Классическая дифференциальная геометрия



Скачать 30.24 Kb.
Дата25.11.2012
Размер30.24 Kb.
ТипДокументы
КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

акад. РАН А.Т. Фоменко

1/2 года, 2 курс, отделение математики

1. Скалярные произведения. Псевдоевклидово скалярное произведение. Его свойства.

2. Сферы и псевдосферы. Стереографические проекции в евклидовом и псевдоевклидовом случаях.

3. Геометрия, индуцированная на псевдосферах. Модель Пуанкаре и геометрия Лобачевского.

4. Области в евклидовом пространстве. Декартовы координаты. Гладкие кривые, вектор скорости. Длина кривой в декартовых координатах.

5. Криволинейные координаты. Независимость длины кривой от параметра.

6. Полярные, сферические, цилиндрические координаты. Их особые точки и якобианы замены координат.

7. Общее понятие якобиана замены координат. Регулярные замены координат. Матрица Якоби. Координатные линии, примеры.

8. Формулы Френе на плоскости. Натуральный параметр. Кривизна плоской кривой.

9. Формулы Френе в трехмерном пространстве. Кососимметричность матрицы Френе. Кривизна и кручение.

10. К-мерные гладкие поверхности-многообразия в области евклидова пространства. Длина кривой в произвольной криволинейной системе координат.

11. Риманова метрика в области евклидова пространства. Закон преобразования компонент метрики. Углы между пересекающимися кривыми.

12. Индуцированная риманова метрика на поверхностях-многообразиях в евклидовом пространстве. Примеры.

13. Метрики на плоскости, цилиндре, сфере. Различные формы их записи.

14. Метрика на плоскости Лобачевского. Различные формы ее записи.

15. Группы движений евклидовой метрики на прямой, на плоскости, метрики на сфере.

16. Связь группы вращений двумерной сферы с трехмерным проективным пространством. Различные определения проективного пространства.

17. Топологические пространства. Хаусдорфовость. Метрические пространства. Непрерывные отображения. Гомеоморфизм. Связность. Компактность.

18. Диффеоморфизм поверхностей-многобразий. Подмногообразия. Поверхности-многообразия с краем и без края.

19. Область в евклидовом пространстве, график гладкой функции, неособая поверхность уровня гладкой функции, – как гладкие многообразия. Связь теоремы о неявной функции с гладкими поверхностями.

20. Касательный вектор и касательное пространство.

21. Гладкие отображения поверхностей-многообразий. Дифференциал гладкого отображения.

22. Римановы многообразия. Индуцированная риманова метрика на подмногообразии.

23. Примеры двумерных поверхностей (склейки из плоских многоугольников). Формулировка теоремы классификации двумерных компактных замкнутых поверхностей (без доказательства).

24. Первая квадратичная форма поверхности. Вторая квадратичная форма. Ее явный вид для графика функции.

25. Инварианты пары форм. Средняя и Гауссовы кривизны. Главные напрвления и главные кривизны.
Теорема об ортогональности главных напрвлений.

26. Кривые на поверхности. Нормальные сечения. Теорема об отношении первой и второй квадратичной форм. Формула Менье.

27. Теорема о совпадении собственных чисел пары форм с главными кривизнами. Формула Эйлера.

28. Средняя и Гауссовы кривизны для двумерных поверхностей.

29. Минимальнвые поверхности. Мыльные пленки, формулировка теоремы Пуассона-Лапласа о границе раздела двух сред.

30. Тензор и тензорное поле. Алгебраические операции над тензорными полями. При­меры из механики.

31. Симметричные и кососимметричные тензорные поля. Кососимметрические тензоры максимального ранга. Их связь с римановым объемом на поверхности-многообразии.

32. Внешние дифференциальные формы и их внешнее умножение.

33. Внешнее дифференцирование внешних форм. Замкнутые и точные формы.

34. Векторные поля и замкнутые, точные формы. Бездивергентные и потенциальные потоки жидкости. Лемма Пуанкаре для случая плоскости.

35. Группы когомологий многообразий. Примеры вычисления.

36. Операция "звездочка" на формах в евклидовом пространстве и ее свойства.

37. Примеры операции "звездочка" на плоскости и в пространстве.

38. Геодезические на двумерной поверхности.

39. Геодезические на плоскости, сфере, плоскости Лобачевского.

Похожие:

Классическая дифференциальная геометрия iconКлассическая дифференциальная геометрия
Координаты на поверхности, координатные линии. Геометрия гладких кривых, касательных векторов, во внутренних координатах
Классическая дифференциальная геометрия iconВопросы по курсу лекций "Классическая дифференциальная геометрия и топология" для студентов математиков 2 курса (весна 2009 г.)

Классическая дифференциальная геометрия iconКлассическая дифференциальная геометрия проф. А. С. Мищенко
Комплексные координаты, Формулы для перехода от комплексных матриц к вещественным, вычисления детерминанта и следа комплексных матриц...
Классическая дифференциальная геометрия iconДифференциальная геометрия оснащенных распределений в конформном пространстве 01. 01. 04 геометрия и топология

Классическая дифференциальная геометрия iconСеминар " Геометрия в Одессе-2005. Дифференциальная геометрия и ее приложения"
Информируем вас, что с 23 по 29 мая 2005г в Одесской национальной академии пищевых технологий состоится Международный семинар
Классическая дифференциальная геометрия iconДифференциальная геометрия и тензорный анализ

Классическая дифференциальная геометрия iconДифференциальная геометрия и топология
Хаусдорфовость. Нормальность. Лемма Урысона. Формулировка теоремы Титце о продолжении. Разбиение единицы
Классическая дифференциальная геометрия iconПрограмма дисциплины «дифференциальная геометрия и топология»
Одобрена на заседании кафедры геометрии, топологии и методики преподавания математики
Классическая дифференциальная геометрия iconДифференциальная геометрия
Кривые на плоскости и в пространстве: длина кривой, окружность кривизны, эволюта, кручение, формулы Френе
Классическая дифференциальная геометрия iconРабочая программа по спецкурсу «Дифференциальная геометрия»
Разработала: кандидат педагогических наук, доцент кафедры момиит малинникова Н. А
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org