Лекция №2 Основы векторной алгебры и аналитической геометрии на плоскости



Скачать 163.27 Kb.
страница1/3
Дата24.11.2012
Размер163.27 Kb.
ТипЛекция
  1   2   3


Лекция № 2

Основы векторной алгебры и

аналитической геометрии на плоскости

Часть 1. Основы векторной алгебры

§1. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению модулей векторов на косинус угла между ними .

Обозначается скалярное произведение также или .

Свойства скалярного произведения:

  1. Так как, в силу свойств проекции вектора, , то или ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. Скалярное произведение вектора на себя
    называется скалярным квадратом ;

6) Теорема 1. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны
.
Пример 1.1. Для двух векторов и дано , ,

Найти , ,

Решение. По определению скалярного произведения векторов имеем

gif" name="object23" align=absmiddle width=248 height=43>,

.

Используя свойства скалярного произведения, получим



Выражение скалярного произведения в координатах

Даны векторы, заданные в координатах , . Используя свойства 5, 6 скалярного произведения, составим таблицу (табл.1) значений скалярного произведения единичных векторов .

Таблица 1











1

0

0



0

1

0



0

0

1

Отсюда имеем,



Итак, получена формула, выражающая скалярное произведение векторов в координатах

. (1)

Пример 1.2 Дано: .

Найти: 1) ;

2) двумя способами.

Решение. 1) Используя формулу (1) получим

.

2) первый способ: раскроем скобки, пользуясь свойствами скалярного произведения,

.

Так как , то получим

3) второй способ: найдем координаты сомножителей



Тогда

.

Геометрические и физические приложения скалярного произведения

1. Модуль вектора . В силу свойства 5 скалярного произведения

.

2. Угол между векторами и . Из определения скалярного произведения

получим формулу , (2)
которая в координатах имеет вид



3. Условие перпендикулярности векторов и .
Из свойства 6 скалярного произведения получим условие перпендикулярности векторов

.

4. Расстояние между точками и .
Так как и , то

.

Физическая задача. Под действием постоянной силы материальная точка перемещается прямолинейно из в (рис.1). Из физики известно, что работу совершают только составляющая силы , направленная по линии перемещения.



Работа равна произведению длины составляющей на длину перемещения

.

Пример 1.3. Даны вершины треугольника . Найти угол при вершине А.

Решение. Составим два вектора и с общим началом-точкой А. Получим

,

.

Найдем косинус угла А, как косинус угла между векторами и



Следовательно,



Пример 1.4. Найти работу силы , затраченную на прямолинейное перемещение материальной точки из в .

Решение. Найдем координаты вектора

.

Найдем работу А, как скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения , получим

(Дж).

§2. Векторное произведение векторов

Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости (рис.2).

Тройка некомпланарных векторов , приведенных к общему началу, называется правой, если из конца вектора видно, что кратчайший поворот от вектора к вектору происходит против часовой стрелки (рис.3). Если кратчайший поворот от вектора к вектору виден из конца вектора по часовой стрелке, то тройка называется левой (рис.4).







Примеры правых троек ;
примеры левых троек .

Векторным произведением векторов и называется вектор (рис.5), удовлетворяющий трем условиям:

1) ;

2) ,

3) - правая тройка.



Обозначение векторного произведения: или .

Примеры: .

Свойства векторного произведения:

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. , так как ;

  5. Теорема 2. Векторное произведение двух ненулевых векторов равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны

.

Пример 2.1. Найти , ,

если

Решение. В силу определения векторного произведения имеем



Пользуясь свойствами векторного произведения, получим



Так как то а значит



Выражение векторного произведения в координатах

Даны векторы, заданные в координатах , .

Используя свойство 4 и определение векторного произведения, составим таблицу (табл.2) значений векторного произведения единичных векторов .

Таблица 2











0









0









0

Отсюда имеем

Учитывая, что в скобках стоят определители второго порядка, векторное произведение можно записать в виде



или (3)

или .

Пример 2.2. Дано:

Найти , , .

Решение. Пользуясь формулой (3), получим



тогда .

Найдем координаты сомножителей





Используя формулу (3), получим



Геометрические и физические приложения векторного произведения



1. Площадь треугольника .

Известна формула для площади треугольника по двум сторонам треугольника и углу между ними (рис.6)
.

Так как то .

Итак . (4)



2. Площадь параллелограмма (рис.7).

.

3. Нахождение вектора, перпендикулярного двум данным векторам.
Даны векторы . Найти такой вектор , чтобы В силу определения векторного произведения в качестве вектора можно взять вектор
.

4. Угол между векторами
Из формулы получаем



Момент силы относительно точки .
Если сила приложена к точке (рис.8), то моментом силы относительно точки называется векторное



произведение радиус - вектора точки на вектор силы :

или .

Связь линейной и угловой скоростей.
Если материальная точка вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью (рис.9), то линейная скорость равна векторному произведению угловой скорости на радиус - вектор точки

или .




Пример 2.3. Найти площадь треугольника АВС, если известны его вершины

Решение. Воспользуемся формулой площади треугольника через координаты векторов



Для этого найдем координаты векторов

и их векторное произведение

.

Так как



то площадь треугольника равна

(кв.ед).

Пример 2.4. Найти вектор перпендикулярный плоскости, в которой лежат три точки

Решение. Если вектор перпендикулярен плоскости, то он перпендикулярен любым прямым, лежащим на плоскости, в частности, векторам и . Это значит, что в качестве вектора можно взять векторное произведение . Таким образом,

то =.

  1   2   3

Похожие:

Лекция №2 Основы векторной алгебры и аналитической геометрии на плоскости iconРабочая учебная программа по дисциплине математика Специальность /направленuе: 230201. 65 Информационные системы и технологии код, наименование специальности /направления
Ознакомиться с основами линейной алгебры, высшей алгебры, векторной алгебры, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии...
Лекция №2 Основы векторной алгебры и аналитической геометрии на плоскости iconРабочая учебная программа по дисциплине математика Специальность /направленuе: 190401. 65 Электроснабжение железных дорог код, наименование специальности /направления
Ознакомиться с основами линейной алгебры, высшей алгебры, векторной алгебры, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии...
Лекция №2 Основы векторной алгебры и аналитической геометрии на плоскости iconЭлементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Элементы векторной алгебры
Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой а и конечной точкой В
Лекция №2 Основы векторной алгебры и аналитической геометрии на плоскости icon2. Основы аналитической геометрии 1Основные понятия аналитической геометрии. Уравнения окружности и сферы
Аналитическая геометрия – это геометрия, изучаемая средствами алгебры с использованием систем координат. В аналитической геометрии...
Лекция №2 Основы векторной алгебры и аналитической геометрии на плоскости iconКурс лекций по геометрии Часть I автор-составитель
...
Лекция №2 Основы векторной алгебры и аналитической геометрии на плоскости iconПримерный вариант контрольной работы №1 по разделам «Матрицы и определители» и «Системы линейных уравнений»
«Элементы векторной алгебры», «Элементы аналитической геометрии», «Линейные отображения»
Лекция №2 Основы векторной алгебры и аналитической геометрии на плоскости iconЛекция Элементы аналитической геометрии на плоскости
Если в общем уравнении прямой, то разрешив общее уравнение прямой на плоскости относительно b получим уравнение вида
Лекция №2 Основы векторной алгебры и аналитической геометрии на плоскости iconВарианты индивидуального домашнего задания по векторной алгебре и аналитической геометрии

Лекция №2 Основы векторной алгебры и аналитической геометрии на плоскости iconЛекция 1 теоретические основы инженерной графики. Методы проекций п л а н: Предмет начертательной геометрии
Начертательная геометрия раз­дел геометрии, в котором изучается раз­лич­ные методы изображения про­странственных форм на плоскости....
Лекция №2 Основы векторной алгебры и аналитической геометрии на плоскости iconЭлементы линейной алгебры и аналитической геометрии
Определение векторного пространства. Линейные операции над векторами. Основные свойства
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org