Лекция №2 Прикладная математика Элементы матричной алгебры



Скачать 39.62 Kb.
Дата25.11.2012
Размер39.62 Kb.
ТипЛекция

Лекция №2 Прикладная математика

Элементы матричной алгебры

Опр. Матрицей называется упорядоченная совокупность чисел , расположенная в виде таблицы

.

Данная матрица имеет m строк и n столбцов, – элемент матрицы, расположенный на пересечении i-ой строки и j-го столбца.

Опр. Если матрица имеет m строк и n столбцов, то ее называют матрицей размерности

Опр. Если m=n, то матрица называется квадратной. Если , то – прямоу­гольной.

Опр. Матрица размерности называется вектором-столбцом или просто вектором. Матрица размерности называется вектором-строкой

, .

В дальнейшем будем рассматривать в основном квадратные матрицы.

Опр. Элементы квадратной матрицы называется диагональными, элементы при называется внедиагональными.

Опр. Квадратная матрица, у которой все внедиагональные элементы равны нулю, называется диагональной

.

Опр. Диагональная матрица, у которой все элементы равны единице, называется единичной

.

Операции над матрицами

Опр. Матрицы A и B одной размерности называется равными, если для всех i и j. A=B

Опр. Суммой (разностью) матриц A и B одной размерности называется матрица C той же размерности, если () для всех i и j.

C=A+B (C=A–B).

Опр.
Произведением матрицы A на число α называется матрица C той же размерности, если для всех i и j .

Опр. Произведением матрицы A размерности и матрицы B размерности называется матрица С размерности , если

для всех i и j .

Таким образом, чтобы найти элемент матрицы , нужно все элементы
i-ой строки матрицы A умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B и полученные произведения сложить.

Замечание. Произведение прямоугольных матриц определено лишь в случае, когда число столбцов у матрицы A равно числу строк у матрицы B. Произведение квадратных матриц одной размерности определено всегда.

Примеры







Произведение матрицы на вектор есть вектор.

Свойства произведения матриц (если оно определено)





  1. В общем случае:

Опр. Если , то матрицы называются перестановочными.

Единичная матрица перестановочна с любой квадратной матрицей той же размерности.



Транспонированная матрица

Опр. Матрица размерности называется транспонированной к матрице A размерности , если для всех i и j (при операции транспонирования строки и столбцы меняются местами).

Примеры

,



Свойства операции транспонирования

  1. –  дважды транспонированная матрица совпадает с исходной матрицей.





Опр. Квадратная матрица называется симметричной, если она совпадает со своей транспонированной, то есть если .

У симметричной матрицы для всех i и j.

Обратная матрица

Опр. Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице A, если выполняется равенство

.

Операция нахождения обратной матрицы называется обращением данной матрицы.

Обратная матрица существует только у невырожденных матриц, то есть у таких матриц, определитель которых отличен от нуля.

Свойства

  1. ; 2.   .

Определитель (детерминант) матрицы

Всякой квадратной матрице ставится в соответствие определитель, вычисляемый по определенным правилам. Обозначение .

Вычисление определителя

.

Вычисление определителя матрицы размерности можно свести к вычислению определителя матрицы размерности и, таким образом, к вычислению определителя матрицы размерности .

– разложение определителя по элементам i-ой строки.

– разложение определителя по элементам j-го столбца.

Здесь – алгебраическое дополнение элемента ,  – минор элемента  –  определитель матрицы размерности (n-1), получаемой из исходной матри­цы вычеркиванием всех элементов i-ой строки и j-го столбца.

Пример



Свойства (A и B – квадратные матрицы размерности n)



5.

Верно равенство

, где – алгебраические дополнения; или

Пример

Дана матрица Найти

Решение:

Проверка:

Ортогональная матрица

Опр. Матрица A с вещественными элементами называется ортогональной, если ее транспонированная матрица совпадает с обратной.

или

Отсюда следует, что у ортогональной матрицы определитель равен единице.

Пример

.

Похожие:

Лекция №2 Прикладная математика Элементы матричной алгебры iconЛекции по алгебре учебное пособие
«Математика. Прикладная математика», «Математика. Компьютерные науки», «Прикладная математика и информатика»
Лекция №2 Прикладная математика Элементы матричной алгебры iconПрограмма дисциплины для студентов, обучающихся по направлению «Прикладная математика и информатика»
Одобрено кафедрой «Прикладная математика», протокол № от 2010 г
Лекция №2 Прикладная математика Элементы матричной алгебры iconПрограмма дисциплины для студентов, обучающихся по направлению «Прикладная математика и информатика»
Одобрено кафедрой «Прикладная математика», протокол № от 2010 г
Лекция №2 Прикладная математика Элементы матричной алгебры iconПрикладная математика
Дисциплина «Прикладная математика» относится к вариативной части общенаучного цикла федерального государственного образовательного...
Лекция №2 Прикладная математика Элементы матричной алгебры iconРабочая программа дисциплины Методы оптимизации
...
Лекция №2 Прикладная математика Элементы матричной алгебры iconРабочая программа дисциплины функциональное и логическое программирование
Для подготовки дипломированных специалистов по направлению 657100–”Прикладная математика по специальности 073000–“Прикладная математика...
Лекция №2 Прикладная математика Элементы матричной алгебры iconКонкурс в Державинском университете
Профили «Математика. Компьютерные науки», «Прикладная математика. Математическое обеспечение и администрирование информационных систем»,...
Лекция №2 Прикладная математика Элементы матричной алгебры iconБакалаврской программы 010400. 62 «Прикладная математика и информатика» реализуемой на кафедре №31 «Прикладная математика»
Код и наименование направления подготовки, наименование программы: 010400. 62 «Прикладная математика и информатика»
Лекция №2 Прикладная математика Элементы матричной алгебры iconЭлементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Элементы векторной алгебры
Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой а и конечной точкой В
Лекция №2 Прикладная математика Элементы матричной алгебры iconРабочей программы “Комплексный анализ”
Математического и естественнонаучного ( В. Од. 4)цикла дисциплин подготовки студентов по направлению подготовки 010400 Прикладная...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org