Точно датировать возникновение важнейших понятий — целого числа, величины, фигуры — невозможно. Когда возникла письменность, представление о них уже сложилось. К этому времени были выработаны и различные системы письменной нумерации целых чисел.
2000 − 1700 гг. до н. э. — первые дошедшие до нас математические тексты: два египетских папируса и многочисленные глиняные таблички из древнего Вавилона, содержащие формулировки и решения задач. Египтяне пользовались десятичной непозиционной нумерацией и дробями с числителем 1 («основные» дроби). У вавилонян была шестидесятеричная позиционная система счисления без нуля и систематические шестидесятеричные дроби. Позднее, в середине первого тысячелетия до н. э., вавилоняне ввели знак для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда. Геометрия в Вавилоне и в Египте была по преимуществу вычислительной. Так, были известны правила вычисления площадей треугольника по стороне и высоте, круга по его радиусу (вавилоняне брали при этом в качестве число 3, а египтяне число 3.16), а также объем пирамиды и усеченной пирамиды с квадратным основанием. Вавилоняне знали, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, а также обратное предложение. По-видимому, оба эти предложения были открыты ими на примерах и доказывать их в общем виде они еще не умели.
Наиболее замечательное достижение этого периода — создание в древнем Вавилоне элементов алгебры и открытие правила решения квадратных уравнений. Вавилоняне умели также находить приближенные значения квадратных корней из неквадратных чисел. Им были известны формулы суммы арифметической прогрессии и суммы квадратов натурального ряда.
Математические знания излагались в эту эпоху в виде рецептов, правильность которых не доказывалась; обычно приводились однотипные числовые примеры и их решения. Математики как науки еще не было.
Возникновение математики как науки. Построение первых математических теорий (математика древней Греции)
VI в. до н. э. — систематическое введение логических доказательств, явившееся переломным моментом в развитии математики. В Пифагорейской научной школе было начато построение геометрии как отвлеченной науки, истины которой выводятся из немногих исходных аксиом с помощью доказательств. К пифагорейцам восходят первые математические теории: планиметрия прямолинейных фигур (включая строгое доказательство знаменитой теоремы Пифагора) и элементы теории чисел (введение понятий простого числа, взаимно простых чисел, исследование теории делимости, построения совершенных чисел). В этой же школе были открыты четыре из пяти правильных тел: куб, тетраэдр, октаэдр и додекаэдр.
V в. до н. э. — в Пифагорейской школе сделано величайшее открытие о несоизмеримости стороны квадрата и его диагонали. Оно показало, что рациональных чисел (т. е. целых чисел и дробей) недостаточно для измерения геометрических величин и обоснования учения о подобии. Благодаря этому открытию возникла необходимость создания теории отношений как соизмеримых, так и несоизмеримых геометрических величин.
V в.до н. э. (вторая половина) — создана так называемая геометрическая алгебра, которая давала возможность в общем виде решать задачи, сводящиеся к квадратному уравнению или последовательности таких уравнений, чисто геометрически, с помощью циркуля и линейки. Геометрическая алгебра играла в античной математике роль нашей буквенной алгебры, но аппарат ее был гораздо менее удобен.
В это же время были сформулированы три знаменитые задачи древности:
удвоение куба (построить куб, имеющий объем в два раза больший данного),
квадратура круга (построить квадрат, равновеликий данному кругу).
Все эти построения, как было доказано в XIX в., невозможны с помощью циркуля и линейки. Древние использовали для их решения новые кривые: конические сечения (эллипс, гиперболу и параболу) и квадратрису (первую трансцендентную кривую). В поисках квадратуры круга Гиппократ Хиосский открыл квадрируемые луночки (получившие название гиппократовых), т. е. фигуры, ограниченные дугами окружностей, для которых можно построить равновеликие им квадраты.
В конце V в. Гиппократ составил первые «Начала» — систематическое изложение основ математики своего времени. Труд этот до нас не дошел.
IV в. до н. э. (первая половина) — афинский математик Теэтет предпринял исследование алгебраических иррациональностей и начал классификацию их. Он определил простейшие классы квадратичных иррациональностей, такие, как , ... , которые были впоследствии описаны в «Началах» Евклида. Он показал также, что иррационален, если а не является кубом.
IV в. до н. э. (середина) — великий математик и астроном древности Евдокс из Книда создает общую теорию отношений для любых однородных величин (как соизмеримых, так и несоизмеримых). Эта теория совпадает по существу с теорией действительных чисел, предложенной в конце XIX в. Р. Дедекиндом. Для определения площадей и объемов Евдокс разработал так называемый метод исчерпывания. В основе обеих теорий лежало общее учение о величинах. Величины определялись аксиоматически, причем впервые была сформулирована важнейшая аксиома, известная ныне под названием аксиомы Архимеда: если а> b, то можно повторить b столько раз, что nb>а. С помощью новых методов Евдокс впервые доказал, что конус равновелик 1/3 цилиндра, имеющего одинаковые с ним основания и высоту, а пирамида равновелика 1/3 соответствующей призмы. Он доказал также, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров.
300 г. до н. э. — Евклид создает свои «Начала», в которых подводит итог всему предшествующему развитию античной математики. Метод изложения «Начал» получил название дедуктивного и стал образцом для построения математической теории. В «Началах» не только впервые систематически излагалась геометрия, но и элементы теории чисел, алгебры, теория отношений и метод исчерпывания. Здесь формулировался алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, доказывалось, что произведение двух простых чисел pq не может делиться ни на какое третье простое число, а также устанавливалось, что простых чисел бесконечно много. В «Началах» впервые встречается строгий вывод формулы суммы конечного числа членов геометрической прогрессии и показывается, что существует только пять правильных тел: куб, тетраэдр, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр — и никаких других правильных тел нет.
III в. до н. э. — Архимед разрабатывает методы нахождения площадей и объемов, а также методы определения касательных и наибольших и наименьших значений величин, которые он применил для решения проблем статики, гидростатики и теории равновесия плавающих тел. Методы Архимеда легли в основу дифференциального и интегрального исчисления, созданного в XVII в.
III – II вв. до н. э. — Аполлоний систематически и всесторонне исследует конические сечения, развивая методы как аналитической, так и проективной геометрии. Его книги о конических сечениях послужили основой для создания аналитической геометрии Р. Декартом и П. Ферма (XVII в.), проективной геометрии Б. Паскалем и Ж. Дезаргом (XVII в.), а также явились математическим аппаратом при исследованиях по механике и астрономии И. Кеплера, Г. Галилея и И. Ньютона.
I – II вв. н. э. — широкое развитие вычислительно-алгебраических методов в античной математике.
I в. (конец) — Менелай создает систематический курс сферической геометрии, построенный по образцу «Начал» Евклида, и развивает сферическую тригонометрию.
II в. − Птолемей в своих астрономических трудах излагает плоскую и сферическую тригонометрию; он выводит формулу, равносильную
и составляет подробные таблицы хорд (вместо линии синуса древние рассматривали всю хорду). В таблицах Птолемей употреблял символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда. Возможно, что этот символ и явился прообразом нуля.
III в. н. э. — Диофант Александрийский, последний великий математик древности, пишет «Арифметику», в которой формулирует общие правила алгебры: правило переноса членов из одной части уравнения в другую и правило приведения подобных членов, а также правило умножения многочлена на многочлен, причем отмечает, что «вычитаемое на вычитаемое дает слагаемое». В этой книге впервые в истории науки вводится алгебраическая символика для обозначения неизвестного и первых его положительных и отрицательных степеней вплоть до шестой, а также для равенства и вычитания. Диофант развивает учение о решении неопределенных уравнений с целыми коэффициентами в целых или рациональных числах. Эти уравнения получили в современной математике название диофантовых.
Математика стран Дальнего, Среднего и Ближнего Востока
II в. до н. э. — создание древнейшего дошедшего до нас китайского математического трактата «Математика в девяти книгах», содержащего сведения по арифметике и геометрии. При решении задач в трактате применяется теорема Пифагора. Наиболее замечательным является единообразный метод решения системы линейных уравнений. При этом появляются отрицательные числа, для которых формулируются правила сложения и вычитания. В трактате излагается также алгоритм вычисления квадратных и кубических корней, аналогичный современному. Этот алгоритм в VII—XIII вв. был перенесен на случай вычисления корней общих уравнений третьей и четвертой степеней. Он совпадает в основном с так называемой схемой Горнера, полученной в Европе в XIX в.
Ill в. н. э. — в трактате Сунь Цзы встречаются именованные десятичные дроби.
V−VI вв. — создание в Индии десятичной позиционной системы счисления и введение в нее нуля как особой цифры.
499 г. — в астрономическом трактате Ариабхатты решается в целых числах неопределенное уравнение
ах+bу=с.
Около 628 г. — индийский астроном Брахмагупта, свободно оперируя отрицательными числами, дает единое правило для решения любого квадратного уравнения. Он же формулирует правила действий с нулем, который благодаря этому становится числом, равноправным с другими числами. Брахмагупта знал способ решения неопределенного уравнения
ах2+ 1 = y2
в целых числах. Обоснование этого метода было дано Л. Эйлером и Ж. Лагранжем в XVIII в. Брахмагупта широко пользовался алгебраической символикой: специальными знаками для обозначения неизвестных и их степеней, знаками для корня квадратного, для операций сложения и вычитания.
IX в. — среднеазиатский ученый Мухаммед ал-Хорезми подробно объясняет правила действия с числами, записанными в десятично-позиционной системе, и исследует квадратные уравнения. Слова «алгебра» и «алгоритм» впервые появились в переводе его трактатов. Первое из них означало операцию переноса членов из одной части уравнения в другую, а второе — искаженное имя автора (ал-Хорезми — Algorithmi); оно применялось первоначально только для обозначения правил вычисления по десятичной позиционной системе.
XI в. — математик и поэт Омар Хайям в трактате по алгебре систематически исследует не только уравнения первой и второй степеней, но и кубические. Решение их он строит геометрически при помощи пересечения параболы, гиперболы и окружности.
XII в.— индийский ученый Бхаскара-акарья сформулировал все правила действий с отрицательными числами и специально отметил, что корень квадратный из отрицательного числа не имеет действительных значений. Бхаскара отмечал также, что благодаря двузначности квадратного корня квадратное уравнение может иметь два решения.
XIIIв. — Насирэддин Туси систематически излагает сферическую геометрию, исследует все случаи решения сферического треугольника, в том числе и по трем углам его, развивает дальнейшие идеи Хайяма о сближении отношений с числами и подробно излагает теорию составных частей.
XV в. — Гийяс ад-Дин Джемшид ал-Каши, работавший в обсерватории Улугбека близ Самарканда, вводит и систематически использует десятичные дроби. Этим десятичная позиционная система была распространена для записи любых действительных чисел. Он вычислил число с точностью до 17 десятичных знаков. Ал-Каши сформулировал в общем виде правило возведения бинома в любую целую степень и описал способ извлечения корня любой степени.
Математика европейского средневековья и эпохи Возрождения
XII−XIII вв. — на латинский язык переводятся арабские и греческие сочинения по математике. Постепенно распространяется десятичная позиционная система.
XIII в. — Леонардо Пизанский (Фибоначчи) излагает новую позиционную нумерацию, дает сведения по алгебре и арифметике, рассматривает различные числовые ряды.
XIV−XV вв. — совершенствуются алгебраические обозначения, вводятся обозначения для степени, для радикала и степеней неизвестного.
XVI в. — первый крупный успех европейской математики: итальянские ученые С. Ферро, Н. Тарталья и Дж. Кардано решили уравнения третьей степени в радикалах и ученик Кардано, Л. Феррари, — уравнение четвертой степени.
1572 г. — в «Алгебре» Р. Бомбелли впервые рассматривает мнимые числа и формулирует правила действия с ними. Сами эти числа он трактует как символы, удобные для получения результатов относительно действительных чисел,
1685 г. — С. Стевин вводит систему десятичных дробей.
XVI в. (вторая половина) — французский математик Ф. Виет вводит буквенные обозначения для неизвестных и постоянных величин и создает математическую формулу.
Период математики переменных величин (XVII—XVIII вв.)
XVII в. − большие успехи делает механика земных и небесных тел, и в связи с этим возникают проблемы изучения зависимостей одних величин от других, проблемы определения скоростей, ускорений, площадей криволинейных фигур, центров тяжести и т. д. Для решения этих проблем в математике не было готового аналитического аппарата. Ученые начинают искать пути изучения переменных величин в математике, используя творения античных математиков. В результате в математику входит функциональная зависимость. С этих пор функция становится таким же основным объектом математики, как число и величина.
1614 г. — Д. Непер вводит логарифмы и публикует первые логарифмические таблицы. Несколько позднее таблицы логарифмов опубликовал Й. Бюрги.
1636−1637 гг. — Р. Декарт и П. Ферма вводят в математику метод координат, который позволяет сводить геометрические задачи к алгебраическим и изучать широкий класс функциональных зависимостей. Независимо друг от друга Декарт и Ферма начинают строить с помощью нового метода аналитическую геометрию.
1608−1650 гг. — развитие методов анализа бесконечно малых (методов определения объемов, площадей, центров тяжестей, касательных, экстремумов, скоростей, ускорений) в работах И. Кеплера, Б. Кавальери, Э. Торричелли, П. Ферма, Б. Паскаля, Дж. Валлиса и др.
30−40-е гг. XVII в. — П. Ферма закладывает основы теории чисел. Он формулирует знаменитые проблемы ее, которые в течение 200 лет были центральными в теоретико-числовых исследованиях.
70−80-е гг. XVII в. — И. Ньютон и Г. Лейбниц независимо друг от друга создают дифференциальное и интегральное исчисление и вводят в математический анализ основной его аппарат — бесконечные ряды. Ньютон распространил формулу возведения бинома в степень на случай, когда показатель степени — любое рациональное число.
1684 г. — выход в свет книги «Математические начала натуральной философии» И. Ньютона, в которой впервые было дано математическое построение основ классической механики земных и небесных тел.
1713 г. — Я. Бернулли формулирует и доказывает простейшую форму закона больших чисел — одного из основных законов теории вероятностей.
1748 г. — Л. Эйлер развивает учение о функциях как действительного, так и комплексного переменного. Эйлер подробно исследует элементарные функции хn, ах, logx, sinx, cosx, находит для них выражения в виде бесконечных рядов и определяет логарифмы отрицательных и мнимых чисел.
1770−1771 гг. — Ж. Лагранж написал знаменитый мемуар «Размышления об алгебраическом решении уравнений», в котором проанализировал все методы решения в радикалах уравнений первых четырех степеней и показал, почему все эти методы не годятся для решения уравнений пятой степени. Он открыл, что разрешимость уравнений в радикалах зависит от свойств группы перестановок корней этого уравнения, и тем самым обратил внимание на значение изучения групп.
1796 г. — К. Гаусс показывает, что если n — простое число, то правильный n-угольник может быть построен с помощью циркуля и линейки, когда n имеет вид .
1799 г. — К. Вессель дал геометрическую интерпретацию комплексных чисел. Однако его работы остались неизвестными. В 1806 г. аналогичная геометрическая интерпретация была предложена Ж. Арганом. Всеобщее признание в математике интерпретация комплексных чисел получила только после того, как в 1832 г. К. Гаусс изложил основные ее идеи.
Период современной математики (XIX—XX вв.)
Математические методы проникают почти во все отделы физики, в химию, биологию, медицину, лингвистику, экономику. Сама математика необыкновенно расширяется количественно и претерпевает глубокие качественные изменения. В целом она поднимается на более высокую ступень абстракции.
1799−1825 гг. — К. Гаусс доказывает основную теорему алгебры, причем на протяжении указанного времени дает четыре различных доказательства ее.
1801 г. — К. Гаусс создает основы теории чисел. Он впервые развивает теорию сравнений, изучает до конца теорию квадратичных вычетов, доказывает основные теоремы этой теории, излагает теорию уравнений деления круга.
821 г. — О. Коши развивает теорию пределов и на ее основе строит учение о функциях, определяет понятия суммы ряда, непрерывности функции, а позднее кладет учение о пределах в основу всего математического анализа. При изложении этой области науки мы до сих пор следуем пути, намеченному Коши, с теми усовершенствованиями, которые были внесены во второй половине XIX в. К. Вейерштрассом. Коши принадлежит также разработка основ теории функций комплексного переменного.
1824−1826 гг. — молодой норвежский математик Н. Абель доказал, что алгебраические уравнения степени n 5 неразрешимы в радикалах.
1827 г. — К. Гаусс развивает так называемую внутреннюю геометрию поверхностей, в которой каждая поверхность выступает как носительница своей особой геометрии.
1829−1830 гг. — Н. И. Лобачевский опубликовал свои первые работы по неевклидовой геометрии.
В 1832 г. — независимо от Н. И. Лобачевского систему неевклидовой геометрии построил Я. Бояи.
1830−1832 гг. — Э. Галуа находит признак того, решается ли данное уравнение с числовыми коэффициентами в радикалах. При этом он развивает методы теории групп и полей, которые приобрели огромное значение в математике и ее приложениях.
1832 г. — в связи со своими исследованиями по теории чисел К. Гаусс обобщает понятие целого числа на комплексные числа a+bi, где а и b — целые. Он определяет понятие простого числа, взаимно простых чисел, переносит на новые целые числа алгоритм нахождения наибольшего общего делителя и развивает всю арифметику целых комплексных чисел.
1840−1851 гг. — У. Гамильтон обобщает понятие комплексного числа, построив кватернионы — числа вида а+bi+ сj+ dk, где i2= j2= k2= - 1; а, b, с, d — действительные числа. Оказалось, что для этих чисел выполняются уже не все законы обычной арифметики. Так, умножение кватернионов не обладает свойством переместительности (ijji).
1849 г. — П. Л. Чебышёв получил первые после Евклида точные результаты о законе распределения простых чисел в натуральном ряде.
1854 г. — Б. Риман вводит n-мерные пространства и, обобщая идеи Гаусса по внутренней геометрии поверхностей, дает способ построения всевозможных метрических неевклидовых геометрий. Римановы геометрии стали впоследствии основным математическим аппаратом общей теории относительности. Частным случаем римановых геометрий являются геометрия Евклида и геометрия Лобачевского.
1881−1882 гг. — Р. Дедекинд, Г. Кантор и К. Вейерштрасс строят тремя различными способами теорию действительных чисел. Вскоре в работах Дедекинда и особенно Кантора возникает новая важная область современной математики — теория множеств.
1899 г. — Д. Гильберт в «Основаниях геометрии» строит полную аксиоматику геометрии Евклида и анализирует соотношения между различными группами аксиом. С этого времени большое развитие в математике получает аксиоматический метод.
XX в. — созданы новые математические дисциплины, играющие чрезвычайно большую роль как в самой математике, так и в математическом естествознании и технике.
Похожие:
Знаменательных и памятных дат Хроника знаменательных и памятных дат. Волгоградская область, 2010 / [ред сост. И. С. Плюхина]; Волгогр. Оунб им. М. Горького, Отд...
Знаменательных и памятных дат Календарь знаменательных и памятных дат на 2008 год/ гук «Кемеровская областная специальная библиотека для незрячих и слабовидящих»;...
Знаменательных и памятных дат Календарь знаменательных и памятных дат на 2011 год / гук мо «могнб им. Н. К. Крупской», Отд науч исслед и метод работы; сост. Ю....
Знаменательных и памятных дат Календарь знаменательных и памятных дат. Волгоградская область, 2013 / [ред сост. О. В. Назарова; ред. О. А. Лященко; отв за вып....
Календарь знаменательных и памятных дат Календарь знаменательных и памятных дат из жизни и деятельности незрячих на 2009 год [Текст]/ гук «Кемеровская областная специальная...
, ... , которые были впоследствии описаны в «Началах» Евклида. Он показал также, что 
иррационален, если а не является кубом.
и формулирует правила действия с ними. Сами эти числа он трактует как символы, удобные для получения результатов относительно действительных чисел,
.
n 5 неразрешимы в радикалах.
