Простейшие задачи векторной алгебры



Скачать 57.09 Kb.
Дата24.11.2012
Размер57.09 Kb.
ТипЗадача

§8. Простейшие задачи векторной алгебры


Пусть на плоскости (в пространстве) задана декартова прямоугольная система координат. Выберем в пространстве () декартов прямоугольный базис ,, (,). Рассмотрим следующие задачи.

ЗАДАЧА 1. Найти координаты вектора , если известны декартовы координаты начала и конца вектора.

Пусть точки и лежат в плоскости и имеют координаты , . Рассмотрим векторы , и . Имеем:

.

Но ,

.

Следовательно, .

Аналогично получаем, что если gif" name="object29" align=absmiddle width=44 height=21> и , , то

.
ЗАДАЧА 2. Найти длину вектора, если известны его координаты в декартовом прямоугольном базисе.

Пусть и . Имеем:

, .

Рассмотрим треугольник . Имеем:

, , .

Следовательно, по теореме Пифагора,

,

.

Аналогично получаем, что если и

,

то .
ЗАДАЧА 3. Известны координаты вектора. Найти координаты его орта.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ортом вектора называется вектор , сонаправленный с вектором и имеющий единичную длину.

Пусть . Так как векторы и сонаправленны, то существует такое, что . Следовательно

.

Найдем . Имеем:

,

.

Таким образом, получаем:

.
Координаты орта вектора имеют очень простой геометрический смысл. Обозначим через , и углы, которые вектор образует с координатными осями , и соответственно. , , называются направляющими косинусами вектора . Выразим направляющие косинусы вектора через его координаты. Имеем:



А
налогично находим:

, .

Следовательно,

, , .

Таким образом, получили, что координаты орта вектора являются его направляющими косинусами.

Замечание. Так как и , то

.

Это равенство называют основным тождеством для направляющих косинусов вектора.

ЗАДАЧА 4. Известны координаты концов отрезка. Найти координаты точки, которая делит отрезок в заданном отношении.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что точка делит отрезок в отношении если .

Если , то точка лежит между точками и . В этом случае говорят, что точка делит отрезок во внутреннем отношении.

Если , то точка лежит на продолжении отрезка и говорят, что точка делит отрезок во внешнем отношении.

Пусть , и . Обозначим через , , – радиус-векторы точек , и соответственно. Тогда

, .

Так как , то

,

,

,

(1)

или в координатной форме:

, , . (2)

В частности, если – середина отрезка , то

,

т.е. и формулы (1) и (2) примут вид:



и , , .

Замечание. Если точка лежит между точками и , то обычно говорят, что делит отрезок в отношении . В этом случае , а формулы (1) и (2) можно переписать в виде:



и , , .

§9. нелинейные операции на множестве
векторов

1. Скалярное произведение векторов



ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними, т.е. число

.

Если или , то скалярное произведение векторов и полагают равным нулю.

Скалярное произведение векторов и обозначают или .
СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ

1) Скалярное произведение векторов коммутативно, т.е.

.

Это свойство очевидно из определения.

2) Скалярное произведение ненулевых векторов и равно произведению длины вектора на проекцию вектора на вектор (длины вектора на проекцию на ).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Проекцией вектора на вектор называется проекция вектора на ось, определяемую вектором .

Имеем: .

Но , .

Следовательно, ,

и .

3) Числовой множитель любого из двух векторов можно вынести за знак скалярного произведения. Т.е.

.

Действительно, пусть . Тогда

,



.

Пусть . Тогда

, ,





.

4) Если один из векторов записан в виде суммы, то их скалярное произведение тоже можно записать в виде суммы. А именно:

,

.

Действительно,







.
5) Скалярное произведение вектора на себя (скалярный квадрат вектора) равно квадрату его длины. Т.е.

.

Это свойство очевидно из определения.
6) Ненулевые векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю (критерий перпендикулярности векторов).

Действительно, пусть векторы и перпендикулярны. Тогда

и .

Обратно, пусть и , . Тогда

и , ,

и .

7) Если в декартовом прямоугольном базисе векторы и имеют координаты: , ,

то . (1)

Формулу (1) называют выражением скалярного произведения через декартовы координаты векторов. Она легко выводится из свойств 4, 5, и 6.
8) Если под действием постоянной силы точка перемещается по прямой из точки в , то работа силы будет равна



(физический смысл скалярного произведения).





Похожие:

Простейшие задачи векторной алгебры iconФормализация и интерпретация в решении аффинных задач с использованием метода математического моделирования
«родного» языка задачи на язык математический.[2] Перевод задачи с языка геометрических образов на язык векторной алгебры существенно...
Простейшие задачи векторной алгебры iconЭлементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Элементы векторной алгебры
Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой а и конечной точкой В
Простейшие задачи векторной алгебры iconРабочая учебная программа по дисциплине математика Специальность /направленuе: 190401. 65 Электроснабжение железных дорог код, наименование специальности /направления
Ознакомиться с основами линейной алгебры, высшей алгебры, векторной алгебры, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии...
Простейшие задачи векторной алгебры iconРабочая учебная программа по дисциплине математика Специальность /направленuе: 230201. 65 Информационные системы и технологии код, наименование специальности /направления
Ознакомиться с основами линейной алгебры, высшей алгебры, векторной алгебры, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии...
Простейшие задачи векторной алгебры iconУрок алгебры в 9-м классе по теме «Решение комбинаторных задач»
Цель: способствовать осознанию и осмыслению новой учебной информации о науке комбинаторика, формирование умения решать простейшие...
Простейшие задачи векторной алгебры iconТема 1-2 курс
Предлагается разобраться в определении алгебры Хопфа и рассмотреть простейшие примеры: универсальная обертывающая алгебра простой...
Простейшие задачи векторной алгебры iconВведение. Элементы векторной алгебры
Все физические величины делятся с математической точки зрения на скалярные и векторные
Простейшие задачи векторной алгебры icon«Элементы векторной алгебры»
Опр. Вектором наз направленный отрезок, т е отрезок прямой, характеризующийся длиной и направлением
Простейшие задачи векторной алгебры iconМетодические указания к практическии занятиям по дисциплине физика часть Тула 2010
Как известно из векторной алгебры, любой вектор можно описать с помощью его проекций в виде
Простейшие задачи векторной алгебры iconПримерный вариант контрольной работы №1 по разделам «Матрицы и определители» и «Системы линейных уравнений»
«Элементы векторной алгебры», «Элементы аналитической геометрии», «Линейные отображения»
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org