Методические указания к выполнению контрольных работ по курсу «Высшая математика» Подлежит возврату в деканат заочного факультета



страница1/3
Дата24.11.2012
Размер0.5 Mb.
ТипМетодические указания
  1   2   3


Министерство образования и науки Российской Федерации

Московский государственный университет геодезии и картографии

(МИИГАиК)


Заочный факультет
Методические указания к выполнению контрольных работ

по курсу

«Высшая математика»

Подлежит возврату в деканат заочного факультета

Для студентов I курса всех специальностей
Москва 2008 г.


УДК 517.3

Составители: проф., к.т.н. Кувекина И.А., проф., к.т.н. Маркарян Е.Г.
Методические указания к выполнению контрольной работы № 3 по курсу «Высшая математика». – М.: Изд. МосГУГК, 2008, 44 с.
Методические указания написаны в соответствии с утвержденной программой курса «Высшая математика», рекомендованы кафедрой высшей математики и методической комиссией заочного факультета, утверждены к изданию редакционно-издательской комиссией геодезического факультета.
В методических указаниях рассмотрены следующие разделы курса высшей математики: неопределенный интеграл, определенный интеграл и собственный интеграл, а также набор решенных типовых задач и задачи для самостоятельного решения.


Рис. 9, библиогр. – 4 наз.
Рецензенты: доцент, к.т.н. Дорохов В.Н.

профессор, к.т.н. Лисеев И.А.

Московский государственный университет

геодезии и картографии, 2008 г.
Введение
Настоящие методические указания предназначены в помощь студентам-заочникам первого курса при выполнении контрольной работы № 3. Эта работа соответствует следующим разделам курса высшей математики: неопределенный интеграл и определенный интеграл.

В методических указаниях рассматриваются темы, каждая из которых содержит краткий перечень основных определений, теорем и теоретических вопросов раздела, набор решенных типовых задач, а также задачи для самостоятельного решения.

При изучении теоретического раздела каждой темы рекомендуется следующая литература:

  1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, Т.1. (Все издания, начиная с 1978 г.).

  2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука. (Все издания, начиная с 1980 г.).

  3. Письменный Д.Т.
    Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. Айрис пресс, Москва, 2005 г.

  4. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. 1 часть. (Все издания, начиная с 1974 г.).




  1. Неопределенный интеграл


Литература: [1], т. 1; [2]; [3]; [4].
I.I. Основные формулы интегрирования

Непосредственное интегрирование
Определение I. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке X, если для всех значений x из этого промежутка выполняется равенство

F'(x)=f(x)

Пример 1.1.1.. Функция F(x)=x4 является первообразной для функции f(x)=4x3 на всей числовой оси, т.к. при любом значении x выполняется (x4)'=4x3.

Пример 1.1.2. Функция F(x)=sin x является первообразной для функции f(x)=cosx на всей числовой оси, т.к. при любом значении x (sin x)'=cos x.

Если функция f(x) имеет первообразную F(x), то она имеет бесчисленное множество первообразных, причем все первообразные содержатся в выражении F(x)+C, где С – произвольная постоянная.

Определение II. Если функция F(x) – первообразная для функции f(x), то множество функций вида F(x)+C, где С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом



Таким образом, по определению . При этом функция f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, переменная x – переменной интегрирования, знак – знаком интеграла.

Неопределенные интегралы для функций, рассмотренных ранее в примерах, запишутся в виде:



Отыскание неопределенного интеграла от данной подынтегральной функции называется интегрированием этой функции. Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию.

Свойства неопределенного интеграла













Таблица основных интегралов
































Интегралы, содержащиеся в этой таблице, принято называть табличными.

Вычисление интегралов путем непосредственного использования табличных интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием.

Пример 1.1.3. Найти

Решение. Используя свойства 4 и 5 и, применяя формулы 7, 2, 10, 1, получим




Пример 1.1.4. Найти

Решение. Используя тригонометрическую формулу

, свойство 5 и применяя формулы 8, 1, получим



Пример 1.1.5. Найти

Решение. Произведя почленное деление и применяя свойства 4, 5 и формулы 11, 14, получим





Пример 1.1.6. Найти

Решение. Произведя почленное деление и применяя свойство 5 и формулу 4, получим



Замечание. При вычислении отдельных интегралов нет надобности писать после каждого слагаемого произвольную постоянную, так как сумма произвольных постоянных есть также произвольная постоянная.
Задачи для самостоятельного решения
Найти интегралы:

1.

2.

3.

4.

Ответы:

1.

2.

3.

4.
I.2. Интегрирование методом замены переменной
Во многих случаях удается введением новой переменной t вместо переменной интегрирования x свести данный интеграл к новому интегралу, который или содержится в таблице основных интегралов, или легко вычисляется другим способом. Такой метод называется методом замены переменной или методом подстановки.

Введем вместо х новую переменную t, связанную с х соотношением , где – непрерывная монотонная функция, имеющая непрерывную проиводную , тогда справедлива формула



Формула (1.2.1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле. При замене переменной весьма часто бывает выгоднее задавать не х как функцию t, а наоборот, задавать t как функцию х в виде .

Пример 1.2.1. Найти интеграл

Решение. Полагая =t, имеем

Тогда по формуле (1.2.1)

.

Возвращаясь к переменной х, окончательно получим

.

Пример 1.2.2. Найти интеграл

Решение. Полагая и дифференцируя обе части равенства, получим . Отсюда и



Пример 1.2.3. Найти интеграл

Решение. Полагая и дифференцируя обе части равенства, получим . Тогда .

Следовательно,

.

Пример 1.2.4. Найти интеграл

Решение. Полагая и дифференцируя обе части равенства, получим .

Следовательно,

Пример 1.2.5. Найти интеграл .

Решение. Полагая и дифференцируя обе части равенства, получим . Тогда .

Следовательно, .

Пример 1.2.6. Найти интеграл .

Решение. Замечая, что , введем замену: . Дифференцируя последнее равенство, найдем, что .

Следовательно,

.

С помощью метода замены переменной можно показать, что если F(x) – первообразная для функции f(x), то



Эти правила часто применяются для нахождения неопределенных интегралов.

Например,

.

Задачи для самостоятельного решения

Найти интегралы:



Ответы:


I.3. Интегрирование по частям
Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле



где U=U(x), V=V(x) – дифференцируемые функции.

Применение способа интегрирования по частям целесообразно в том случае, когда интеграл в правой части формулы (1.3.1) окажется более простым для вычисления, чем исходный интеграл. Для применения формулы интегрирования по частям подынтегральное выражение следует разбить на два сомножителя. Один из них обозначается через U, а остальная часть относится ко второму сомножителю и обозначается через dV. При нахождении интегрированием функции V для нее получается бесконечное множество первообразных. Чтобы применить формулу (1.3.1), можно взять любую из них, в частности ту, которая соответствует произвольной постоянной, равной 0.

Пример 1.3.1. Найти интеграл

Решение. Подынтегральное выражение разбиваем на два сомножителя следующим образом:



Тогда .

Подставляя найденные выражения в формулу (1.3.1), получим



Пример 1.3.2. Найти интеграл

Решение. Полагая найдем .

По формуле (1.3.1) имеем







Пример 1.3.3. Найти интеграл

Решение. Полагая , найдем

.

По формуле (1.3.1) имеем



Пример 1.3.4. Найти интеграл

Решение. Полагая , найдем .

Следовательно,



Найдем

Для этого сделаем замену . Тогда , т.е. . Следовательно,

и



В некоторых случаях метод интегрирования по частям приходится применять несколько раз.

Пример 1.3.5. Найти интеграл

Решение. Полагая , найдем

Следовательно,



К последнему интегралу еще раз применим формулу интегрирования по частям.

Полагая , найдем .

Следовательно,



Подставляя полученное выражение в соотношение (1.3.2), приходим к уравнению с неизвестным интегралом



Перенося искомый интеграл в левую часть, получим



и



К числу интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям, относятся интегралы следующих видов:



Здесь P(x) – многочлен относительно х (в частности, степенная функция xn)

Интегралы вида и также находятся интегрированием по частям.
Задачи для самостоятельного решения
Найти интегралы:



Ответы:


1.4. Интегрирование рациональных дробей
Рациональной дробью называется дробь вида , где P(x) и Q(x) – многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, и неправильной, если степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе.

Например, дроби – неправильные, а дроби – правильные.

Если рациональная дробь является неправильной, то, разделив по правилу деления многочленов многочлен P(x) на многочлен Q(x), можно всегда выделить целую часть (т.е. многочлен) и представить такую дробь в виде:

где - многочлен и – правильная рациональная дробь.

Например,

Таким образом, интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию правильных рациональных дробей.

Всякая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей следующих четырех типов:

(k>1– натуральное число)

где дискриминант квадратного трехчлена , т.е. не имеет действительных корней.

(k>1 – натуральное число, , где A, B, a, p, q – действительные числа

Таким образом, для интегрирования правильных рациональных дробей достаточно уметь:

    1. интегрировать простейшие дроби;

    2. разлагать правильные рациональные дроби на простейшие.

Рассмотрим интегралы от простейших дробей первых трех типов.



В знаменателе подынтегральной функции выделим полный квадрат:



Введем обозначение и применим замену переменной, полагая . Отсюда

Следовательно,

Заменяя t и a их выражениями, получим



Пример 1.4.1. Найти

Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат



Сделаем подстановку Тогда



Теперь выясним, каким образом любая правильная дробь может быть разложена на простейшие дроби. В этом разложении существенное значение имеет разложение знаменателя дроби Q(x) на произведение линейных и квадратичных множителей с отрицательным дискриминантом. Рассмотрим некоторые случаи.

  1. Знаменатель разлагается на неповторяющиеся множители первой степени . В этом случае дробь разлагается на сумму простейших дробей I типа.

где A, B, …, M – неопределенные (неизвестные) коэффициенты. Например,



  1. Знаменатель разлагается на множители первой степени, среди которых есть повторяющиеся.

Например,

В этом случае дробь разлагается на сумму простейших дробей I и II типов.

где A, B1, B2, …, Bn, C – неопределенные (неизвестные) коэффициенты. Например,

  1. Знаменатель разлагается на неповторяющиеся множители второй степени с отрицательным дискриминантом, возможно, множители первой степени.

Например,

В этом случае дробь разлагается на сумму простейших дробей 1, 2, 3 типов.

, где A, B, C, D, E – неопределенные коэффициенты.

Для нахождения неопределенных коэффициентов необходимо все простейшие дроби привести к общему знаменателю и числитель дроби (полученный от сложения простейших дробей) приравнять к числителю . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях полученного тождества, получим систему линейных уравнений для определения коэффициентов.

Пример 1.4.2. Найти интеграл

Решение. Подынтегральная функция – правильная рациональная дробь. Разложим знаменатель на множители: В этом случае подынтегральная дробь раскладывается на простейшие следующим образом:



Приводя правую часть к общему знаменателю и приравнивая числители, получим:



или

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях равенства, получим следующую систему уравнений:



Решая ее, найдем

Следовательно, разложение рациональной дроби на простейшие имеет вид:



Окончательно имеем



Пример 1.4.3. Найти интеграл

Решение. Подынтегральная функция – неправильная рациональная дробь, поэтому выделим целую часть делением числителя на знаменатель. В результате имеем:



Полученную справа правильную дробь разложим на простейшие дроби:



Приводя правую часть равенства к общему знаменателю и приравнивая числители, получим



Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях равенства, получим следующую систему уравнений:



Решая эту систему, находим

Следовательно,



Имеем



Пример 1.4.4. Найти интеграл

Решение. Подынтегральная функция – правильная рациональная дробь, знаменатель которой разложен на множители.

Представим дробь в виде суммы простейших дробей.



Приводя правую часть полученного равенства к общему знаменателю и приравнивая числители, получим

или



Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях равенства, получим следующую систему уравнений:


Решая эту систему, находим

Следовательно,



Таким образом,



Задачи для самостоятельного решения
Найти интегралы:


Ответы




    1. 1.5 Интегрирование некоторых иррациональных функций




      1. Интегралы вида

Такие интегралы в результате выделения полного квадрата из квадратного трехчлена и линейной подстановки приводятся к табличным интегралам 13 или 14.
Пример 1.5.1. Найти интеграл

Решение. Выделяя полный квадрат, получим



С помощью замены переменной и данный интеграл приводится к табличному



Пример 1.5.2. Найти интеграл

Решение. Имеем



Сделаем замену переменной



Тогда




      1. Интегралы вида

Такие интегралы в результате выделения полного квадрата из квадратного трехчлена и дальнейшей линейной подстановки приводятся к интегралам вида



Интеграл можно представить в виде суммы двух табличных интегралов.

Пример 1.5.3. Найти интеграл

Решение. Выделяя полный квадрат в подкоренном выражении, получим

Сделаем замену переменной

Тогда



Рассмотрим

Сделаем замену , тогда

Следовательно,



Окончательно получим


Интегралы вида

Интегралы данного вида с помощью подстановки приводятся к интегралам, рассмотренным выше.

Пример 1.5.4. Найти интеграл

Решение. Полагаем , тогда. Следовательно,




          1. Интегралы вида , где R – рациональная функция своих аргументов; m, n, …, r, s – целые числа.

С помощью подстановки , где k – наименьшее общее кратное чисел n, …, s, указанный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции аргумента t.

Пример 1.5.5. Найти интеграл

Решение. В данном примере x входит в подынтегральную функцию с дробными показателями и . Поэтому сделаем подстановку , откуда .

Следовательно,

Так как подынтегральная функция – неправильная рациональная дробь, поэтому выделим ее целую часть делением числителя на знаменатель.


Следовательно,



Возвращаясь к переменной x, имеем .

Поэтому


Интегралы вида , где R – рациональная функция; m, n, …, r, s – целые числа.

С помощью подстановки , где k – наименьшее общее кратное чисел n, …, s, данный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции аргумента t.

Пример 1.5.6. Найти интеграл

Решение. Сделаем замену . Тогда и .

Следовательно,
Задачи для самостоятельного решения
Найти интегралы:


Ответы






    1. 1.6. Интегрирование тригонометрических функций

      1. Интегралы вида , где R – рациональная функция своих аргументов .

Интегралы указанного вида приводятся к интегралам от рациональных алгебраических функций с помощью подстановки называемой универсальной тригонометрической подстановкой.

Действительно, так как



то

Пример 1.6.1. Найти интеграл

Решение. Применяя универсальную подстановку получим
Пример 1.6.2. Найти интеграл

Решение. Полагая , получим




Универсальная подстановка на практике часто приводит к сложным и трудоемким выкладкам. Поэтому наряду с универсальной подстановкой полезно знать и другие подстановки.

Рассмотрим следующие случаи:

  • если функция нечетная относительно синуса, т.е. , то применима подстановка ;

  • если функция нечетная относительно косинуса, т.е. , то применима подстановка ;

  • если функция четная относительно синуса и косинуса, т.е. , то применима подстановка .


Пример 1.6.3. Найти интеграл

Решение. Подынтегральная функция нечетная относительно косинуса. Поэтому, представляя в виде и делая замену , получим




Пример 1.6.4. Найти интеграл

Решение. Подынтегральная функция нечетная относительно синуса, поэтому применим подстановку . Тогда

Следовательно,



Пример 1.6.5. Найти интеграл

Решение. Подынтегральная функция четная относительно синуса и косинуса, поэтому применим подстановку . Тогда


Следовательно,


Интегралы вида

Для нахождения интегралов указанного вида применяются тригонометрические формулы:



Пример 1.6.6. Найти интеграл .

Решение. Преобразуя произведение двух сомножителей по приведенным формулам, получим



Следовательно,

.
Интегралы вида , где m, n – целые неотрицательные числа
Для нахождения интегралов указанного вида необходимо преобразовать подынтегральную функцию с помощью тригонометрических формул:


Пример 1.6.7. Найти интеграл

Решение. Применяя формулу

, получим

.
Пример 1.6.8. Найти интеграл

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию:





Так как , то окончательно получим


Задачи для самостоятельного решения
Найти интегралы:


Ответы


3. - sin 4 + sin 8 +C
4. sin + sin +C
5. tg – 2ctg - ctg + C
6. - sin 4 + C
  1   2   3

Похожие:

Методические указания к выполнению контрольных работ по курсу «Высшая математика» Подлежит возврату в деканат заочного факультета iconМетодические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)»
Методические указания содержат варианты контрольных работ по курсу «Высшая математика (спецглавы)», для студентов факультета визо,...
Методические указания к выполнению контрольных работ по курсу «Высшая математика» Подлежит возврату в деканат заочного факультета iconМетодические указания к выполнению контрольной работы по курсу Криминалистика
Методические указания к выполнению контрольных работ по курсу «Криминалистика». – М.: Импэ им. А. С. Грибоедова, 2005. – 8 с
Методические указания к выполнению контрольных работ по курсу «Высшая математика» Подлежит возврату в деканат заочного факультета iconРуководство к выполнению контрольных работ по дисциплине «Старославянский язык» для студентов заочного обучения гр. З-3260
Методические указания к выполнению контрольных работ по дисциплине «Старославянский язык»
Методические указания к выполнению контрольных работ по курсу «Высшая математика» Подлежит возврату в деканат заочного факультета iconМетодические указания для самостоятельной работы в межсессионный период и подготовки к сдаче контрольных работ для студентов 1 курса заочного отделения по специальности 1-74 02 01 «агрономия»
Методические указания предназначены для студентов агрономического факультета заочного отделения. В них содержаться рекомендации по...
Методические указания к выполнению контрольных работ по курсу «Высшая математика» Подлежит возврату в деканат заочного факультета iconМетодические указания по выполнению контрольных работ, темы возможных контрольных работ, контрольные задания для студентов при изучении курса, вопросы для зачета (экзамена)
Культура и этика управления материалы: программу, планы практических занятий, методические указания по выполнению контрольных работ,...
Методические указания к выполнению контрольных работ по курсу «Высшая математика» Подлежит возврату в деканат заочного факультета iconМетодические указания по выполнению контрольных работ для студентов заочного отделения специальности
Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования
Методические указания к выполнению контрольных работ по курсу «Высшая математика» Подлежит возврату в деканат заочного факультета iconМетодические рекомендации к выполнению контрольных работ для студентов 2 курса вечерне-заочного факультета по дисциплине «Математика»
Дифференциальное и интегральное исчисления функций нескольких переменных. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. Функции...
Методические указания к выполнению контрольных работ по курсу «Высшая математика» Подлежит возврату в деканат заочного факультета iconМетодические указания по выполнению контрольных работ для студентов 2 курса заочного обучения по направлению 030900. 62 «Юриспруденция» по дисциплине Конституционное право зарубежных стран

Методические указания к выполнению контрольных работ по курсу «Высшая математика» Подлежит возврату в деканат заочного факультета iconМетодические указания по выполнению контрольных работ Задачи, включенные в контрольную работу, взяты из сборника задач, подготовленного коллективом преподавателей кафедры «Высшая и прикладная математика» роат мгупс
Составители: Блистанова Л. Д., д ф м н., проф., Голечков Ю. И., д ф м н., доц., Захарова М. В., к ф м н., доц., Сперанский Д. В.,...
Методические указания к выполнению контрольных работ по курсу «Высшая математика» Подлежит возврату в деканат заочного факультета iconМетодические указания по выполнению контрольных работ по курсу «Электродинамика сплошных сред»
«Электродинамика сплошных сред» для студентов вечернего отделения физического факультета
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org