Множества, отображения, логика



страница1/6
Дата26.11.2012
Размер0.77 Mb.
ТипДокументы
  1   2   3   4   5   6
МИНЕСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ»


МНОЖЕСТВА, ОТОБРАЖЕНИЯ, ЛОГИКА

методические указания

к практическим занятиям

для студентов специальностей

ССО, РВ, ИСТ


Тюмень 2005

§ 1. Структура математики
Любая теоретическая дисциплина рождается из практики и ею же проверяется, отвечая на три главных вопроса — что? для чего? как? Это относится и к математике, которая имеет: содержание (что?), цель (для чего?) и технологию исследований (как?). Под содержанием понимается триада: Содержание = [множества  алгоритмы  логика].

1.1. Математика изучает абстрактные модели с целью установить истинность утверждений не на основании опыта и наблюдения (как это делается в естественных науках), а выводится (дедуцируется) из небольшого числа исходных утверждений. Состав математики порождена триадой:

Состав = [понятия  утверждения  доказательства].

1.2. Понятия делятся на неопределяемые понятия, неопределяемые отношения и определяемые понятия. Неопределяемые понятия (например, точка, прямая, плоскость, число) и неопределяемые отношения (например, отношение  «принадлежать») являются основой для введения определяемых понятий. Они вводятся в математике с помощью определений, которые имеют специальную структуру, удовлетворяющую некоторым требованиям (см. п. 4.21).

1.3. Утверждения делятся на: 1) аксиомы; 2) теоремы; 3) приложения.

1.4. Аксиома — это утверждение, принимаемое без доказательства.1

1.5. Теорема доказывается логическим путем с помощью аксиом или уже доказанных теорем.2 При доказательствах применяются так называемые правила вывода (см. п. 4.19).

1.6. Приложение математической теории может осуществляться в виде готовых формул, теорем или алгоритмов: 1) для решения инженерной задачи, 2) в других науках, 3) внутри самой математики. Первичной же движущей силой существования теорем является практика, конкретная инженерная задача.3

1.7. Пример. В теореме: «Если целое число делится (без остатка) на 4, то оно — четное» условием служит предложение А = «целое число делится на 4», заключением — предложение В = «это число — четное».
Логическая структура этой теоремы имеет вид: «Если А, то В».■
§ 2. Множества

2.1. Краеугольным камнем математики является теория множеств, которую создал Г. Кантор (о нем Д. Гильберт сказал: «Никто и никогда не изгонит нас из его рая»).

2.2. В триаде

Теория множеств = [множества  элементы  принадлежность]
понятия множество, элемент, принадлежность являются неопределяемыми. Для любого элемента х и любого множества М есть ровно две альтернативы:

либо х принадлежит М (обозначение: хМ),

либо х не принадлежит М (обозначение: хМ).

Среди множеств особняком стоит пустое множество , которому, по определению, не принадлежит никакой элемент. Это означает, что для любого элемента х следует: х.

Два множества А и В равны (тождественны, совпадают), А = В, тогда и только тогда, когда каждый элемент А является элементом В и обратно. Это значит, что множество однозначно определяется своими элементами. Кроме того, из определения равенства множеств следует, что пустое множество единственное.

Множество считается заданным, если перечислены все его элементы, при этом перечисляемые элементы заключаются в фигурные скобки.

Множество называется конечным, если оно состоит из конечного числа элементов, и бесконечным в противном случае. Число элементов конечного множества G обозначается и называется его мощностью.

2.3. Пример. Z2 = {0, 1} — множество всех цифр двоичной системы счисления; при этом 0 Z2, 1 Z2, 7 Z2; . ■

2.4. Пример.

 = {, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , }

— множество всех букв греческого алфавита; .■

2.5. Пример. Z10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} — множество всех цифр десятичной системы счисления; .■

2.6. Пример. D = {x Z10 | x — чётное число} — множество всех чисел хZ10, таких, что x — чётное число. В другой записи, D = {0, 2, 4, 6, 8}. Знак | читается «такой, что»; причем слева от него указывается родовой признак (x Z10) элементов множества D, а справа записывается их характеристическое свойство видовое отличие (x — чётное число).■

2.7. Среди множеств особо выделяются стандартные числовые множества, которые обозначаются жирными прямыми заглавными буквами:

N = {1, 2, 3, …} — множество натуральных чисел,

Z = {… 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, …} — множество целых чисел,

Q = , — несократимая дробь} — множество рациональных чисел,

R — множество действительных чисел4,

С = {x + yi | x, yR, i2 = 1} — множество комплексных чисел.

2.8. Множество А, все элементы которого принадлежат и множеству В, называется подмножеством множества В. Это отношение между множествами называют включением и обозначают символом , т.е. АВ (А включено, содержится в В) или ВА (В включает, содержит А). Для множеств п. 2.7 справедлива цепочка включений: NZQRC.

Любое множество А содержит себя, АА.

Считается, что   А для любого множества А.

Если АВ и ВА, то А = В. Обратно, если А = В, то АВ и ВА.

Среди подмножеств любого непустого множества А всегда имеется два несобственных подмножества: пустое множество  и само множество А. Остальные подмножества называются собственными. Конечные собственные подмножества образуются всевозможными сочетаниями по одному, по два, по три, и т.д. элементов данного множества.

Множество, элементами которого являются все подмножества множества А, называют множеством подмножеств (множеством-степенью) А и обозначают P (A). Так, для множества Z2 из п. 2.3

P (Z2) = {, {0}, {1}, Z2}.

Если А — конечное множество, то | P (A)|= 2|A|. Действительно, пусть n = | A |. Тогда мы можем занумеровать элементы А от 1 до n и каждому подмножеству приписать упорядоченный набор длины n, записанный с помощью двух цифр 0 (если элемент не принадлежит подмножеству) и 1 (если элемент принадлежит подмножеству). Так как разным подмножествам соответствуют различные наборы длины n, то число подмножеств А равно числу таких наборов, т.е. | P (A)|= 2n.

В частности, | P ()|= 2|| =20 = 1.

2.9. Декартовым (прямым) произведением множеств А и В называется множество всех упорядоченных пар вида (х, у), таких, что первый элемент х этой пары принадлежит множеству А, а второй элемент у —множеству В. Декартово произведение множеств А и В обозначается А В (читается «А крест В»):

.

Вообще говоря, А В ВА.

Если В = А, то декартово произведение А А = А2 (читается «А крест А равно А два») двух экземпляров множества А называется декартовым квадратом (второй декартовой степенью) множества А. Обобщая вторую декартову степень, определим любую натуральную декартову степень Аn множества А следующим образом:

.

(Запись означает, что индекс i принимает все возможные целочисленные значения от 1 до n.) Так, например, множество называется n-мерным арифметическим пространством; в частности, 1-мерное арифметическое пространство R называется числовой прямой, 2-мерное пространство R2числовой плоскостью, 3-мерное пространство R3числовым пространством.

2.10. Пример. Пусть А — множество дней недели, т.е. А = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, В = {, , } — множество студентов, работающих на данном компьютере. Тогда

.

Так как , , то мы подмечаем, что . Это частное наблюдение позволяет перейти к правилу произведения, которое справедливо для конечных множеств:

. ■

2.11. Пересечением множеств А и В называется множество

AB = {x | xA и xB}.

Говорят, что множества А и В не пересекаются, если их пересечение пусто: AB = .





2.12. Объединением множеств А и В называется множество

AB= {x | xA или xB}.

2.13. Разностью множеств А и В называется множество

= {x | xA и xB}.

2
.14. Дополнение.
В частности, если ВI, то разность называется дополнением множества В до множества I и обозначается или просто , (иногда или ) когда из контекста ясно объемлющее множество I, называемое еще универсумом.

2.15. -алгебра. Сигма-алгеброй (-алгеброй) называют непустую систему B подмножеств некоторого множества I, удовлетворяющую следующим двум условиям.

  1. Если АB, то B.

  2. Если А1, А2, …, Аn, … B, то

А1 А2 …∩ Аn ∩ …B ,

А1 А2 …∪ Аn ∪ …B.

Поскольку А = I и , то I,   B.

Примечание: -алгебра лежит в основе аксиоматического построения теории вероятностей, в которой событиями называются элементы -алгебры.
Упражнения и задачи
2.1. Какие из приведенных ниже соотношений неверны и почему?

а)   {1, 2}; б) {}  {, 1, 2}; в)   {, 1, 2}; г) |  | = |{}|; д) | P (P ()) | = 2; е) {1, 2}  {0, 1, 2, {1, 2}}; ж) {1, 2}  {0, 1, 2, {1, 2}}, з) х  {2, a, x}; и) 3  {1, {2, 3}, 4}; к) х  {1, sin x}; л) ,   {{, }, {, }}; м) 1  {1, {1}}, н) {nN | 2n + 3k = 12 для подходящих kN} = {3, 6}.

2.2. Перечислить все элементы множества P ({, , }).

2.3. Верно ли, что АВАВ? Ответ обосновать.

2.4. Доказать, что для конечных множеств справедливо равенство

| A | + | B | = | AB | + | AB |.

2.5. Доказать, что | A \ B | = | A | – | AB | для любых конечных множеств.

2.6. Найти АВ, АВ, А\В, если А = {2k| k = 0..6} и B = {т2| т = 0 .. 8}.

2.7. Найти множество всех двухэлементных подмножеств множества  = {, , }.

2.8. Привести примеры элементов из пересечения множества правил русского языка с множеством правил английского языка.

2.9. Известно, что  = {, , }, пересечение  и  равно {, }, объединение  и  равно {, , , , }. Найти множество .

2.10. Дано множество  всех вертикальных прямых трехмерного евклидова пространства. Каким может быть множество  всех прямых, пересекающих данную прямую?

2.11. Найти пересечение С множества А решений уравнения х2 – 1 = 0 с множеством В решений уравнения 2х2 – 3х – 5 = 0. Совпадает ли С с множеством P решений системы Совпадает ли С с множеством Q решений совокупности Как связаны P, Q c A, B?

2.12. Приняв множество первых 20 натуральных чисел в качестве универсума, запишите следующие его подмножества: A — четных чисел, B — нечетных чисел, C — квадратов чисел, D — простых чисел. В каких отношениях находятся эти подмножества?

2.13. Запишите множества, полученные в результате следующих операций над множествами из задачи 2.12: АВ, AВ, АС, АD, C \ A, C \ B, C. Сформулируйте характеристические свойства каждого из полученных множеств.

2.14. Пусть М1 и М2 — соответственно множества деталей первого и второго механизмов, а P — множество пластмассовых деталей. Запишите в виде теоретико-множественных соотношений следующие условия.

а) Среди деталей первого механизма имеются все пластмассовые детали.

б) Одинаковые детали, входящие в оба механизма, могут быть только пластмассовыми.

в) Во втором механизме нет пластмассовых деталей.

2.15. Является ли совокупность полученных в предыдущей задаче соотношений непротиворечивой? Если да, то можно ли ее упростить?

2.16. Найти ошибку в следующей фразе: «Пусть Нмножество всех множеств, каждое из которых не содержит себя в качестве элемента. Выполнимо ли отношение НН?».

Решение. Если НН, то Н не должно содержать себя как элемент: НН. Если НН, то НН. Получившийся парадокс приходится устранять языковыми средствами: следует называть Н не множеством, а классом. Рассмотренный парадокс из той серии, к которой принадлежит парадокс о брадобрее: «Должен ли брадобрей брить себя, если он бреет только тех, кто сам не бреется?» и парадокс типа «Может ли Всемогущий создать такой камень, который он сам не сможет поднять?».




Задание 1. Даны множества А = {n Z| pnq}, В = {n Z| rns} (табл. 1). На числовой прямой R изобразить множества А, В, А В, А В, А \ B, B \ A, а на числовой плоскости R2 — множество АВ.


Таблица 1



p

q

r

s



p

q

r

s



p

q

r

s



p

q

r

s



p

q

r

s

1

3

7

0

5

7

1

5

0

9

13

3

9

1

5

19

3

9

1

7

25

1

5

2

8

2

4

6

2

5

8

2

7

1

8

14

4

8

0

7

20

4

9

2

6

26

2

7

0

9

3

5

8

1

7

9

3

6

2

7

15

5

7

2

6

21

1

8

0

9

27

3

6

1

7

4

1

9

0

7

10

4

5

1

8

16

3

8

0

5

22

3

7

1

5

28

4

5

2

5

5

2

8

1

6

11

5

8

0

5

17

1

5

1

8

23

5

8

2

8

29

5

8

0

7

6

4

6

0

5

12

6

9

2

4

18

1

6

2

9

24

1

8

0

6

30

6

9

2

7



  1   2   3   4   5   6

Похожие:

Множества, отображения, логика iconФакультет
Отображения множеств. Счетные и несчетные множества. Функции множества. Мера множества. Измеримые множества и функции. Интеграл Лебега....
Множества, отображения, логика iconУчебно-методическое пособие Саранск 2012 Отображения. Функции Сведения из теории
Пусть даны некоторые множества и. Бинарное соответствие из в называется отображением множества в множество, если
Множества, отображения, логика iconМатематический анализ
Множества. Декартово произведение двух множеств. Отображения функции, обратная функция. Эквивалентность множеств. Счетность множества...
Множества, отображения, логика iconПрограмма курса дифференциальная топология и риманова геометрия
Топология, топологическое пространство. Гомеоморфизм, сравнение топологий. Открытые и замкнутые множества. Внутренность, замыкание...
Множества, отображения, логика iconГруппы: мк-301, мт-301
Понятия множества и отображения, способы задания множеств. Алгебра множеств и подмножеств. Теорема об отображении множества самого...
Множества, отображения, логика icon1 Содержание дисциплины
Множества, подмножества. Булевы операции над множествами и их свойства. Законы Д’Моргана. Отношения, функциональные отношения, отображения....
Множества, отображения, логика iconМножества и операции со множествами. Понятие множества и мультимножества
Цель таких описаний отразить важнейшие (атрибутные) свойства множества, а именно: разли­чимость всех частей множества, неупорядоченность...
Множества, отображения, логика iconПрограмма государственного экзамена Направление подготовки 230400 «Прикладная математика»
Отображения. Инъективные, сюръективные и биективные отображения. Теорема о произведении (композиции) отображений. Критерий существования...
Множества, отображения, логика icon1-й и 2-й семестры Множества и отображения
Множество и его элементы. Примеры множеств. Отношение включения и его свойства. Операции над множествами: пересечение, объединение,...
Множества, отображения, логика iconРоберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории

Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org