«Математика на шахматной доске»



Скачать 166.25 Kb.
Дата08.10.2012
Размер166.25 Kb.
ТипРеферат


Иркутская Городская конференция учащихся 10 – 11 классов

«В мир поиска, в мир творчества, в мир науки»

«Математика на шахматной доске»


Автор: Филиппов Руслан

Россия, г. Иркутск, МОУ Лицей ИГУ, 11 класс

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Иркутского Государственного Университета Кузьмин О.В.
2006г.
Оглавление

Реферат к курсовой работе……………………………………………….. 3

Введение …………………………………………….……………………….4

Глава 1. Головоломки на шахматной доске ……………………………. . 5

1.1. Парадокс шахматной доски………………………………….5

1.2. Необычное доказательство теоремы Пифагора ………………….. 5

1.3. Покрытие шахматной доски костями домино……………….. 6

1.4. Буквы из клеток шахматной доски …………..……………….. 7

Глава 2. Задачи на шахматной доске……………………………………... 8

2.1. Разбиения шахматной доски……………………………………. 8

2.2. Доски с нечетным числом клеток………………………………10

Глава 3. Геометрия шахматной доски в пешечных окончаниях ……… 12

3.1. Правило квадрата……………………………………………….. 12

3.2. Блуждающий квадрат …..………………………………………13

3.3. Оппозиция……………………………………………………….. 14

3.4. Метод треугольника……………………………………………. 16

Заключение…………………………………………………………………..16

Список литературы…………………………………………………………17


Реферат

к исследовательской работе:

«Математика на шахматной доске»
Курсовая работа выполнена в объеме 17 страниц машинописного текста. Список литературы включает 6 источников.

Цель работы: Математика, как и шахматы, имеют довольно давнюю и богатую историю, поэтому представляется возможным проанализировать общие черты математики и шахмат, поскольку решение проблем шахматной игры и есть математическое упражнение. Шахматы, доска и фигуры постоянно используются для иллюстрации различных математических понятий и идей.

В работе рассказывается о математических задачах и головоломках на шахматной доске уже известных, а также составленных автором. Сначала рассматриваются задачи-головоломки на шахматной доске, далее сравнивается относительная сила шахматных фигур. В завершение работы поставлена глава о геометрии шахматной доски в пешечных окончаниях. Эта необычная геометрия шахматной доски раскроет оригинальные свойства, не зная которые нельзя рассчитывать на успех в шахматной игре.

Введение

У шахмат и математики много родственного. Формы мышления математика и шахматиста довольно близки. Шахматная доска и шахматные фигуры издавна ши­роко использовались в различного рода математических развлечениях, многие из которых имеют чисто геомет­рическую структуру.
Важное место, как мы знаем, занимают шахматы и в компьютерной науке, которая родственна математике. В этой работе я расскажу о знаменитых математических задачах и головоломках на шахматной доске приведу их решения.

Шахматы отличаются от большинства логических игр тем, что при игре возникает очень большое число возможных ходов, и просчитать их, предугадав исход игры, просто невозможно. Но стратегии для игры в шахматы, конечно, существуют, и их очень много. Люди, профессионально играющие в шахматы, тратят большое количество времени на изучение оптимальных стратегий.

В своей исследовательской работе я также затрону шахматную игру и проблемы, связанные с этой игрой в обычном ее пони­мании. Расскажу о необычных геометрических свойствах шахматной доски, простейших правилах для пешечных окончаниях, и проиллюстрирую пешечные окончания различными примерами.

Глава 1. Головоломки на шахматной доске

В этой главе рассматривается несколько знаменитых голо­воломок на шахматной доске, которые носят математический характер.
1.1. Парадокс шахматной доски

Проделаем мысленно некоторые ма­нипуляции с шахматной доской. Разрежем ее на четыре части, как показано на рисунке 1 (по­ля специально не раскрашены), и составим из них прямоугольник (рис.2).

Шахматная доска состоит из 64 клеток, а вот полученный прямоугольник — из 65. При разрезании доски откуда-то взялось одно лиш­нее поле!


Рис 2

Рис 1

Р
Рис 1
азгадка парадокса состоит в том, что наши чертежи выполнены не совсем точно. Если де­лать чертеж аккуратнее, то вместо диагонали прямоугольника появится ромбовидная, чуть вытянутая фигура со сторонами, которые ка­жутся почти слившимися. Это как раз и есть то самое «лишнее» поле.

1.2. Необычное доказательство теоремы Пифагора

Теперь рассмотрим любопытное шахматное доказатель­ство теоремы Пифагора. Донное доказательство очень красочно, живо и понятно доказывает, что «пифагоровы штаны во все стороны равны».
Н
Рис 3

Рис 4
арисуем на доске квадрат, в результате чего она разбивается на пять частей: сам квадрат и четыре одинаковых прямоугольных треугольни­ка (рис.3). А теперь взглянем на рисунок 4.




Рис 3

Рис 4

Перед нами те же четыре треугольника, а вместо одного большого квадрата два квадрата мень­ших размеров. Треугольники на обоих рисунках имеют равную площадь, значит, равная пло­щадь и у оставшихся частей доски: сверху один квадрат, снизу — два. Поскольку большой квадрат построен на гипотенузе прямоугольного тре­угольника, а маленькие — на его катетах, дела­ем вывод, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Теорема Пифагора доказана.

Рис 4
1.3. Покрытие шахматной доски костями домино

Можно ли покрыть костями домино 2x1 ква­драт 8x8, из которого вырезаны противополож­ные угловые клетки? (рис. 5).
М
Рис 5

Рис 6
ожно было бы заняться скучными матема­тическими рассуждениями, но шахматное реше­ние и изящнее, и проще. Окрасим наш урезан­ный квадрат (на рис. сверху) в черно-белый цвет, превратив его в шахматную доску без угловых полей al и b8 (рис. 6).

При покрытии доски каждая кость домино занимает одно белое и одно черное поле, и, зна­чит, весь набор костей (в количестве 31 штуки) покрывает одинаковое число белых и черных по­лей. Но на нашей урезанной доске черных полей на два меньше, чем белых (вырезанные поля чер­ные), и, следовательно, необходимого покрытия не существует! Итак, раскраска доски не только помогает шахматисту ориентироваться во время игры, но и позволяет решать необычные головоломки.
1.4. Буквы из шахматной доски.

«Требуется разрезать стеклянную шахматную доску (8х8) на буквы, из которых удалось бы составить какую-нибудь фразу».

На рис 7 видно, как удалось составить фразу ЛИЦЕЙ ИГУ с точками между словами.


Рис 7


Рис 8


Справа на рисунке 8 изображена сама шахматная доска, где линиями обозначены разрезы, a перекрещивающимися линиями – 3 точки и черта над Й. Хотя идеальное предложение должно было бы содержать лишь одну точку, но мне не удалось его получить.
Глава 2. Задачи на шахматной доске
Первоначально поля шахматной доски не были раскрашены поочередно в черный и белый (или какие-либо два других) цвета, и это усовершенствование было введено, просто чтобы помочь глазу при игре. Польза такой раскраски несомненна. Например, она облегчает манипуляции со слонами, позволяя с одного взгляда оценить, что наш король или пешки на черных клетках не находятся под угрозой вражеского слона, передвигающая по белым клеткам. И все же раскраска шахматной доски не существенна для самой игры как таковой. Точно так же, когда мы формируем головоломки на шахматной доске, часто неплохо помнить, что дополнительный интерес может представлять «обобщение» на случай доски с любым числом клеток или ограничение задачи некой конфигурацией клеток, не обязательно квадратной. Ниже приведены несколько головоломок такого типа.
2.1. Разбиения шахматной доски
«Сколькими различными способами можно разделить шахматную доску на две части одинаковой формы и размеров, если разрезы проводить по границам клеток?»

Данная задача одновременно занимательна и трудна, поэтому мы рассмотрим в упрощенном виде, взяв доску меньших размеров. Очевидно, что доску состоящую из 4 клеток (2х2), можно разделить лишь одним способом (прямой, проходящей через центр), ибо повороты и отображения мы не будем рассматривать как новые решения. В случае доски из 16 клеток (4х4) существует ровно 6 способов.
Теперь возьмем доску большего размера из 36 клеток (6х6), и попытаемся определить число способов в этом случае.

К
Рис 9
аждый способ должен включать в себя один из пяти разрезов, показанных на рисунках А, В, С, D и E. Дабы избежать повторений при поворотах и отображениях, нужно рассматривать лишь те размеры, которые начинаются в точках a, b и c. Но заканчиваться разрез должен в точке, расположенный на одной проходящей через центр прямой с точкой начала. Это наиболее важное условие, которое следует помнить. В случае В вы не можете начать разрез в точке а, ибо в противном случае вы пришли бы к случаю Е. Аналогично в случаях С или D вы не должны подходить к ключевой прямой в том же направлении, в каком идет она сама, ибо тогда вы получите случаи А или В. Если вы действуете способом А или С и начинаете разрез в а, то, чтобы не получилось повторений, вы должны рассматривать соединения лишь в одном из концов ключевой прямой. В других случаях вы должны рассматривать соединения в обоих концах ключевой прямой, но, пройдя а в случае D, поворачивайте всегда налево (используя лишь одно направление). На рисунках 1 и 2 приведены примеры для случая А; на рисунках 3 и 4 – для случая В; на рисунках 5 и 6 – для случая С, а рисунок 7 – хороший пример случая D. Разумеется, Е – особый тип, допускающий лишь одно решение, поскольку вполне очевидно, что вы не можете начать разрез в b или с.

Вот итоговая таблица:





a

B

C

Способы

A =

8 +

17 +

21 =

46

B =

0 +

17 +

21 =

38

C =

15 +

31 +

39 =

85

D =

17 +

29 +

39 =

85

E =

1 +

0 +

0 =

1




41

94

120

255



Существует 255 различных способов разрезать доску на две части одинаковых размеров и формы.
2.2. Доски с нечетным числом клеток

«Сколькими различными способами можно разрезать на две части одинакового размера и формы?»

Р
Рис. 10

б

а
ассмотрим доски, которые содержат нечетное число клеток. Начнем с доски 3x3. Её можно разрезать на равные части, лишь удалив центральную клетку. Вполне очевидно, что это можно сделать только одним способом, как показано на рисунке

10 а части А и В имеют одинаковые размеры и форму, и при любом другом способе разрезания получатся такие же части, а, как мы знаем, в подобном случае способы не считаются различными.

Д
Рис. 4 а

а
ля доски 5х5 существует 15 различных способов разделения (с удаленной центральной клеткой), на рисунке 10 б изображен лишь одно из решений данной задачи. Я не стану приводить здесь все соответствующие рисунки, но при желании читатель сможет нарисовать их без всяких затруднений. В какой бы точке края вы ни начали разрез, заканчиваться он должен в точке, симметричной с ней относительно центра доски. Так, если вы начинаете разрез в точке 1 (рис. 11 а) вверху, то заканчивать его вы должны в нижней точке 1.


б

а

Рис 11
Д
Рис. 5 а
алее, 1 и 2 – единственные две существенно различные точки начала; если мы начинаем разрез в других точках, то получим такие же решения. Направления разрезов в упомянутых 15 способах указаны на рисунке числами.

То, что эти числа повторяются дважды, не приведет к недоразумению, ибо каждое последующее число расположено рядом с предыдущим. Любое направление, которое вы изберете при движении сверху вниз, должно быть повторено при движении снизу вверх; одно направление служит точным отражением другого (точнее, переходит в него при повороте доски на 1800 вокруг центра).

1, 4, 8.

1, 4, 3, 7, 8.

1, 4, 3, 7, 10, 9.

1, 4, 3, 7, 10, 6, 5, 9.

1, 4, 5, 9.

1, 4, 5, 6, 10, 9.

1, 4, 5, 6, 10, 7, 8.

2, 3, 4, 8.

2, 3, 4, 5, 9.

2, 3, 4,5, 6, 10, 9.

2, 3, 4, 5, 6, 10, 7, 8.

2, 3, 7, 8.

2, 3, 7, 10, 9.

2, 3, 7, 10, 6, 5, 9.

2, 3, 7, 10, 6, 5, 4, 8.
Можно заметить, что четвертое направление (1, 4, 3, 7, 10, 6, 5, 9) совпадает с показанным на рисунке справа (рис. 11 а). Тринадцатое совпадает с решением, приведенным при формулировке задачи, где разрез начинается с боковой стороны, а не сверху доски. Части, однако, окажутся одинаковой формы, если их перевернуть другой стороной кверху, что, как указывалось в условии, не приводит к новому решению.
Глава 3. Геометрия шахматной доски в пешечных окончаниях

Для того что бы хорошо играть в шахматы, не обязательно быть сильным математиком. Беспрерывный расчет вариантов, который приходится вести шахматисту во время партии, имеет иную специфику, чем работа математика-вычислителя. Тем не менее в шахматной игре содержатся некоторые математические правила и законы, знание которых для шахматиста обязательно, если он хочет успешно играть в пешечных окончаниях.

Итак, если на доске, помимо королей и пешек, ничего не осталось, то такая позиция называется пешечным окончанием. Понятно, что главная задача в нем – провести одну из своих пешек в ферзи, но несмотря на внешнюю простоту, пешечные окончания часто являются весьма трудными, и даже опытные игроки допускают в них непростительные ошибки.

Далее упомянуты простейшие геометрические правила для пешечных окончаний.
3.1. Правило квадрата

Начнем с простейшего правила, которые должны быть знакомы каждому шахматисту. Правило квадрата заключается в следующем: если король находится в квадрате пешки или при своем ходе может в него вступить, он догоняет пешку, если не находится, - не догоняет.


Ниже приведен пример позиции, иллюстрирующей данное правило (рис 12).

Б
Рис 12
елый король не участвует в игре, и все зависит от того, успеет ли его черный оппонент догнать пешку d4.Легко оценить позицию при помощи правила квадрата. Достаточно выяснить, может ли король попасть в квадрат пешки, изображенной на диаграмме. Для удобства можно мысленно провести всего одну линию

(на рис 12 проведена пунктиром) – диагональ квадрата. Черные здесь при своем ходе делают ничью (король попадает в квадрат), а при ходе противника проигрывают.
3.2. Блуждающий квадрат

Речь идет о позициях, в которых король борется с двумя изолированными проходными пешками противника, расположенными на одной горизонтали. Построим квадрат, в углах которого стоят эти пешки. Так, белые пешки b3 и e3 образуют квадрат b3-e3-e6-b6 со стороной 4. При движении пешек вперед квадрат меняет свое положение, и поэтому его называют блуждающим.

Данное правило звучит так: если квадрат касается края доски или выходит за его пределы, то король не может помешать самостоятельному маршу пешек в ферзи.

З
Рис 13

Рис 14

Рис 13
десь квадрат 4х4 касается края доски (см рис 13), и белые берут верх независимо от очереди хода и расположения белого короля 1..Kpb6 2. e6 Кpd7 4. b6 и т. д.

Если же блуждающий квадрат достиг края доски, то в этом случае пешки сами пройти не могут, и все зависит от стороны квадрата. Если она равна 3 (пешки b5, c5; король b7),

т
Рис 14
о пешки поддерживают друг друга, но для короля безопасны (1… Kpc6 2. a6 Kpc7, и король перемещается с с7 на с6 и обратно). Если же сторона

квадрата 4, то пешки гибнут (рис 14). Допустим, пешки расположены на полях с4 и f4 черный король d6 справляется с ними при любой очереди хода: 1…Kpc5 2. f5 Kpd6! 3. f6 Kpe6 4. c5 Kpe6, и король в квадрате оставшейся пешки.

При стороне блуждающего квадрата, равной 5, ситуация та же что и при стороне, равной 3, - пешки держат сами себя, но прорваться в ферзи не могут.
3.3.Оппозиция

Оппозиция (противостояние) играет важную роль при разыгрывании пешечных окончаний. Простейший вид оппозиции – белый и черный короли находятся на одной линии, и их разделяет нечетное число полей. Если поле одно, то оппозицию называют ближней, если три или пять – дальней. При королях на одной вертикали, горизонтали или диагонали оппозицию соответственно называют вертикальной, горизонтальной или диагональной. Итак, для завоевания оппозиции приходится заниматься арифметикой – вычислять число полей между королями. При фиксированном положении пешек сторона, владеющая оппозицией (при ходе противника), обычно добивается своей цели – выигрывает или делает ничью. В любом случае решающую роль играют маневры королей (и пешек, если они не блокируют друг друга). Также необходимо знать что такое поля соответствия.

Поля соответствия – определенные пункты (они могут находиться и далеко от пешек), в которых происходит борьба за пункты в окрестности проходной пешки, владение которыми обеспечивает ее успешное продвижение вперед. Частым и наиболее популярным случаем полей соответствия является оппозиция.

Проиллюстрируем данное правило двумя примерами.

На рисунке 15 задача белых – выигрыш, для этого им необходимо занять ключевые поля (поля в окрестности проходной пешки, владение которыми обеспечивает ее успешное продвижение вперед) с7 и c8.

Д
Рис 15
ля решения данной задачи найдем поля соответствия. Первая линия находится довольно

легко: d6-b6, d7-b7, d8-b8; вторая линия полей соответствия: e6-a6, e7-a7, e8-a8; третья линия: f6-b6, f7-b7, f8- b8. Поля же e7 и f5 соответствуют полю а5, после этого решение становится ясно:

1. Kpf5! Kpb6 (… Kpa6 2.Kpe6) 2. Kpf6! Kpb7 3. Kpf7! Kpb8 4. Kpe6 (3… Kpb6 4. Kpe8) 4…Kpb7 5. Kpd7 Kpb6 6. Kpc8!
Д
Рис 16 Ход белых.
алее представлен эндшпиль (рис 16), который носит чисто математический характер. Можно точно доказать, что черные не позволят белому королю взять какую-либо из своих пешек. Если только всегда будут ходить своим королем на поле, обозначенное той же буквой, что и поле, на котором стоит белый король. Если белые ни разу не отступят от этого правила, то результат будет ничейным. Если они

нарушат его хотя бы однажды, то белые смогут при желании не позволить черным вернуться к указанной тактике. Их король проникнет в лагерь черных по одной из вертикалей X-Y и белые добьются победы.


3.4.Метод треугольника

Метод треугольника является простейшим случаем полей соответствия. Король маневрирует по трем полям (треугольнику) и добивается передачи очереди хода противнику, этот метод очень важен для пешечных окончаний, так как помогает завоевать оппозицию. Проиллюстрируем данный метод примером (рис 17).

Н
Рис 17
а первый взгляд кажется, что здесь черные могут успешно защищаться на 1. Kpc5 с угрозой проникнуть на ключевые поле b6 у черных есть единственный, но достаточный ответ – 1…Kpc7, на 1. Kpd6 – 1…Kpd8. Перед нами опять случай полей соответствия: c5 - c7, d6 - d8, d5 – c8. Итак, около пешки черным удается

выдержать соответствие. Попробуем отступить назад, скажем на поле d4. Ясно, что черные не могут ответить 1…Kpc7 из-за 2.Kpc5. Значит, они должны играть 1…Kpd8 или 1Kpb8 на что делается выжидающий ход 3. Kpc4. Нетрудно убедиться, что в этом случае черным сохранить соответствие не удалось: 2…Kpc8 3. Kpd5! Kpd8 4. Kpd6, а на 2…Kpc7 Kpc5.
Заключение
В шахматах легко сформулировать конечную и многие промежуточные цели, практически невозможно дать точного рецепта для их достижения. Выбор хода в шахматной партии – это и есть принятие решения с учетом обстановки и способностью сопоставлять и оценивать различные ситуации, делая различные выводы. Безусловно, шахматы и математика напрямую связаны между собой, ведь все выше упомянутое также является характерным и для математики.

Обдумывая очередной свой ход, шахматист, а так же математик, решающий задачу, заставляет свой мозг проделывать колоссальную работу. Здесь и цепочки логических рассуждений, и скрытая от мысленного взора работа подсознания, и обращение к кладовым памяти, оживляющее зрительные ассоциации и питающие интуицию. Множество математических приемов позволяют облегчить рассуждения для шахматиста. Я попытался в своей работе показать метод оценки сил шахматных фигур, интересные шахматные головоломки, задачи и, наиболее используемые, геометрические приемы. Это все можно объединить двумя словами: математика и шахматы.


Список литературы

  1. Дьюдени Э. Кентерберийские головоломки. М.: Мир, 1979.

  2. Болл У., Коксетер Г. Математические эссе и развлечения. М.: Мир, 1988.

  3. Карпов А., Гик Е. Шахматный калейдоскоп. М.: Наука, 1984.

  4. Карпов А., Гик Е. О, шахматы! М.: Гранд, 1997.

  5. Гик Е. Интеллектуальные игры. М:, Изд-во Астель, 2002.

  6. Авербах Ю., Котов А., Юдович М. Шахматная школа. Растов-на-Д.: Феникс, 2001.


Похожие:

«Математика на шахматной доске» iconУровни усвоения программы
Ребенок называет все шахматные фигуры, но не всегда может показать их способ передвижения на шахматной доске. Не может найти заданное...
«Математика на шахматной доске» iconСказка Легенда о шахматной доске

«Математика на шахматной доске» iconЗадача о 8 ферзях: на шахматной доске расставить 8 ферзей так, чтобы они "не били" друг друга. Написать программу, которая печатает одну из таких расстановок
Задача о 8 ферзях: на шахматной доске расставить 8 ферзей так, чтобы они "не били" друг друга. Написать программу, которая печатает...
«Математика на шахматной доске» iconМатематическая логика и теория алгоритмов
Перечислить все способы расстановки n ферзей на шахматной доске n на n, при которых они не бьют друг друга
«Математика на шахматной доске» iconУрок по шахматам 2 класс Чудесное царство государство шахмат. Автор: Учитель начальных классов
Закрепление знаний обучающихся о шахматной доске, помочь овладеть пространственным ориентировананием на плоскости, а в дальнейшем...
«Математика на шахматной доске» iconРусские шашки
Игра ведется на стандартной шахматной доске (8x8) повернутой так, что бы перед игроком играющим белыми в левом нижнем углу клетка...
«Математика на шахматной доске» iconВлияние игры в шахматы на современного школьника
Мое знакомство с шахматным миром началось в 5 лет. У нас дома были шахматы, очень красивые. Папа рассказал мне о фигурах, как они...
«Математика на шахматной доске» iconОсобенности адаптации и развития детей, обладающих шахматной одаренностью
В статье я коснулся нескольких проблем связанных с вопросами развития и адаптации детей, обладающих шахматной одаренностью. Это вопрос...
«Математика на шахматной доске» iconРазвитие шахматной культуры в городе Серпухове
Краткий обзор шахматной жизни в городе Серпухове от создания первого шахматного кружка до нашего времени 4
«Математика на шахматной доске» iconУрок по теме: " Банковские вклады"
На доске: «Математика это наука, брошенная человечеством на исследование мира в его возможных вариантах». Иммануил Кант
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org