Def. Путь векторное пространство над полем. Функция называется билинейной



Скачать 37.71 Kb.
Дата25.11.2012
Размер37.71 Kb.
ТипДокументы
Билинейные формы, полуторалинейные формы

Def. Путь - векторное пространство над полем . Функция называется билинейной формомй, если она линейна по каждому аргументу, т.е.


Если выбрать базис в пространстве , то билинейную форму можно записать матрицей , где -. Причем (если базис зафиксирован), то существует взаимно однозначное соответствие между квадратными матрицами и билинейными формами, т.е. любая матрица задают какую-то форму и разные матрицы задают разные формы.
Пример: Если - обычное скалярное произведение, то будет билинейной функцией (в евклидовом случае), а матрица будет просто матрицей Грама. Поэтому на матрицу билинейной формы можно смотреть как на обобщение матрицы Грама.
Если - матрица билинейной формы, то значение этой формы на двух любых векторах восстанавливается по формуле: или, в матричной форме:

.

При смене базиса , где - это матрица перехода матрица билинейной формы измениться на , т.е. .

На множестве билинейных форм можно естественным образом определить структуру линейного пространства (над полем ), причем размерность этого пространства будет , где gif" name="object21" align=absmiddle width=70 height=18>. Обозначается оно как . Причем имеем .

В случае - поле комплексных чисел, также рассматривают полуторалинейные формы.
Определение. Путь - векторное пространство над полем . Функция называется полуторалинейной формой, если она линейна по первому аргументу и антилинейна по второму, т.е.


В этом случае можно, аналогичным образом, ввести понятие матрицы полуторалинейной формы, но при переходе к новому базису матрица изменится на .
Пусть - пространство всех линейных отображений , где - двойственное пространство к . Пусть нам дано такое отображение , - базис в . Возьмем произвольный , ему соответствует - линейная форма . Возьмем произвольный , тогда . Матрица , где задает (взаимнооднозначно) отображение . Т.е. .

Лемма. Пространства и канонически изоморфны.

Доказательство. Возьмем произвольное билинейное отображение и зафиксируем его первый элемент, тогда получится - линейное отображение , следовательно . Теперь мы можем построить отображение по следующему правилу: отображению ставим в соответствие отображение , т.ч. . Т.к. , то . Можно построить также и обратное отображение: пусть , тогда , т.е. и - будет билинейной формой, т.е. . Эти два отображения взаимнообратны, следовательно это - изоморфизм.

Т.к. этот изоморфизм не зависит от выбора базиса, то это канонический изоморфизм.

Докажем изоморфность еще одним способом (через матрицы отображений). Выберем базис в , возьмем отображение , пусть - его матрица, т.е. . Выберем двойственный базис в , возьмем отображений (то же, что и в предыдущем абзаце). Пусть - его матрица, т.е. . Посмотрим, как связаны матрицы и . Имеем: , с другой стороны, , следовательно, матрицы и совпадают, следовательно, существует изоморфизм. #

Def. Билинейная форма называется симметричной, если , т.е. если ; кососимметричной, если , т.е. если .

Над полем комплексных чисел полуторалинейная формыя называется эрмитовой, если , т.е. если .
Def. Функция называется квадратичной формой, если существует такая билинейная форма , что .
Таким образом если - квадратичная форма, то будет

,

следовательно .

Можно рассмотреть функцию - она будет билинейна, т.к. она является суммой двух билинейных форм. Более того она будет симметричной и , т.е. ее можно рассматривать вместо в определении квадратичной формы.

Таким образом, определение квадратичной формы можно сделать более жестким, а именно потребовать симметричность функции .
Любая симметричная билинейная форма задает квадратичную форму , и наоборот, по формуле любая квадратичная форма задает симметричную билинейную форму. Это соответствие будет взаимооднозначным.
Лемма. Любая билинейная формая допускает единственное разложение в сумму симметричной и кососимметричной форм.

Доказательство. Существование разложение очевидно, т.к. .

Единственность. Пусть , тогда . Т.к. нулевая форма симметричная, то форма также должна быть симметричной, но, т.к. она еще и кососимметрична, то она просто нулевая, т.е. . Т.к. нулевая фуорма кососимметричная, то форма также должна быть кососимметричной, но, т.к. она еще и симметрична, то и она просто нулевая, т.е. . #

Похожие:

Def. Путь векторное пространство над полем. Функция называется билинейной iconЛинейное (векторное) пространство над полем P
Пусть дано поле P. непустое множество V называется линейным или векторным пространством над полем P, если на этом множестве определены...
Def. Путь векторное пространство над полем. Функция называется билинейной icon1. линейное векторное пространство
Множество называется линейным векторным пространством (лвп) над некоторым полем (действительном или комплексном), если заданы операция...
Def. Путь векторное пространство над полем. Функция называется билинейной icon3. Изоморфизмы, сопряжённое пространство
Пусть даны два линейных пространства и над одним полем, тогда биективное отображение (если оно существует) называется изоморфизмом,...
Def. Путь векторное пространство над полем. Функция называется билинейной iconЛекция Векторное пространство. Основные вопросы. Векторное линейное пространство
Элемен-тами абстрактных пространств могут быть функции, система чисел, матрицы и т д., а в частном случае и обычные векторы. Поэтому...
Def. Путь векторное пространство над полем. Функция называется билинейной icon14. Евклидовы (E) и унитарные (U)пространства Определение и основные свойства
Линейное пространствонад полем называется евклидовым, если на нем определена функция от двух переменных со значениями в, т е. (обозначается...
Def. Путь векторное пространство над полем. Функция называется билинейной icon«n-мерный вектор и векторное пространство»
Опр. Множество L называется линейным пространством, а его элементы векторами, если определены : а) операция сложения (вычитания)...
Def. Путь векторное пространство над полем. Функция называется билинейной iconОпределение линейного пространства
Множество L называется линейным пространством над полем Р, если выполняются следующие аксиомы
Def. Путь векторное пространство над полем. Функция называется билинейной iconУдк 512. 815. 6 Компьютерные исследования модулярных групповых алгебр
Групповая алгебра группы над полем − ассоциативная алгебра над полем, базис которой образуют элементы группы, а умножение базисных...
Def. Путь векторное пространство над полем. Функция называется билинейной iconЭцп на основе эллиптических кривых над полем
Сша и Западной Европе – ecdsa, в России – гост р 34. 10-2001. Однако, стоит отметить тот факт, что в стандартах ecdsa и гост р 34....
Def. Путь векторное пространство над полем. Функция называется билинейной icon1. Линейные отображения и их простейшие свойства
Определение Пусть V и V1 – векторные пространства над полем Р. Отображение называется линейным отображением V в V1 или гомоморфизмом,...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org