Ii векторная алгебра



Скачать 257.96 Kb.
страница1/5
Дата24.11.2012
Размер257.96 Kb.
ТипДокументы
  1   2   3   4   5

ГЛАВА II. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА



Векторная алгебра имеет широкое применение в различных разделах физики, математики, механики и т.п.. В курсе средней школы вектор определяется как некоторое преобразование пространства. Однако для прикладных целей удобнее использовать другое, традиционное определение вектора и действий над векторами, на которых мы и остановимся дальше. Это не означает, однако, что сведения, полученные в средней школе, не верны. Просто мы будем изучать векторную алгебру, исходя из несколько иных, более удобных для практических целей позиций.

§ 1. Векторы и основные линейные операции над ними

1. Векторные величины

В отличие от скалярной величины, которую можно задать одним числом и отложить на некоторой шкале (отсюда и название – «скалярная») – площадь, объём, температура - векторную величину, или просто вектор, можно задать с помощью числа и некоторого направления (скорость, сила).

Итак, мы можем сказать, что вектор - это величина, которая характеризуется числом, совпадающим с длиной отрезка , и направлением, совпадающим с направлением луча ( рис. 2.1.1).

При этом длину вектора обозначают , или ещё . Длину вектора также называют модулем этого вектора. Векторы и называют равными, если совпадают их длины и направления.

Векторы и называют противоположными, если их длины равны, а направления противоположны. Заметим, что при этом начало вектора можно поместить в любой точке пространстве. Такие векторы называют свободными.

Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым (). Направление нулевого вектора не определено.



2. Умножение вектора на скаляр

Определение 1. Произведением вектора на число gif" name="object13" align=absmiddle width=16 height=20> называется такой вектор , что , а направление его совпадает с направлением вектора , если >0, и ему противоположно, если <0; если или , то .

Ясно, что векторы и (если ) можно поместить на одной прямой (рис. 2.1.2). Вектор , очевидно, является противоположным вектору .
Определение 2. Два ненулевых вектора и , лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

3. Единичный вектор

Определение 3. Вектор , длина которого равна единице, называется единичным вектором, или ортом. Если задан некоторый вектор (), то всегда можно подобрать множитель , такой, чтобы после умножения на него длина вектора была бы равна единице. Очевидно, что в качестве такого числа нужно взять . Тогда , и при этом называется единичным вектором, соответствующим вектору , или ортом вектора . Очевидно, что направление единичного вектора всегда совпадает с направлением вектора . Ясно также, что .

Точно так же единичный вектор , направление которого совпадает с направлением оси , называется ортом оси , или её единичным вектором.

4. Сложение векторов

Определение 4. Суммой векторов и , расположенных так, что начало вектора совпадает с концом вектора , называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора . (правило треугольника – рис. 2.1.3, а).


Рис. 4

б)
При этом пишут: . Аналогично определяется сумма n векторов
.
А именно: суммой называют вектор , проведённый из начала первого в конец последнего вектора, при условии, что начало вектора совпадает

с концом вектора , начало вектора совпадает с концом вектора и т.д. (правило многоугольника – рис. 2.1.3, б).


Замечание. Если на векторах и построить параллелограмм, поместив их начало в общую точку, то сумма будет лежать на диагонали параллелограмма, выходящего из общего начала векторов и (правило параллелограмма – рис. 2.1.3, в).

1) - поглощение нулевого вектора

2) - перестановочное, или коммутативное

3) - сочетательное, или ассоциативное.

Для всякого ненулевого вектора существует противоположный вектор -, такой, что .

5. Вычитание векторов


Рис. 3
Определение 5. Вектор называется разностью векторов и , т.е. , если . Отсюда следует, что т.е. вычитание векторов сведено к сложению (рис. 2.1.4). Нетрудно заметить, что разность век-

торов лежит на второй диагонали параллелограмма, построенного на векторах и , проведённой из конца вектора - в конец вектора .


§2. Линейная зависимость и независимость векторов. Базисы на плоскости и в пространстве. Прямоугольная декартова система координат

1. Линейная зависимость и независимость векторов

Пусть имеется n векторов , , …, и постоянных коэффициентов , ,…,. Выражение называется линейной комбинацией векторов , , …, .
Определение 1. Векторы , , …, называются линейно зависимыми, если существуют числа , ,…,, из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что линейная комбинация равна нулю:



Определение 1*. Векторы , , …, называются линейно зависимыми, если хотя бы один вектор из этой системы можно выразить в виде линейной комбинации остальных.

Можно доказать, что определения 1 и 1* эквивалентны, т.е. из 1 следует 1* и наоборот.

Определение 2. Векторы , , …, называются линейно независимыми, если линейная комбинация лишь при условии .

Определение 2*. Векторы , , …, называются линейно независимыми, если ни один из этих векторов нельзя представить в виде линейной комбинации остальных.

Можно доказать, что определения 2 и 2* эквивалентны.

Пример 1. Доказать, что коллинеарные векторы линейно зависимы. Действительно, поместим векторы и на одной прямой (рис. 2.2.1), тогда можно найти такое , при котором => , а это и означает, что и bлинейно зависимы.

Пример 2. Доказать, что любые три вектора a, b и c, лежащие в плоскости, линейно зависимы.

Действительно, поместим начало всех трёх векторов в общую точку (рис.2.2.2). Очевидно, тогда можно подобрать единственную пару чисел и , так что будет , а что и означает, что векторы , и линейно зависимы.




Определение 3. Три ненулевых вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Итак, мы показали, что компланарные векторы линейно зависимы.

Пример 3. Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

Действительно, можно подобрать, причём единственным образом, такие числа , , , что будет (рис. 2.2.3).


2. Базисы на плоскости и в пространстве

Определение 1. Совокупность любых двух линейно независимых векторов, принадлежащих данной плоскости, называется базисом на этой плоскости. Если , - базис на плоскости, то для любого вектора , лежащего в этой плоскости, можно найти единственным образом такие числа и , что будет . Числа и называются координатами вектора в данном базисе.
Определение 2. Совокупность любых трёх линейно независимых векторов , , в пространстве называется базисом в пространстве. Если - произвольный вектор, то всегда можно найти единственным образом числа ,, такие, что будет иметь место представление: . Коэффициенты ,, в разложении данного вектора по базису называются координатами вектора в базисе , , .

3. Прямоугольная декартова система координат

Из всех возможных базисов (, , ) в пространстве выберем такой, чтобы все векторы, входящие в этот базис, были попарно ортогональны (т.е. , (, далее разделим каждый вектор базиса на его длину. Получим базис , , Такой базис называется ортонормированным.

Определение. Тройка векторов , , называется правой, если при наблюдении с конца вектора кротчайший поворот от вектора к вектору происходит против движения часовой стрелки.

Ограничимся выбором правой тройки базисных векторов , , . Поместим далее начало векторов, входящих в выбранной базис, в общую точку 0 и из этой точки проведём оси Ox, Oy, Oz, направления которых совпадают с направлениями векторов , , .

Получим так называемую пространственную прямоугольную правую декартову систему координат Oxyz. Причём принято орты обозначать так: , , (рис. 2.2.4). Ось Ox называется осью абсцисс, ось Oyосью ординат, ось Ozосью аппликат.

Если , получим прямоугольную правую систему декартовых координат на плоскости – систему Oxy.




















Рис. 2.2.4

  1   2   3   4   5

Похожие:

Ii векторная алгебра icon4. Векторная алгебра
В математике рассматриваются только свободные векторы. Они имеют 2-е характеристики: длину и направление
Ii векторная алгебра iconВекторная алгебра
Предлагаемая работа предназначена помочь студентам, изучающим векторную алгебру, получить навыки решения стандартных задач
Ii векторная алгебра iconКонтрольная работа №1. Раздел «Векторная алгебра»
Тематика и примеры контрольных заданий и вопросов (контрольные работы, тестирование, индивидуальные типовые расчеты, коллоквиум)
Ii векторная алгебра iconПрограмма государственного экзамена для специальности 010200 «Прикладная математика и информатика» Липецк 2005
Векторная алгебра. Аффинные координаты. Формулы преобразования координат. Прямые и плоскости
Ii векторная алгебра iconПрограмма по аналитической геометрии и топологии. Раздел I: Векторная алгебра
...
Ii векторная алгебра iconЛекция №1 (06. 09. 11) Глава Векторная алгебра § Векторы на плоскости и в пространстве
Определение Направленным отрезком называется упорядоченная пара точек (на плоскости или в трёхмерном пространстве)
Ii векторная алгебра iconВекторная графика. Coreldraw
Графика бывает двух видов векторная и растровая. Основное отличие в принципе хранения изображения
Ii векторная алгебра icon«Векторная алгебра» иметодические рекомендации к ней для студентов очной формы обучения для инженерных направлений
Задание По координатам точек и для указанных векторов найти: 1; 2; 3; 4 координаты т., делящей отрезок в отношении
Ii векторная алгебра iconВопросы к экзамену по дифференциальной геометрии 4 семестр 2010 г. Векторная функция скалярного аргумента. Круговые векторные функции
Векторная функция двух скалярных аргументов. Понятие поверхности. Параметризация. Примеры
Ii векторная алгебра iconПрограмма по аналитической геометрии и топологии. Раздел I: Векторная алгебра
Смешанное произведение векторов, свойства, выражение в координатах. Геометрический смысл скалярного, векторного и смешанного произведений,...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org