1. Вычислить определитель матрицы и след матрицы А



Дата25.11.2012
Размер87.2 Kb.
ТипДокументы
1. Вычислить определитель матрицы и след матрицы А.


Решение:

-определитель

-след матрицы
2. Найти обратную к матрице А
Решение:

Сначала определим, является ли матрица А обратимой. Для этого вычислим определитель этой матрицы. Мы его уже вычисляли и можем сказать, что Δ ≠ 0. Тогда получаем, что матрица А обратима.

Найдем алгебраические дополнения






Теперь находим элементы обратной матрицы по формуле

В итоге получаем, что обратная матрица выглядит следующим образом:


3. Найти ранг матрицы А.
Для определения ранга матрицы необходимо найти минимальный порядок минора, для которого выполнено . Для этого необходимо вычислить все существующие миноры в этой матрицы. Поскольку все миноры уже вычислены, да к тому же определитель не равен 0, то ранг матрицы равен 3.

4. Найти собственные значения матрицы А и соответствующие им собственные векторы.

Решение:
Для определения собственных значений матрицы А надо решить уравнение вида:

, где Е – единичная матрица. Раскрывая понятие определителя, в итоге получаем следующее характеристическое уравнение относительно :



Заметим, что решением этого уравнения является .
В этом случае наше характеристическое уравнение можно представить в виде:



Решая линейное и квадратное уравнения

и ,

получаем - это собственные числа для матрицы А.

Для нахождения собственных векторов необходимо решить три системы уравнений.
, ,

Найдем собственные векторы для собственного значения


Поскольку по определению собственных чисел определитель . Таким образом, решений данной системы будет бесконечное множество. Для нахождения этого множества примем , где - это параметр. Оставим только 2 последних уравнения системы. В итоге получим следующую систему уравнений.


Заметим, что первое уравнение не содержит второе неизвестное.

. Из этого уравнения находим . Из второго уравнения находим .



В итоге получаем, что вектор вида является собственным.

Для собственного значения получаем следующую систему



По аналогичным причинам примем , как параметр. Оставим только 2 первых уравнения. Получим систему:



Найдем определитель матрицы . . Определитель не равен нулю. Поскольку наша система однородна, то система имеет только одно нулевое решение.

Получаем, что векторы типа являются собственными.

Для собственного значения получаем следующую систему



Примем за параметр . Получаем систему. Оставим 2 последних уравнения.



Из первого уравнения находим, что . Из второго уравнения получаем, что

Векторы вида - собственные.
5. Решить систему уравнений



Решим систему двумя методами – методы Крамера и Гаусса.

Метод Крамера
Найдем 4 определителя.

. Определитель основной матрицы не равен нулю, поэтому система имеет единственное решение.

Заменим в основной матрице первый столбец на столбец свободных членов и вычислим определитель этой матрицы.



Заменим второй столбец на столбец свободных членов.


Заменим третий столбец на столбец свободных членов.



Теперь определяем неизвестные по формуле

,

,


Метод Гаусса.
Преобразуем расширенную матрицу к диагональному виду.



Теперь используя обратный ход определим неизвестные.






6. Определить угол между векторами и , если , , , ,

Решение.



Расположим векторы и как показано на рисунке. Тогда и

Тогда для векторов и можем записать ,

Найдем скалярное произведение векторов и



Определим модули векторов и





Находим косинус угла





7. Определить площадь параллелограмма, образованного векторами и , если , , , ,

Решение.


Аналогично определяем координаты векторов и .

,

Тогда





Площадь параллелограмма определяется как модуль векторного произведения.



8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , и

Решение.

Найдем координаты векторов , . Возьмем любую точку с произвольными координатами. Вычислим координаты вектора Для того, чтобы эта точка принадлежала плоскости, необходимо выполнение равенства

Сокращаем уравнение на 2 и получаем окончательное уравнение плоскости


9. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно плоскостям и
Решение

Запишем уравнение искомой плоскости в следующем виде:



Коэффициенты при - это координаты нормали к плоскости. Если плоскости перпендикулярны, то и их нормали тоже перпендикулярны. Тогда имеет следующие два уравнения.



Точка принадлежит плоскости, это значит , что выполнено равенство



Получили систему уравнений



Эта система имеет ненулевое решение если её определитель равен 0.



10. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку и параллельную плоскостям и
Решение.
Каноническое уравнение прямой выглядит следующим образом:

, где - координаты точки, которая лежит на прямой.

- направляющий вектор.

можно взять координаты точки .

Направляющий вектор для прямой должен быть перпендикулярен нормалям к двум плоскостям и . Поэтому можем взять за направляющий вектор – вектор, который является .



В итоге получаем, что каноническое уравнение прямой выглядит следующим образом:


11. Вычислить



12. Вычислить



13. Вычислить.


14. Построить график функции .

а) Область определения:

Найдем предел . Таким образом, - асимптота.

б) Множество значений функции.

Найдем пределы





При идет из до 0

При

в) Точки экстремума.

Найдем производную функции.

Определим нули производной . Видим, что при переходе через точку производная меняет знак с отрицательного на положительный. Значит, в точке функция имеет локальный минимум.

При функция убывает, а при она возрастает.



г) Точки перегиба. Находим вторую производную.


Вторая производная обращается в ноль при . При переходе через эту точку вторая производная меняет свой знак с минуса на плюс. Таким образом, при функция выгнута, при функция вогнута.

д) Построение графика.

Основываясь на вышеперечисленных выводах строим график



15. Вычислить неопределенный интеграл.



Сделаем замену . Тогда

Для вычисления интеграла применим формулу , где , а . Тогда . В итоге получаем:

.

Окончательно получаем, что



16. Вычислить определенный интеграл



Сделаем замену . Заменим пределы интегрирования

=

Вычислим два интеграла отдельно.

В первом интеграле сделаем замену , . Пределы интегрирования:



Второй интеграл является стандартным и его можно найти в любой таблице интегралов.



В итоге получаем



17. Вычислить двойной интеграл.
, где

Интегрировать необходимо по площади, которая показана на рисунке.





Вычислим отдельно сначала внутренний интеграл. При вычислении считаем как параметр, независящие от .



Теперь подставим и вычислим окончательный интеграл


18. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.



Возможно решение тройных, поверхностных и несобственных интегралов.

19. Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Запишем уравнение в другом виде.






или


20 . Решить задачу Коши.

, и

Решаем сначала однородное уравнение.



Для этого найдем характеристическое уравнение.

.

Общее решение однородного уравнения будет иметь следующий вид:



Найдем частное решение исходного уравнения. Будем искать в следующем виде





Подставим эти выражения в исходное уравнение.



Получаем, что



В итоге получаем, что общим решением дифференциального уравнения будет



Определим константы и .

.



Окончательно получаем, что


21 Разложить в ряд Тейлора в окрестности (ряд Маклорена) функцию и определить интервал сходимости этого ряда.

Общая формула для ряда Тейлора в окрестности точки выглядит следующим образом.



Определим производную порядка










В итоге получаем, что ряд Тейлора в окрестности будет выглядеть следующим образом:



Для определения интервала сходимости используем признак Даламбера.



Получаем, что на интервале ряд сходится, а на интервалах и - расходится.

Посмотрим, что происходит на границе

- расходящийся гармонический ряд.


- по признаку Лейбница ряд условно сходиться.

В итоге получаем, что интервал сходимость

Похожие:

1. Вычислить определитель матрицы и след матрицы А iconВариант 1 №1. Вычислить определитель матрицы. №2. Выполнить действия A(B–C)-1D, где. №3. Решить матричное уравнение №4. Исследовав систему на совместность, найти ее общее решение методом Гаусса №5
Найти собственные значения и собственные и присоединенные векторы матрицы линейного оператора и найти вид этой матрицы в базисе из...
1. Вычислить определитель матрицы и след матрицы А iconЗадача №1. Вычислить определитель четвертого порядка Задача №2. Даны матрицы А, В, с и числа  и 
Задача № Для данной матрицы найти обратную и убедиться, что обратная матрица найдена правильно
1. Вычислить определитель матрицы и след матрицы А icon1 Сначала находим определитель матрицы
Если с пониманием сего действа плоховато, ознакомьтесь с материалом Как вычислить определитель
1. Вычислить определитель матрицы и след матрицы А icon2 Вычислить определитель. 3 Решить матричное уравнение
Найти такие значения параметров и, если они существуют, при которых ранг матрицы равен двум
1. Вычислить определитель матрицы и след матрицы А iconМатрицы и определители
Вычислить определитель 3-го порядка, используя метод Саррюса (или метод треугольников) и метод разложения по минорам какого-нибудь...
1. Вычислить определитель матрицы и след матрицы А iconКурс лекций для студентов специальности Психология Часть линейная и векторная алгебра Лекция 2
Каждой квадратной матрице поставим в соответствие некоторое число, которое будем называть определителем матрицы, и укажем правило...
1. Вычислить определитель матрицы и след матрицы А icon§ Ранг матрицы
Определение. Минор матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка,,,...
1. Вычислить определитель матрицы и след матрицы А iconПрограмма для аттестационных испытаний по дисциплине: «математический анализ и линейная алгебра» Тема Матрицы и определители
Свойства определителей. Теорема Лапласа. Обратная матрица и алгоритм ее вычисления. Понятия минора n-го порядка матрицы. Ранг матрицы....
1. Вычислить определитель матрицы и след матрицы А iconХарактеристический многочлен и характеристические числа матрицы. Собственные значения и собственные векторы матрицы
Пусть дана квадратная матрица порядка n. Характеристической матрицей матрицы a называют матрицу
1. Вычислить определитель матрицы и след матрицы А iconЦифровые матрицы в фотокамерах
Например: от объектива, качества электроники, размера матрицы и т д. Но, на мой взгляд, самым важным фактором, который влияет на...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org