Лекция Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Основные вопросы. Скалярное произведение двух векторов



Скачать 114.45 Kb.
Дата09.10.2012
Размер114.45 Kb.
ТипЛекция
Тема 4. Умножение векторов.
Лекция 9. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.

Основные вопросы.
1. Скалярное произведение двух векторов.

1.1 Основные свойства скалярного произведения.

1.2 Скалярное произведение в координатной форме.

1.3 Приложения скалярного произведения.

2. Векторное произведение двух векторов.

2.1 Основные свойства.

2.2 Векторное произведение в координатной форме.

2.3 Приложения векторного произведения

3. Смешанные произведения векторов.

3.1 Смешанные произведения векторов в координатной форме.
1. Скалярное произведение векторов
В векторной алгебре рассматриваются два вида произведения двух векторов: скалярное или векторное. Результатом скалярного умножения двух векторов является число (скаляр); результатом векторного умножения двух векторов является вектор.
Определение 1. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла φ между векторами (рис.4.1).
Замечание 1. Скалярное умножение нельзя распространить на случай трех векторов-сомножителей, так как результатом его будет уже вектор, а не число.



φ

0

Рис. 4.1. К понятию скалярного произведения
Для обозначения скалярного произведения вектора на вектор упот-ребляется одна из записей : .

Согласно определению имеем

(1)

Заметив, что согласно рис. 3.1

,

равенство (1) можно записать в виде



или

.

Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно длине од-ного вектора, умноженной на проекцию второго на направление первого.

Итак, в результате скалярного произведения получается число (скаляр), а не новый вектор .
Замечание 2. Действия, обратное скалярному умножению, т.е. деле-ние вектора на вектор, невозможно и приводит к неопределенности такого действия.
1.1 Основные свойства скалярного произведения
1. Скалярное произведение равно нулю в том и только в том случае, ес-ли векторы перпендикулярны (или хотя бы один из них равен нулю), т.е.
условие ортогональности двух векторов , что равносильно .

2. - скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля .

3. Скалярное произведение коммутативно, т.е. не зависит от порядка сомножителей (переместительное свойство) : .

4. Скалярный (числовой) множитель можно выносить за знак скаляр-ного произведения (сочетательное свойство относительно скаляра) :

или .

5. Распределительное свойство, т.е. для трех векторов имеет место ра-венство : . Это означает, что при скалярном умножении суммы векторов на вектор можно «раскрыть» скобки. На основании изложенных свойств скалярное произведение ортов :



Свойства 3,4,5 позволяют применять к скалярным произведениям те же пре-образования, какие выполняются в обычной алгебре над произведениями многочленов.

Пример 1. Векторы и образуют угол , причем ; . Вычислить .
Решение.



.
1.2 Скалярное произведение в координатной форме
Возьмем два вектора, заданных в координатной форме :

и перемножим их скалярно. Правые части можно перемножить по правилу умножения многочлена на многочлен, так как скалярное произведение подчиняется распределительно-му закону (свойству) :

Итак,

(2) т.е. скалярное произведение двух векторов в ортонормированном базисе равно сумме парных произведений одноименных координат этих векторов.

Для скалярного квадрата имеем .

Откуда модуль (длина) вектора равен корню квадратному из суммы квад-ратов его координат, т.е. или

.

Согласно свойству 1 и равенству (2) можно записать условие перпенди-кулярности (ортогональности) двух векторов в координатной форме

(3)
1.3 Приложение скалярного произведения к геометрии и механике
1. Угол между двумя векторами.

Из определения скалярного произведения следует, что

(4)

Если векторы заданы своими координатами в ортонормированном ба-зисе : , то

(5)

2. Направление вектора.

Направление вектора определяется, как было установлено, его направ-ляющими косинусами (рис. 4.2.).

Рис. 4.2. К определению направления вектора
Положить в формулах (4) и (5) и отметив, что и его коор-динаты {1; 0; 0} находим

(6)

Аналогично, взяв и , получим

;

При этом

(7)

Направляющие косинусы вектора полностью определяют его направ-ление, но ничего не говорят о его длине.


Примеры :

1. Найти угол φ между векторами .
Решение. Искомый угол определим на основе формул (4) и (5) :



Следовательно, угол φ=900 и векторы и ортогональны (перпен-дикулярны).

Выводы :
1. Скалярное произведение распространяется на случай двух векторов – сомножителей и не распространяется на случай трех сомножителей.

2. Физический смысл скалярного произведения заключается в том, что скалярное произведение численно равно работе А силы по направ-ленному отрезку .

3. К скалярным произведениям применяются те же преобразования, ка-кие осуществляются над произведениями многочленов («раскрытие» скобок, вынесение общего множителя).

2. Векторное произведение двух векторов
Определение 1. Векторным произведением двух неколлинеарных век-торов и называется такой вектор который удовлетворяет трем условиям (рис.4.4).

Имеет модуль

1) ; (9)

2) т.е. перпендикулярен к плоскости векторов и ;

3) направлен так, чтобы тройка векторов , , бы-ла правой.

Обозначение : =× или



φ

Рис.4.4. К понятию векторного произведения.
Замечание.

1. Приведенные условия однозначно определяют векторное произведение, если сомножители – ненулевые векторы. Если хоть один из сомножителей – нулевой вектор, то векторное произведение равно нулю.

2. Модуль векторного произведения численно равен площади парал-лелограмма (рис. 4.4), построенного на векторах и .
2.1 Основные свойства.
1. Векторное произведение двух векторов равно нуль – вектору, если

векторы коллинеарны или один из них или оба - нуль-векторы равносильно . Равенство исключает необходимость вводить понятие «векторного квадрата».

2. Векторное произведение не обладает переместительным свойством, т.е. антикоммутативно.

3. Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведе-ния (свойство сочетательности (ассоциативности) относительно скаляра)

или .

4. Распределительное свойство (свойство дистрибутивности) :



Это свойство имеет место для любого числа слагаемых.
Пример 3.



, так как .
2.2 Векторное произведение в координатной форме.
Рассмотрим сначала векторное произведение ортов, например : .

В общем случае это можно изобразить схемами и составить таблицу (рис.4.5)

а) + б)







-





в)

+









0



-



-

0







-

0




Если направление кратчайшего пути от 1-го вектора ко 2-му сов-падает с направлением стрелки, то произведение равно 3-му вектору; если не совпадает, то 3-й вектор берется со знаком минус.



Рис. 4.5. Схема вычисления векторных произведений ортов
Пусть даны векторы в правой системе координатных осей

Найдем

Вполне очевидно, что



Полученную формулу обычно представляют в виде символического опреде-лителя 3-го порядка, который раскрывается по элементам первой строки.

Итак,

(10)
Замечание 3. Равенство нулю этого определителя представляет собой условие коллинеарности векторов.
Пример 4. Дано: . Найти , т.е. координаты вектора =×.
Решение. 1-ый способ :

1)

2)
2-ой способ :

1) Раскрывая скобки и пользуясь схемой (рис.4.5), упростим выражение


2.3 Приложения векторного произведения.

Вычисление площади параллелограмма и треугольника. Из геометрии известно, что площадь треугольника



Откуда

(12)

1) Сначала найдем векторное произведение

.

2) Вычислим модуль полученного вектора



Удвоенная площадь такого треугольника будет равна площади параллелог-рамма, построенного на векторах и .

т.е. (13)
Пример 5. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

.
Решение.

1)

2)
Выводы :

1. Согласно определениям скалярное произведение двух векторов есть число, а их векторное произведение – вектор.

2. Из выражений скалярного и векторного произведений векторов через их координаты устанавливаются условия взаимного расположения векторов в координатной форме :
- условие коллинеарности векторов



- условие ортогональности векторов


3. На основе приложений векторного произведения к геометрии и фи-зике :
а) геометрический смысл векторного произведения заключается в том, что модуль векторного произведения двух векторов есть площадь па-раллелограмма, построенного на этих векторах;

3. Смешанное произведение

Определение и геометрический смысл.
Определение. Смешанным (векторно-скалярным) произведением век-торов называется число, которое получается в результате умножения векторного произведения скалярно на вектор и обозначаемое через .

Согласно определению =.

Дадим геометрическое истолкование смешанного произведения. Пусть векторы не компланарны. Построим на этих векторах парал-лелепипед П



Пусть тогда т.е. равен площади парал-лелограмма S, лежащего в основании параллелепипеда. Если рассмотреть скалярное произведение , тогда есть высота h параллелепипеда, так как . Но строго говоря, . Поэтому или , где VП – объем искомого параллелепипеда. Таким образом, смешанное произ-ведение трех некомпланарных упорядоченных векторов по абсолютному значению равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком плюс или минус в зависимости от того од-ноименна или разноименна (правая или левая) тройка векторов с тройкой ба-зисных векторов . В этом и состоит геометрический смысл смешанного произведения.
Свойства смешанного произведения.
1. Круговая перестановка трех векторов-множителей смешанного произ-ведения не меняет его значения. Перестановка же двух соседних сомножите-лей меняет знак произведения на противоположный, т.е.








2. Операции скалярного и векторного произведений в смешанном произ-ведении можно менять местами, т.е. справедливо тождество

.
3. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов яв-ляется равенство нулю их смешанного произведения, т.е. .

Это означает, что параллелепипед выродился в плоскость.
3.1 Смешанное произведение в координатной форме
Пусть .

Тогда



(5)
Пример 1. Даны векторы

Определить : .
Решение.


Ответ : 1) векторы компланарны, так как ;

2) векторы составляют правую тройку, так как 3 >0 ;

3) объем VП =3 куб. ед.
В заключении можно отметить, что смешанное произведение применяется, помимо вычисления объема параллелепипеда, также для вычисления объема пирамиды, построенной на векторах (тетраэдра) :

.

Похожие:

Лекция Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Основные вопросы. Скалярное произведение двух векторов iconСкалярное произведение векторов 9кл (сам работа)
Вычислите скалярное произведение векторов а и b, если = 2, = 3, а угол между ними равен 120о
Лекция Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Основные вопросы. Скалярное произведение двух векторов iconПрограмма курса «Алгебра и геометрия»
Смешанное произве­дение векторов. Смешанное произведение как ориентированный объем. Критерий компланарности векторов. Свойства смешанного...
Лекция Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Основные вопросы. Скалярное произведение двух векторов iconВ ноябре 2010 года на олимпиаде по математике будут предложены задачи из следующих разделов
Векторы и действия над ними. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов
Лекция Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Основные вопросы. Скалярное произведение двух векторов iconРешение задач по теме «Скалярное произведение векторов»
...
Лекция Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Основные вопросы. Скалярное произведение двух векторов iconЛекции 1 лекция. Пространство r 3
Пространство R3 арифметических векторов и геометрические векторы. Деление отрезка в заданном отношении. Скалярное произведение векторов....
Лекция Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Основные вопросы. Скалярное произведение двух векторов iconВекторное и смешанное произведение векторов
Определение Векторным произведением двух векторов α и в называется вектор с, обозначаемый символом а х в или [а x в] и удовлетворяющий...
Лекция Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Основные вопросы. Скалярное произведение двух векторов iconУрок решения ключевых задач по теме «Скалярное произведение векторов» в 9 классе. Тема урока: Скалярное произведение векторов. Тип урока: Урок решения ключевых задач. Учебная задача: Выделить
Отметим произвольную точку на плоскости и откладываем от неё лучи, параллельные двум векторам
Лекция Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Основные вопросы. Скалярное произведение двух векторов iconОсновы 3D математики: Векторные и матричные преобразования. (краткий обзор)
Скалярное произведение 2х векторов произведение длин 2х векторов на cos угла между ними
Лекция Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Основные вопросы. Скалярное произведение двух векторов iconМатериалы для практических занятий и самостоятельной работы по аналитической геометрии
Модуль 1: Векторы. Линейные операции над векторами. Базис. Координаты вектора. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов....
Лекция Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Основные вопросы. Скалярное произведение двух векторов iconПрограмма по аналитической геометрии и топологии. Раздел I: Векторная алгебра
Смешанное произведение векторов, свойства, выражение в координатах. Геометрический смысл скалярного, векторного и смешанного произведений,...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org