«Исследование линейных уравнений, содержащих параметр» является фундаментом всей системы решения задач с параметрами и входит в



Дата24.11.2012
Размер85.7 Kb.
ТипРешение
В данном пособии «В помощь учителю» представлена система ключевых задач по теме «Исследование линейных уравнений, содержащих параметр», составленная учителем математики высшей категории МОУ лицей №17, Почётным работником общего образования Российской Федерации Сорокиной Светланы Анатольевны, работающей на классах углублённого изучения математики.

Задания расположены в порядке возрастания сложности, что даёт возможность учащимся преодолевать возникшие затруднения. Так, если в заданиях 1-2 уравнения имеют вид ах=в, то уравнения 3-5 необходимо сначала привести к этому виду, и только потом исследовать. В заданиях 6-11 учащимся предлагается исследовать дробно-рациональные уравнения,- это случай равенства двух дробей с равными знаменателями, случай равенства дроби нулю, случаи равенства дробей с разными знаменателями. Наконец, решения уравнений 12-16 требуют знаний свойств модуля.

Важно, что предложенный в пособии алгоритм решения является универсальным для данного класса задач.

Задания можно использовать в 7-11 классах, в зависимости от математической подготовки учащихся. Это могут быть урок- практикум, занятия факультатива, кружка, элективных курсов.

Тема «Исследование линейных уравнений, содержащих параметр» является фундаментом всей системы решения задач с параметрами и входит в содержание ЕГЭ.

Методист ГМЦ г. Костромы Борткевич Л. К.

Тема: Исследование линейных уравнений, содержащих параметр.
Справочный материал
Решение линейного уравнения a∙x=b, где a и b – параметры,


a ∙ x = b

а ≠ 0

а = 0




b – любое число (Почему?)




b ≠ 0

b = 0

0 ∙ x = 0

x – любое число

0 ∙ x = b



один корень


нет корней

бесконечно много корней
Для каждого значения параметра а найдите число корней уравнений (1 - 8)










  1. gif" name="object6" align=absmiddle width=111 height=20>







9) Сколько корней имеет уравнение в зависимости от значений параметра b?

10) Сколько корней имеет уравнение в зависимости от значений параметра а?
11) При каких значениях параметра с уравнение не имеет корней?


Сколько корней при различных значениях параметра а имеет уравнение?
12)
13)
14)
15)
16)
Решения и ответы.




Решение

В этом уравнении на самом деле 2 переменные, но считают – неизвестным, а – параметром. Требуется решить уравнение относительно переменной при любом значении параметра .

Если = 0, то уравнение примет вид и не будет иметь корней

Если ≠ 0, то уравнение имеет единственное решение

Существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это важно, когда решение разбивается на несколько случаев. При этом составление ответа – это сбор ранее полученных результатов в отдельных частях решения. Необходимо отразить в ответе все этапы решения.
Ответ: при = 0 корней нет;

при ≠ 0 .

2.

Решение

При = 2 уравнение примет вид и не будет иметь корней.

При ≠ 2 уравнение имеет единственный корень

Ответ: если = 2, то решений нет;

если ≠ 2, то .

3.

Решение

Приведем уравнение к виду



При = 0 уравнение примет вид и не имеет корней.

При = -1 получаем , и очевидно – любое.

При ≠ 0 и ≠ -1 имеем .

Ответ: если = 0, то корней нет;

если = -1, то – любое число;

если ≠ 0 и ≠ -1, то .

4.

Решение

Приведем уравнение к виду





При = 0 уравнение примет вид и не имеет корней.

При = 2 получаем , и очевидно – любое.

При ≠ 0 и ≠ 2 имеем .

Ответ: если =0, то нет корней;

если = 2, то – любое число;

если ≠ 0 и ≠ 2, то .

5.

Решение

Приведем уравнение к виду .





При = 2 получаем , и очевидно – любое.

При = -2 получаем , и уравнение не имеет корней.

При ≠ 2 и ≠ -2 имеем .
Ответ: при = 2, – любое число;

при = -2, нет решений;

при ≠ 2, ≠ -2, .

6. (1)

Решение

Так как знаменатель не должен быть равен нулю, то +7≠0, ≠ -7

Знаменатели алгебраических дробей равны, следовательно, для того, чтобы выполнилось равенство (1), должны быть равны и числители:

-5=-; 2=+5; ,5

Мы выразили неизвестное через параметр , но для есть ограничение ≠ -7, т.е.

,5≠-7 , откуда ≠ -19

При = - 19 исходное уравнение корней не имеет, так как при подстановке данного значения в исходное уравнение получаем для значение -7. которое не входит в область допустимых значений.

Ответ: при ≠ -19 , ,5;

при = -19, нет корней.


7.

Решение

Решение этого уравнения равносильно системе -=0

+2≠0

Имеем =

≠ -2
Условие ≠ -2 влечет за собой требование ≠ -2

Ответ: при ≠ -2, = ;

при = -2, нет корней.

8.

Ответ: при ≠ -2, = 2;

при = -2 нет корней.

9.

Решение

Очевидно, что ≠ 2, а 2-= 0, т.е. , но ≠2, т.е. 2≠, ≠4.

Ответ: при ≠4 , ;

при =4 нет корней.

10.

Решение

Это уравнение равносильно системе 2(-) = (-3) Имеем (-2) =

-3 ≠ 0 ≠ 3
Система имеет единственное решение, если -2 ≠0, ≠ 2,

и ≠3, т.е. 3≠ , ≠ 3.

Если = 2, = 3 корней нет.

Ответ: при = 2, = 3 нет корней;

при ≠ 2, ≠ 3 .

11. При каких значениях параметра уравнение не имеет корней?
Решение

Это уравнение равносильно системе 8(+) = (1-)

1- ≠ 0
Решим уравнение системы

8(+) = (1-)




При = -8 получим ∙ 0 = 56, уравнение не имеет корней.

При ≠ -8, . Условие ≠1 влечет за собой требование ≠1 , ≠ -1

Ответ не имеет корней при = -8; = -1.
12.

Ответ: < 0 , то нет корней;

> 0 , то = , = -;

= 0, то = 0.

13.

Решение.

Это уравнение равносильно системе │-2│= 0 Имеем -2 = 0 Имеем = 2

+│= 0 + = 0 = -

Ответ: если = -2, то = 2

если ≠ -2, нет корней.

14.

Ответ: если = 0, то = -2;

если ≠ 0, нет корней.

15.

Решение

Это уравнение равносильно системе │+2│= 0 Имеем +2 = 0 Имеем = - 2


При =0 = -2 Имеем = -2 Имеем = -2

- любое
Ответ: если = 0, то = -2;

если ≠ 0, нет корней.

16.

Решение

Это уравнение равносильно системе │-1│= 0 Имеем -1 = 0

∙(-1)│= 0 ∙(-1) = 0

При ≠ 0 второе уравнение системы, а значит и сама система, имеет единственный корень = 1. Если же = 0, то из второго уравнения получаем – любое.

Следовательно, в этом случае система имеет два корня: = 1 или = -1.

Ответ: если ≠ 0, то = 1;

если = 0, то = 1, = -1.

Похожие:

«Исследование линейных уравнений, содержащих параметр» является фундаментом всей системы решения задач с параметрами и входит в iconПрограмма по курсу «Линейная алгебра», 2 семестр 2011/2012 учебного года повышенный уровень
Системы линейных уравнений. Алгоритм Гаусса упрощения системы линейных уравнений и матрицы. Главные и свободные неизвестные. Разложение...
«Исследование линейных уравнений, содержащих параметр» является фундаментом всей системы решения задач с параметрами и входит в iconИсследование линейной системы 2-ух уравнений с 2-мя неизвестными. Определитель квадратной матрицы второго порядка. Формулы Крамера
Система линейных уравнений. Определитель решения системы. Исследование линейной системы 2-ух уравнений с 2-мя неизвестными
«Исследование линейных уравнений, содержащих параметр» является фундаментом всей системы решения задач с параметрами и входит в iconСистемы линейных уравнений
Решить систему линейных уравнений – значит указать все решения системы, то есть такие наборы значений переменных, которые обращают...
«Исследование линейных уравнений, содержащих параметр» является фундаментом всей системы решения задач с параметрами и входит в iconЛекция № Методы решения систем линейных уравнений
Мы будем рассматривать частный случай системы линейных уравнений, а именно случай, когда т е число уравнений равно числу неизвестных....
«Исследование линейных уравнений, содержащих параметр» является фундаментом всей системы решения задач с параметрами и входит в iconМеждународный Фестиваль «Звезды Нового Века» 2012 Точные науки (от 14 до 17 лет) «Исследование методов решения линейных диофантовых уравнений»
Практическая часть исследования. Методы решения линейных диофантовых уравнений с двумя переменными
«Исследование линейных уравнений, содержащих параметр» является фундаментом всей системы решения задач с параметрами и входит в iconИсследование системы линейных уравнений (неоднородной и однородной) через ранги основной и расширенной матриц
Матричная запись системы линейных уравнений. Решение системы через обратную матрицу
«Исследование линейных уравнений, содержащих параметр» является фундаментом всей системы решения задач с параметрами и входит в iconГрафические приемы решения задач с параметрами в системе «переменная – параметр»
Найти значения а, при которых уравнение а
«Исследование линейных уравнений, содержащих параметр» является фундаментом всей системы решения задач с параметрами и входит в iconРешение системы линейных алгебраических уравнений
Цель: Освоить технологию решения систем линейных алгебраических уравнений в интегрированной среде MathCad
«Исследование линейных уравнений, содержащих параметр» является фундаментом всей системы решения задач с параметрами и входит в iconРешение систем линейных алгебраических уравнений с ленточными матрицами. Пример решения линейной системы с трехдиагональной матрицей
Метод Гаусса для решения системы линейных алгебраических уравнений. Устойчивость метода Гаусса. Использование метода Гаусса для вычисление...
«Исследование линейных уравнений, содержащих параметр» является фундаментом всей системы решения задач с параметрами и входит в iconЛекция 2 Одноканальная динамическая система
Прежде, чем перейти к изучению управления и управляемости, нам необходимо вспомнить основные правила построения решения линейных...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org