N-мерные арифметические пространства n = 1 числовая прямая



Скачать 78.09 Kb.
Дата25.11.2012
Размер78.09 Kb.
ТипДокументы
n-мерные арифметические пространства.

n = 1 – числовая прямая

n = 2 – координатная плоскость

(x, y)  точка на плоскости  радиус-вектор точки

n = 3 – геометрическое пространство

(x, y, z)  точка пространства  радиус-вектор точки

Определение

n-мерным арифметическим пространством называется совокупность всевозможных упорядоченных наборов из n вещественных чисел, над которыми введены две операции:

1) сложение наборов;

2) умножение наборов на вещественные числа.

Операция сложения:

Пусть даны некоторые наборы x = (x1, x2, …, xn ) и y = (y1, y2, …, yn), xi yi – вещественные числа:

x + y = z = (x1 + y1, x2 + y2,…, xn + yn)

Свойства сложения:

  1. x + y = y + x – коммутативность

  2. (x + y) + z = x + (y + z) = y + (x + z) – ассоциативность

  3. ! (существует единственный) 0 = (0, 0, …, 0) , x + 0 = x




  1. x !y, что x + y = 0, т.е. y – набор, противоположный x .

Операция умножения на число

x = (x1, x2 … xn), λ  R

λx = xλ = w = (λx1, λx2, … λxn)

Свойства умножения на число:

  1. λx = xλ – коммутативность

  2. μ(λx) = (μλ)x

  3. 1x = x

  4. 0x = (0, 0, …, 0).


Совместные свойства операций:

  1. λx + λy = λ(xy) дистрибутивность

  2. μx + λx = (μ + λ )x

  3. x + y = 0  y = (-1)x – набор противоположный набору х.



Пример:

Два фермера выращивают следующие культуры:

Овощи


1

2
x = (0, 0, 10, 0, 20)

y = (10, 20, 0, 5, 10)

x + y = (10, 20, 10, 5, 30)

2x = (0, 0, 20, 0, 40)



Морковь

0

10

Картофель

0

20

Свекла

10

0

Горох

0

5

капуста

20

10


Два предпринимателя осуществляют следующие проекты:


x = (0, 0, 0, 10, 100)

y = (100, 200, 10, 0, 0)

x + y = (100, 200, 10, 10, 100)

10y = (1000, 2000, 100, 0, 0)



Финансовые проекты


1

2

Строительство дороги

0

100

Дворец игровых видов спорта

0

200

Госпиталь для инвалидов

1

10

Частные коттеджи

10

0

Зал заседаний

100

0


Определение:

Пусть x1, x2, .. xm – элементы пространства An, λ1, λ2, … λm – вещественные числа.

Выражение λ1x1 + λ2x2 +…+ λmxm –называется линейной комбинацией элементов x1…xm

Линейная комбинация называется тривиальной, если все λi = 0. в противном случае она называется нетривиальной.

Определение:

Набор элементов w1, w2, … wn – называется линейно независимым, если нулю равны только их тривиальные линейные комбинации.

Определение:

Базисом арифметического пространства называется любой максимальный ЛНЗ набор его элементов.

Теорема:

Набор элементов (1, 0, …0), (0, 1, …0), …, (0, 0, …1) образует базис n-мерного
арифметического пространства.
Доказательство:

Рассмотрим произвольную ЛК


Это выполняется только если все = 0, то есть вектора ЛНЗ


любой другой вектор раскладывается по указанной схеме



- нетривиальная ЛК
Теорема:

Элементы образуют базис n-мерного арифметического пространства  A = (aij) - квадратная и невырожденная.
Доказательство:

 пусть А = (aij)nn = m и det (A) ≠ 0.

Тогда система уравнений Aλ = x, где λ = (λ1, λ2, …λn)T, x = (x1, x2, …xn)T, имеет единственное решение х (по теореме Крамера):

х: x = λ1a1 + λ2a2 + … + λnan

выводы: 1. {a1…an}{x} - ЛЗ

2. Если x = 0, то все λi = 0 поэтому ЛНЗ

 Пусть {a1…an} – базис

Bmm



1) m < n ~ A = det B  0



Bmm

0

0…

0




1








Ановое =


Система ЛНЗ так как rank(Ановое) = m + 1

?
- невозможно, так как ЛНЗ и  ранг равен m
??


B







B





2) m > n ~ А =


 Bλ = (разрешима по теореме Крамера), λ = (λ1, λ2, …, λm)

перенося влево,

- нетривиальна

ЛК = 0, набор ЛЗ  не базис.

3) m = n  A – квадратная, и состоит из ЛНЗ столбцов  det (А)  0.
Определение:

Евклидовым n-мерным пространством Rn называется n-мерное арифметическое пространство, в котором введено скалярное произведение по правилу:

x, y  Rn : (x, y) =

Свойства скалярного произведения:

1.(x, y) = (y, x) – коммутативность

2.(λx, y) = λ(x, y), где λ – число (скаляр)

Следствие: (x, λy) = (λx, y)

(0, x) = 0

3. (x, x) = ≥ 0 (x, x) = 0  x = (0, 0, … 0)

4. (x + y, z) = (x, z) + (y, z)

Определение:
= |x| - «длина» элемента x .

Определение:
где φ- «угол» между x и y

Неравенство Коши – Буняковского (Коши - Шварца).

|(x,y)| ≤ |x||y|

Доказательство:

z = x + ty, t - произвольное число

0 ≤ (z, z) ≤ (x + ty, x + ty) = (x, x) + 2t(x, y) + (y, y)t2

 парабола имеет один корень, т.е. ее D≤0,

D = 4 (x, y)2 – 4(x, x)(y, y) ≤ 0

(x, y)2 ≤ (x, x)(y, y)



|(x, y)| ≤ |x||y|
Замечания к обозначениям

1) x = (x1, x2, …, xn) y = (y1, y2, …, yn)

(x, y) =

2) x = (x1, x2, …, xn) x y – другое обозначение

Стандарт матричного исчисления.

Пусть все элементы Rn - векторы-столбцы



Замечания:

x, y - векторы-столбцы, A = (aij) – матрица, γ - число.

γ = xTAy = γT = (xTAy)T = yTATx =

Подпространства

Определение

Подпространством евклидова (и арифметического) пространства Rn называется любая совокупность L элементов Rn, удовлетворяющая свойствам:

1) ;

2
Прямая состоит из точек  Rn





Подпространств  много
) ( - число)

Примеры:
R2


Подпространства в Rn

- некоторое подпространство

Определение

Ортогональным дополнением к подпространству L называется:



Теорема:

Если и то ортогональное дополнение есть подпространство

Доказательство:

, так как

то есть





Примеры:

R

2 R3

Теорема:

Любое подпространство евклидова пространства есть множество решений некоторой однородной системы уравнений

Ax = 0

Доказательство:

 Пусть L = { x: Ax = 0} – множество решений.

Покажем, что это подпространство:

1.

2.



3. Пусть , t – некоторое число 

 Пусть L – подпространство



n = rank(A) = dim L = m (dim L – размерность подпространства)

Как построить:

 базис в L

Утверждение:

Любой базис можно ортогонализировать  можно считать ортогональным.

Утверждение:

Любой набор ЛНЗ векторов можно дополнить до базиса всего пространства

Дополним базис до некоторого ортогонального базиса - всего пространства

Свойства В:

 i,j (ai, aj) = 0

Рассмотрим матрицу :

rank(A) = n - m

Покажем, что

1) так как , в силу ортогональности В и

2)

Определение:

Линейной оболочкой векторов а1, а2, …, аm называется совокупность их всевозможных ЛК

Замечание:

Любая линейная оболочка есть некоторое подпространство.

Теорема:

Пусть есть L = {x: Ax = 0} тогда линейная оболочка строк матрицы А образует

Доказательство:



1) Почему строки а1, а2, …, аm матрицы А лежат в ?



2) Пусть - произвольное

х L 

Теорема:

Пусть rank (A) = r и В – ранговая подматрица матрицы А, то есть


В

N

C

D



А =

det(B)  0   В-1
Тогда один из базисов подпространства L = {x: Ax = 0}совпадает с фундаментальной системой решений этой системы.


-B-1 N

1



1



В1 = - набор столбцов базиса


а один из базисов имеет вид:

BT

NT



В2 = - набор столбцов


Доказать, что базисы В1 и В2 взаимно ортогональны.

Похожие:

N-мерные арифметические пространства n = 1 числовая прямая iconТема урока. Числовой луч и числовая прямая как графические модели, отображающие процесс и результат измерения объема. Цели урока: Обучающая
Освоение начальных математических знаний –отрезок, прямая, луч и их отличие; числовая прямая
N-мерные арифметические пространства n = 1 числовая прямая iconПрограмма экзамена для студентов магистратуры (5 курс) по курсу «Многомерные аффинные и евклидовы пространства»
Мерные векторные пространства. Базис. Координаты вектора. Примеры векторных пространств
N-мерные арифметические пространства n = 1 числовая прямая iconТема 1 Числовая последовательность и её предел Теоретические вопросы
...
N-мерные арифметические пространства n = 1 числовая прямая icon1. Числовая функция и числовая последовательность. Способы их задания
Числовая функция – функция для которой свойственно отображение одного числового множества через другое числовое множество
N-мерные арифметические пространства n = 1 числовая прямая icon1 Целые числа и метод математической индукции+ 3 Множества N, Nо, Z.+ 3
Числовая прямая, теорема о соответствии точек прямой множеству действительных чисел 5
N-мерные арифметические пространства n = 1 числовая прямая iconВопросы к экзамену по математике для студентов групп 1261, 1262, 1263, 1264, 1265
...
N-мерные арифметические пространства n = 1 числовая прямая iconЦелые неравенства. Неравенства высших степеней
Рассмотрим функцию у = (2x + 1)(x – 4)(x – 2,5), область определения которой – вся числовая прямая
N-мерные арифметические пространства n = 1 числовая прямая iconТема 3: Числовая прямая и сравнение чисел
...
N-мерные арифметические пространства n = 1 числовая прямая iconПлан-конспект урока луч. Числовая прямая (Тема урока)
Оош с. Нимислярово –филиал мбоу сош с. Новокулево, Нуримановский район, Республика Башкортостан
N-мерные арифметические пространства n = 1 числовая прямая iconЧисловая прямая. Координация движений. Пространственная ориентировка
...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org