Ответ на вопрос «Философия математики Канта и формализм Гильберта» Жирным шрифтом выделено то, без знания чего по этому вопросу 4 (а может, и 3) не поставят



Скачать 77.65 Kb.
Дата24.11.2012
Размер77.65 Kb.
ТипДокументы
Ответ на вопрос

«Философия математики Канта и формализм Гильберта»
Жирным шрифтом выделено то, без знания чего по этому вопросу 4 (а может, и 3) не поставят.
1. Ранние работы Канта

Иммануил Кант впервые сравнивает методы математики с методами философии в работе «Исследование отчетливости принципов естественной теологии и морали». Он пытается найти метод, руководствуясь которым в философии можно было бы делать такие же обоснованные утверждения, как и в точных науках. Кант недоволен тем, что философские теории постоянно меняются, противоречат друг другу и спорят друг с другом. В математике это не так.

В ходе исследования он приходит к четырем выводам об отличии математического и философского метода исследования. Самый важный:

«Математика рассматривает в своих решениях, доказательствах и выводах всеобщее при помощи знаков in concreto, философия – посредством знаков in abstracto». Это значит, что математика делает свои выводы, пользуясь операциями над конкретными знаками, а затем интерпретирует выводы как распространяющиеся не только на них, но на всю совокупность понятий, которые можно ими обозначить. Например, геометр показывает доказательство своей теоремы о произвольном круге на примере некоторого конкретного круга, нарисованного на чертеже.

Канту доказывает такое заключение: «…для философии ничего не было вреднее математики, а именно, подражания ей в методе мышления там, где он никак не может быть применен».
2. «Критика чистого разума»

«Критика чистого разума», самая известная работа Канта, начинается со сравнения математического и философского методов познания. Однако теперь Кант уже не только показывает различия этих методов, но и объясняет, почему они возникают и не могут быть преодолены.

Кант использует следующую терминологию:

Противопоставление «априорное – эмпирическое знание». Наше знание берется или из опыта («эмпирическое»), или из самой познавательной способности («априорное»).

Априорные созерцания – не то же самое, что «врожденные идеи» идеалистов. Широко распространено такое объяснение: «априорное для индивида является апостериорным для вида». То есть, набор априорных знаний, присущих человеку, не связан фундаментально с самим мыслительным процессом, а имеет свою историю, связанную с естественным отбором в ходе эволюции человека как вида (этот абзац - это не мысль самого Канта, а пояснение к ней).

Аналитические и синтетические суждения. Первые только поясняют какое-то понятие, представление о котором у нас уже сформировалось, а вторые расширяют наши знания. Все опытные, эмпирические суждения являются синтетическими. Одна из главных задач «Критики чистого разума» – выяснение природы априорных, но вместе с тем синтетических суждений.


Рассуждения Канта:

Для того, чтобы понятие, полученное разумом при помощи конструирования (а таковы все понятия в математике), было пригодно для изучения человеческим разумом без обращения к опыту (и, следовательно, без ущерба для его общности и универсальности), необходимо, чтобы ему соответствовало не эмпирическое, а априорное созерцание.

Кант признает существование лишь двух источников для конструирования понятий a priori – пространства и времени. Он полагает, что поскольку они относятся не к содержанию (материи), а к форме познания, общей для человеческого разума, они тем самым пригодны для конструирования a priori синтетических созерцаний.

Кант утверждает в своих работах, что математический метод работает следующим образом: все математические утверждения касаются априорных синтетических созерцаний и ими же и достигаются. При этом конструирование ведется при помощи «знаков in concreto», которым (знакам) впоследствии сопоставляется вся обобщенная совокупность объектов, о которых идет речь в данном утверждении. Общность процессов познания дает таким утверждениям силу, однако математический метод нельзя применять там, где требуется анализ эмпирических понятий.

Рассуждения Канта также предупреждают, что выводы математики являются убедительными только потому, что они основаны на общем, которое есть в процессах познания для любого человека, а не потому, что основные математические положения - фундаментальные свойства нашей реальности (а это мнение широко распространено среди математиков). Значит, математика не застрахована от появления утверждений, кажущихся абсолютно верно и строго доказанными, но, тем не менее, противоречащих здравому смыслу или друг другу.

Что удивительно, хотя во времена Канта такие парадоксальные конструкции в математике не были известны, они действительно были открыты несколько позже, что привело к серьезному кризису в основаниях математики. В обоих путях, предложенных для его преодоления и доживших с некоторыми изменениями и до наших дней – формализме и интуиционизме, можно видеть следы идей, предложенных Кантом. Особенно это касается формализма, основные идеи которого были предложены Давидом Гильбертом.

Вторая часть вопроса посвящена парадоксам, приведшим к кризису в математике, и пути выхода из этого кризиса, предложенному Давидом Гильбертом.
3. Парадоксы в математике.

В конце 19 – начале 20 века стало известно большое количество парадоксов в математике. В отличие от других наук, парадокс в любой математической теории воспринимается очень болезненно. Он свидетельствует о серьезных упущениях в основаниях этой теории и угрожает нашему доверию к любым ее выводам.

Наиболее опасны для математики парадоксы, возникающие в теории множеств и в математической логике, то есть в тех основаниях, на которых построены все другие математические теории. Именно к середине – концу 19 века количество и сложность парадоксов в них стали критическими.

Примеры парадоксов:

Парадокс лжеца. Истинно или ложно утверждение «Данная фраза есть ложь»? И то, и другое приводит к противоречию. Значит, закон исключенного третьего в логике можно применить не к любым фразам. Данный парадокс был известен с древности, и на него до поры не обращали внимания, так как он никогда не приводил к серьезным последствиям.

Более сложные и опасные парадоксы были получены при разработке Кантором теории множеств и теории кардинальных чисел. Кантором доказано утверждение: «мощность множества подмножеств данного множества строго больше, чем мощность этого множества». Если в качестве множества в этой теореме взять «множество всех множеств», то получим противоречие. Это говорит, что понятие множества, ключевое для математики, недостаточно хорошо определено.

Парадокс возникает также при попытке рассмотреть множество всех множеств, не содержащих себя в качестве своего элемента. Содержит ли оно само себя? Можно сказать, что этот парадокс доказывает лишь, что указанного множества не существует. Это не упрощает ситуацию. В «наивной» теории множеств считалось, что всякое точно описанное свойство объектов определяет множество тех объектов, которые удовлетворяют этому свойству. Теперь приходится считать, что некоторые простые свойства, вроде описанного выше, не определяют множеств. Может быть и те свойства, которые широко употребляются в практике теоретико-множественной математики, также ведут к парадоксам и должны быть забракованы?

4. Программа Гильберта
Давид Гильберт впервые формулирует принципы, которые стали основой формализма, в работе «Основания геометрии».

Гильберт в «Основаниях геометрии» использует аксиоматический метод. В нем вводится некая система аксиом, ничего не говорящая о природе системы объектов, которую аксиомы описывают. Затем из этих аксиом получаются следствия, которые и образуют математическую теорию. Аксиомы определяют, к каким системам, описанным где-то вне данной теории, применимы ее выводы.

Традиционный аксиоматический метод Евклида предполагает, что объекты, о которых ведется речь, известны нам до заранее. При «аксиоматизации» они только описываются. В отличие от этого, в подходе Гильберта аксиомы вводятся формально, и ничего не говорится об объектах, к которым они будут применяться.

При использовании такого подхода возможны три разных случая. Первый - невыполнимость аксиоматики. Второй – аксиоматика выполнима, и существует с точностью до изоморфизма единственная система объектов, ей удовлетворяющая. В этом случае система аксиом называется категоричной. Третий - аксиоматика выполнима, и существует несколько систем объектов, ей удовлетворяющих, тогда она называется неполной.

По системе аксиом изначально непонятно, какой из этих трех случаев перд нами. Например, аксиоматика геометрии Евклида без пятого постулата, считалась категоричной на протяжении многих столетий, а после открытия Лобачевским неевклидовой геометрии, стала считаться неполной.

Позже Гильберт предлагает обширный план обоснования всей математики путём её полной формализации с последующим доказательством непротиворечивости формализованной математики. В двух томах "Оснований математики", написанных Гильбертом совместно с П. Бернайсом, эта концепция подробно развивается. Первоначальные надежды Гильберта в этой области не оправдались: проблема непротиворечивости оказалась труднее, чем он предполагал. Но вся дальнейшая работа над логическими основами математики в большой мере пользуется созданными им концепциями.

Чтобы подтвердить непротиворечивость некоторой системы аксиом, раньше пользовались таким методом. Заимствуется пример, удовлетворяющий системе аксиом, из другой теории. То есть строится такое подмножество ее объектов, которое удовлетворяет всем аксиомам проверяемой теории. Этот метод дает лишь относительное доказательство вида «если аксиоматика, из которой был заимствован пример, выполнима, то выполнима и рассматриваемая аксиоматика».

Пользоваться методом модели для абсолютного доказательства выполнимости невозможно.

Гильберт изобрел более мощный подход к доказательству непротиворечивости. Программа, предложенная Гильбертом, превращает саму математическую теорию в объект точного математического изучения. Результат работы любого математика – это некие предложения, теоремы в рамках соответствующей теории. Метаматематика, созданная Гильбертом, рассматривает само доказательство как математический объект. Идея доказательства непротиворечивости состоит в том, чтобы формально выразить, в чем состоит свойство «доказуемости» той или иной теоремы, а также, как по формальным правилам осуществить «обращение» теоремы, а затем доказать, что в данной теории не может быть доказуемой одновременно какая-то теорема и ее обращение. Для этого теория полностью избавляется от элементов, допускающих произвольную или неясную трактовку, то есть от всех следов присутствия естественного языка, и от обращений к эмпирическому опыту.

При этом происходит символизация теории: любое предложение (включая аксиомы) оказывается выражено символьной последовательностью, а правила логического вывода оказываются простыми операциями, выполняемыми над этими последовательностями. Любое доказательство теоремы при этом превращается в цепочку преобразований символьных последовательностей, начинающуюся с таких символьных последовательностей, которые соответствуют аксиомам. При этом становится можно доказать, что противоречие никогда не достигается. Эти символьные последовательности, в терминах Канта, и есть знаки in concreto.

Сам Гильберт пишет, что строгая формализация теории – это полный отказ от ее содержательного смысла, то есть, пользуясь терминологией Канта, от связи с эмпирическим знанием.

Метатеория, которая изучает такие «формализованные» теории, сама не является формальной. Фактически, метаматематика должна использовать в своих рассуждениях только априорные идеи (хотя о том, каковы они, до сих пор идут споры).

Хотя многие идеи, использованные Гильбертом в его попытках построения непротиворечивой математики, близки к идеям Канта (хотя и выражены на другом языке), нельзя считать его «духовным наследником» Канта. Сам Гильберт упрекал Канта в преувеличении роли априорных знаний и считал, что понятия времени и пространства не априорны.

Похожие:

Ответ на вопрос «Философия математики Канта и формализм Гильберта» Жирным шрифтом выделено то, без знания чего по этому вопросу 4 (а может, и 3) не поставят iconРешение которых не требует пояснения, правильный ответ выделен жирным шрифтом
Примечание: в задачах, решение которых не требует пояснения, правильный ответ выделен жирным шрифтом
Ответ на вопрос «Философия математики Канта и формализм Гильберта» Жирным шрифтом выделено то, без знания чего по этому вопросу 4 (а может, и 3) не поставят iconФорма анкеты для сайта jurassic. Ru и еще раз: Позиции, выделенные жирным шрифтом
И еще раз: Позиции, выделенные жирным шрифтом, обязательны к заполнению. Анкеты без них рассматриваться не будут
Ответ на вопрос «Философия математики Канта и формализм Гильберта» Жирным шрифтом выделено то, без знания чего по этому вопросу 4 (а может, и 3) не поставят iconЗадание второе: выскажите свое мнение по дискуссионными вопросами в конце текста
Задание первое: последовательно прокомментируйте места в двух статьях Канта, выделенные жирным шрифтом и пронумерованные римскими...
Ответ на вопрос «Философия математики Канта и формализм Гильберта» Жирным шрифтом выделено то, без знания чего по этому вопросу 4 (а может, и 3) не поставят iconУрок геометрии в 8 классе Учитель математики: Ивченко Анна Владимировна Юрга 2008 Геометрия 8 класс
За верный ответ на вопрос команда получает 2 бал­ла. Если на вопрос отвечают болельщики, команда получа­ет 1 балл. Если у команды...
Ответ на вопрос «Философия математики Канта и формализм Гильберта» Жирным шрифтом выделено то, без знания чего по этому вопросу 4 (а может, и 3) не поставят iconЧто же такое математика?
Канта, только небольшой вопрос, касающийся математики, и может частично (далеко не полностью) попытаюсь ответить, что же все-таки...
Ответ на вопрос «Философия математики Канта и формализм Гильберта» Жирным шрифтом выделено то, без знания чего по этому вопросу 4 (а может, и 3) не поставят iconТема: Критицизм Канта и философия математики
Что такое метафизика, в чем ее отличие от математики и естествознания? Догматизм, скептицизм и критицизм. Что означает выражение...
Ответ на вопрос «Философия математики Канта и формализм Гильберта» Жирным шрифтом выделено то, без знания чего по этому вопросу 4 (а может, и 3) не поставят iconРассказывает В. Латышев, «Более 350 лет математики всего мира безуспешно ищут ответ на вопрос: «Верна ли великая теорема Ферма?»
И, признав свое поражение, исчезает Однако спустя несколько минут появляется вновь и вместе с человеком начинает искать ответ на...
Ответ на вопрос «Философия математики Канта и формализм Гильберта» Жирным шрифтом выделено то, без знания чего по этому вопросу 4 (а может, и 3) не поставят iconОтвет к вопросу Ответ к вопрос 7 км

Ответ на вопрос «Философия математики Канта и формализм Гильберта» Жирным шрифтом выделено то, без знания чего по этому вопросу 4 (а может, и 3) не поставят iconРыжков Владимир Михайлович ехал без мигалки и зашёл на огонёк
Г. Б.: Я тоже в метро ездил, так что нечего кичиться своим демократизмом. Хотя может их туда и поставят
Ответ на вопрос «Философия математики Канта и формализм Гильберта» Жирным шрифтом выделено то, без знания чего по этому вопросу 4 (а может, и 3) не поставят iconФизические величины
...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org