Свойства определенного интеграла



Скачать 30.23 Kb.
Дата25.11.2012
Размер30.23 Kb.
ТипДокументы
Свойства определенного интеграла.

Используя определение предела интегральных сумм, получаем следующие свойства определенного интеграла:


  1. Если f(x) и g(x), - произвольные числа, то функция и справедливо равенство:

  2. Если f(x), то

  3. Если f(x) и c, то f(x), f(x) и справедливо равенство:

  4. Если f(x), и b>a, то справедливо неравенство:

  5. Если f(x) и g(x), и b>a, то справедливо неравенство:

  6. Если f(x) и , , b>a, то выполняются неравенства:

  7. Если f(x), то gif" name="object25" align=absmiddle width=74 height=20>, такое, что выполняется равенство:


Доказательство свойств.


  1. 1) Напишем интегральную сумму для функции .
    Обозначим и .
    Тогда получим равенство: .
    Так как и то и по определению он равен что и доказывает свойство 1.

  2. Напишем интегральную сумму для f(x): .
    Обозначим s=0,…,n и s=1,…,n.

Тогда и .

В интегральной сумме S заменим k=n-s:


По определению есть интегральная сумма для интеграла что и доказывает свойство 2.

  1. Без доказательства.

  2. Из неравенства: b>a, следует, что и

  3. Так как то из свойств 1 и 4 следует, что

  4. Так как то интегрируя эти неравенства, ввиду свойства 5, получим:

  5. Так как f(x), то f(x) (это будет доказано в следующем параграфе).
    Из свойства 6 следует, что где и
    По теореме о промежуточном значении непрерывной на отрезке функции такая, что или
    Замечание
    Это свойство обычно называют теоремой о среднем.

Критерий интегрируемости функций на отрезке. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций.

Пусть задано некоторое разбиение T отрезка [a, b]: a=x01<…n=b. Пусть f(x). Тогда по доказанному ранее f(x) ограничена на [a, b] и, следовательно, f(x) ограничена на каждом из отрезков разбиения [xk-1, xk], k=1,…,n.

Обозначим , , k=1,…,n.




Суммы и называются соответственно верхняя и нижняя суммы Дарбу.

Критерий интегрируемости
(без доказательств).

Теорема об интегрируемости непрерывных функций.

Пусть f(x). Тогда f(x).

Доказательство.

По теореме Кантора о равномерной непрерывности непрерывной на отрезке функции:

Пусть разбиение T отрезка [a, b] имеет диаметр Тогда из равномерной непрерывности функции f(x) на [a, b] следует, что k=1,…,n.

Запишем разность и в виде суммы:



Следовательно и по критерию интегрируемости f(x). Теорема доказана.
Теорема об интегрируемости монотонных на отрезке функций.

Пусть f(x) – монотонная на отрезке [a, b] функция. Тогда f(x).

Доказательство.

Предположим для определенности, что f(x) – неубывающая на [a, b] функция. Пусть T – некоторое разбиение [a, b].

Тогда, ввиду неубывания f(x), Mk=f(xk) и mk=f(xk-1).

Следовательно, разность - можно оценить следующим образом:

.

По критерию интегрируемости f(x). Теорема доказана.

Похожие:

Свойства определенного интеграла iconОсновные свойства определенного интеграла. Свойства определенного интеграла, выраженные равенствами
При перестановке пределов интегрирования знак определенного интеграла меняется на противоположный
Свойства определенного интеграла iconПеречень утвержден на заседании кафедры математики и информатики сф башГУ
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение определенного интеграла. Основные свойства
Свойства определенного интеграла iconЛекция 10 Приложения определенного интеграла План
Определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции равен площади соответствующей криволинейной трапеции. В этом состоит...
Свойства определенного интеграла icon13. Приложения определенного интеграла
В этом разделе мы рассмотрим некоторые приложения определённого интеграла, в основном, геометрические к вычислению площадей и объёмов....
Свойства определенного интеграла iconМетоды вычислений. 3-ий курс • Вычисление определенного интеграла
Вычисление определенного интеграла. Основные понятия. По­становка задачи. Понятия: квадратурной формулы, весовой функции, методической...
Свойства определенного интеграла iconЛекция 18. Вычисление определенного интеграла
Производная интеграла по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции
Свойства определенного интеграла iconПриближённые методы вычисления определённых интегралов
Цель: Проверить на практике знание понятия определённого интеграла, умение вычислять табличные интегралы, умение вычислять определённый...
Свойства определенного интеграла iconИнтегральное исчисление. Часть Несобственный интеграл. Кратные интегралы. Понятие несобственного интеграла
При рассмотрении определенного интеграла как предела интегральных сумм предполагалось, что
Свойства определенного интеграла iconПрограмма по курсу «математический анализ»
Дарбу и их свойства, критерии интегрируемости. Объем криволинейного цилиндра. Свойства двойного интеграла. Классы интегрируемых функций....
Свойства определенного интеграла iconПрограмма экзамена по курсу «Математический анализ»
Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org