их типы
Величина называется абсолютной погрешностью (ошибкой) измерения, а выражение, характеризующее точность измерения, называется относительной...
Измерения. Погрешности измерений iconВ. Н. Бриш А. Н. Сигов выбор универсальных средств измерения линейных размеров
Гси (Государственной системы обеспечения единства измерений). Указаны погрешности измерений, пределы измерений, цена деления приборов...
Измерения. Погрешности измерений iconПогрешности измерений
Обязательными компонентами любого измерения явля­ются: физическая величина, значение которой нужно изме­рить; единица физической...
Измерения. Погрешности измерений iconПогрешности измерений
Задачей экспериментатора является не только нахождение самой величины, но и оценка допущенной при измерении погрешности. В зависимости...
Измерения. Погрешности измерений iconОценка погрешностей косвенных измерений
Цель работы: на практическом примере научиться проводить косвенные измерения и оценивать их погрешности
Измерения. Погрешности измерений iconЗадача Погрешности
Оценить абсолютную и относительную погрешности результатов вычисления выражений (V, S, Y), если известны оценки абсолютных погрешностей...
Измерения. Погрешности измерений iconПрограмма на 2005  2006 учебный год по общей физике для студентов
Измерения физических величин и погрешности измерений. Размерности физических величин. Система единиц си (основные и призводные единицы)....
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org