"Основные понятия и аксиомы стереометрии. Параллельность прямых и плоскостей"



Скачать 43.03 Kb.
Дата26.11.2012
Размер43.03 Kb.
ТипДокументы
Материалы по теме
"Основные понятия и аксиомы стереометрии. Параллельность прямых и плоскостей"


Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» — объемный, пространственный и «μετρεο» — измерять.

Простейшие фигуры в пространстве: точка, прямая, плоскость.

Плоскость.
Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны.



На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области и обозначаются греческими буквами α, β, γ и т.д. Точки А и В лежат в плоскости β (плоскость β проходит через эти точки), а точки M, N, P не лежат в этой плоскости. Коротко это записывают так: А ∈ β, B ∈ β,



Аксиомы стереометрии и их следствия

Аксиома 1.
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.




Аксиома 2.
Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую).



Из аксиомы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.



Аксиома 3.
Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

В таком случае говорят, плоскости пересекаются по прямой.

Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты.




Некоторые следствия из аксиом

Теорема 1.
Через прямую a и не лежащую на ней точку А проходит плоскость, и притом только одна.




Теорема 2.
Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна.




Параллельные прямые в пространстве

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Теорема о параллельных прямых.

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.



Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми.

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.



Теорема о трех прямых в пространстве.

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (если ac и bc, то ab).



Параллельность прямой и плоскости

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости


Теорема.

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.



Теорема.
Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Теорема.
Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.





Взаимное расположение прямых в пространстве







Пересекающиеся прямые:
лежат в одной плоскости, имеют одну общую точку.

Параллельные прямые:
лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются)

Скрещивающиеся прямые:
не лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются)




Параллельность плоскостей
Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, т.е. не имеют ни одной общей точки. α∥β.







Признак параллельности двух плоскостей

Теорема.
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости , то эти плоскости параллельны.
Если аа1 и bb1, то α∥β.





Свойства параллельных плоскостей



Если α∥β и они пересекаются с γ, то аb.

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.



Если α∥β и AB∥CD, то АВ = CD.

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Похожие:

\"Основные понятия и аксиомы стереометрии. Параллельность прямых и плоскостей\" iconАксиомы стереометрии. Параллельность прямых и плоскостей
Прямая ро, не лежащая в плоскости авс, параллельна стороне ав параллелограмма авсd. Выясните взаимное расположение прямых ро и аd...
\"Основные понятия и аксиомы стереометрии. Параллельность прямых и плоскостей\" iconСамостоятельная работа при изучении нового материала. Работу над темой «Параллельность плоскостей»
Список задач минимального обязательного уровня (первый уровень). Десять опорных задач из разделов темы: параллельность прямых, параллельность...
\"Основные понятия и аксиомы стереометрии. Параллельность прямых и плоскостей\" icon"параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей"
Сегодня мы изучаем свойства перпендикулярности и параллельности прямых и плоскостей, докажем теоремы, устанавливающие связь между...
\"Основные понятия и аксиомы стереометрии. Параллельность прямых и плоскостей\" icon«Аксиомы стереометрии и некоторые следствия из них» Вопросы. Три аксиомы стереометрии: сформулировать аксиомы
...
\"Основные понятия и аксиомы стереометрии. Параллельность прямых и плоскостей\" iconПараллельность прямых и плоскостей. Параллельность плоскостей
Две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости
\"Основные понятия и аксиомы стереометрии. Параллельность прямых и плоскостей\" icon«Параллельность в пространстве»
Цель урока: отработать основные понятия об объектах стереометрии и их отношениях
\"Основные понятия и аксиомы стереометрии. Параллельность прямых и плоскостей\" icon«Параллельность прямых и плоскостей»
Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми без доказательства (стр. 10)
\"Основные понятия и аксиомы стереометрии. Параллельность прямых и плоскостей\" iconПараллельность прямых и плоскостей в пространстве
Прямая а параллельна плоскости α. Сколько прямых, лежащих в плоскости α, параллельна прямой а? Параллельны ли друг другу эти прямые,...
\"Основные понятия и аксиомы стереометрии. Параллельность прямых и плоскостей\" iconВопросы коллоквиума по геометрии для ИиМ-1 (1 семестр) доц. Абруков Д. А
Параллельность прямых, лучей и плоскостей. Направление. Признак эквиполлентности направленных отрезков
\"Основные понятия и аксиомы стереометрии. Параллельность прямых и плоскостей\" iconВопросы экзамена по геометрии для ИиМ-1 (1 семестр) доц. Абруков Д. А
Параллельность прямых, лучей и плоскостей. Направление. Признак эквиполлентности направленных отрезков
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org