Лекция 26. Неопределённый интеграл или свойства первообразных в математике как и в жизни нередко действию можно сопо­ставить обратное действие. По отношению к дифференциро­ванию таким обратным действием является интегрирование



Скачать 130.46 Kb.
Дата09.10.2012
Размер130.46 Kb.
ТипЛекция
Интегральное исчисление

Лекция 26. Неопределённый интеграл или свойства первообразных

В математике как и в жизни нередко действию можно сопо­ставить обратное действие. По отношению к дифференциро­ванию таким обратным действием является интегрирование.







Свойства неопределенного интеграла.

Задача 2

Чему равен дифференциал неопределённого интеграла?

  • d ∫ f(x) dx = d(F(x) + С) = dF(x) + dC = F'(x) dx = f(x) dx

1. Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению

d ∫ f{x) dx = f(x) dx.

Задача 3

Чему равен неопределённый интеграл дифференциала?

  • dF(x)= f(x) dx=F(x)+C

2. Неопределённый интеграл дифференциала функции ра­вен самой функции с точностью до произвольной постоянной


Задача 4







Поскольку С произвольная постоянная, то после каждого ра­венства она может переопределяться, что здесь и в дальнейшем неоднократно используется.

3. Постоянная выносится из под знака интеграла



Задача 5





5. Интеграл суммы равен сумме интегралов с точностью до произвольной постоянной (показать самостоятельно)



Задача 6

Получить таблицу первообразных, исходя из таблицы произ­водных.

png" name="graphics14" align=bottom width=595 height=792 border=0>


Лекция 27. Определённый интеграл и его свойства

Определённый интеграл отличается от неопределённого тем, что это либо число, либо первообразная с определённой посто­янной.

Механический смысл определённого интеграла

Задача 1

На графике ускорения отобразить скорость, а на графике ско­рости отобразить путь, пройденный телом при равноускорен­ном движении от t = 0 до момента t, если в начальный момент времени скорость и путь равны нулю.




Геометрический смысл определённого интеграла


Определённый интеграл равен площади криволинейной трапеции.

Задача 2

Представить определённый интеграл как предел некоторой сум­мы.



Тогда сумма площадей прямоугольников для каждого ξi имеет вид



Интуитивно ясно, что при n —> ∞ все интегральные суммы стремятся к площади криволинейной трапеции


Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] называется предел интегральной суммы при стре­млении максимального частичного отрезка разбиения к нулю.

Числа а и b носят название, соответственно, нижнего и верхнего пределов интегрирования.



Формула Ньютона - Лейбница

Задача 3

Пусть функция f(x) определена, непрерывна и имеет перво­образную F(x) на отрезке [a,b]. Показать, что тогда опре­делённый интеграл находится по формуле:


Свойства определённого интеграла

Задача 4

Дать краткое обоснование каждому из приведённых ниже свойств.



Это простейший пример формулы Ньютона-Лейбница.



Используется, что предел суммы равен сумме пределов.



Используется свойство аддитивности сумм.



• Можно сослаться на формулу Ньютона-Лейбница.



Следует из аналогичного неравенства для интегральных сумм.



• Неравенство очевидно, если иметь ввиду, что определённый интеграл на отрезке, где функция отрицательна — отрицате­лен.
Лекция 28. Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле

Сегодня вам предоставляется возможность познакомиться с двумя самыми популярными методами интегрирования.

Задача 1

Пусть функция f(x) имеет первообразную F(x)

Показать, что f(u)du также первообразная f(x).


  • Вычислим производную от интеграла с переменным верх­ним пределом:



Ответ: Да! Переобозначение переменной интегрирования — это не замена переменной интегрирования.
Не всякий определённый интеграл с переменным верхним пределом может быть выражен в виде комбинации элементар­ных функций. В качестве примера таких интегралов, которые получили название специальных функций, приведём



Задача 2 (теорема о среднем)

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а,b].

Показать, что в этом случае найдется такая точка ξ (a,b) ,что выполняется



  • Будем исходить из формулы Ньютона-Лейбница



Вопрос: Каков геометрический смысл теоремы о среднем?

Ответ: Всегда можно подобрать такую высоту прямоугольни­ка, чтобы его площадь равнялась площади криволинейной тра­пеции с тем же основанием.
Задача 3

Обосновать неравенство



  • Неравенство является очевидным следствием Задачи 2.


Задача 4 (о замене переменной)

Пусть f [u(х)] непрерывна, а u(х) дифференцируема, на [a,b], причём u(a) = с, u(b) = d

Показать, что:





Пределы интегрирования изменяются!





Задача 5 (об интегрировании по частям)

Выполнить перенос производной под знаком интеграла



Вопрос: Какое выражение связывает uv' и u'v?



Теперь проинтегрируем это равенство



и окончательно получим:







Задача 6





Лекция 29. Методы интегрирования


Всякое обратное действие сложнее прямого. Это в полной ме­ре относится к такому действию как интегрирование. Прежде чем воспользоваться таблицей интегралов необходимо заданный интеграл преобразовать к табличному.

Метод замены переменной интегрирования



Это наиболее часто используемый метод. Он применяется, ко­гда подинтегральная функция является сложной функцией.



Метод интегрирования по частям



Этот метод применяется тогда, когда подинтегральная функ­ция содержит:

1. Какую-либо обратную функцию: ln x, arcsinx, arccos x и т.д.

2. Произведение степенной функции на экспоненту или триго­нометрическую функцию: xsinx, х2ехр х и т.д.

3. Произведение экспоненты на тригонометрическую функцию.





> Для вычисления интеграла от рациональной дроби необходимо:

а) привести эту дробь к правильной дроби, т.е.



б) преобразовать знаменатель к произведению простейших многочленов, т.е.



где x - корень кратности l.

в) записать правильную дробь в виде суммы простейших дро­бей т.е. /



где А, В,...., С, D, К,..., W, Z - неопределённые коэффициенты.

г) приводя сумму простейших дробей к общему знаменателю, получаем систему линейных алгебраических уравнений. Решая её, находим неопределённые коэффициенты.

д) окончательный ответ получится после вычисления интегра­лов от многочлена и простейших дробей



Многочлены равны, если все коэффициенты в них при соответствующих степенях между собой равны.



Лекция 30. Интегрирование иррациональных и тригонометрических выражений

В этой лекции будет продолжено изучение методов инте­грального исчисления.
Дополнение к таблице интегралов

Пример 1. Показать, что



  • Воспользуемся методом неопределённых коэффициентов.




  • Чтобы убедиться в правильности первообразной, достаточно вычислить её производную (F'(x) = f(x)). Но прежде ответьте на вопрос.



Вопрос: Как связана производная модуля функции с производ­ной этой функции?



Интегрирование иррациональных выражений

1. Сведение к табличным интегралам.


2. Замена переменных, приводящая к избавлению от иррацио­нальности под знаком интеграла.

Вопрос: Как избавиться от иррациональности в интеграле



где m - наименьшее общее кратное.



Интегрирование тригонометрических выражений

1. R(sinx,cosx) dx

Вычисление интеграла такого типа проводится при помощи универсальной тригонометрической подстановки: u = tg (x/2).
задача 1

Выразить sin x, cos x и dx через универсальную тригонометри­ческую подстановку.



Таким образом универсальная тригонометрическая подстанов­ка означает следующую замену переменной в интеграле:





Вычисление интегралов такого типа осуществляется более про­стыми подстановками по сравнению с универсальной тригоно­метрической подстановкой:



Лекция 31. Геометрические приложения определенных интегралов

Определение определённого интеграла как предела интеграль­ных сумм позволяет получить различные формулы для нахо­ждения длин, площадей и объёмов геометрических объектов.

задача1

Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной лини­ями:

у =f1(x), у = f2(x), x = а, x= b.



задача 2

Найти площадь криволинейного сектора, ограниченного линиями: = (φ), φ= a, φ= β.



Вопрос: Чему равна эквивалентная площади треугольника?





Действуя также как в Задаче 1, получим





Вопрос: Укажите пределы интегрирования для половинки за­штрихованного лепестка.



задача 3


В результате



Пример 2. Найти объём шара радиуса R.

  • Вопрос: Вращением какой кривой описывается шар?



задача 4









Пример 3. Найти длину окружности радиуса R.



Здесь у′ = х/у находится из уравнения x ² + у ²= R как производная неявной функции.


задача 5









Пример 4. Найти площадь боковой поверхности конуса вра­щения радиуса R, если длина образующей равна l:



Вопрос: К чему стремится площадь боковой поверхности ко­нуса вращения, если его высота стремится к нулю?

Ответ: К площади круга. <


Лекция 32. Несобственные интегралы

До сих пор мы занимались вычислением интегралов. В данной лекции речь пойдёт о таких интегралах, которые прежде чем вычислять, необходимо исследовать на сходимость.

Интеграл называется несобственным, если его подинтегральная функция не ограничена на отрезке интегрирования, либо неограничена сама область интегрирования.

Несобственный интеграл существует (сходится), если су­ществует предел этого интеграла в точке разрыва подинтегральной функции или в бесконечно удалённой точке. В противном случае говорят, что несобственный интеграл не существует (расходится).

Несобственный интеграл с неограниченным пределом интегрирования


Это интеграл следующего вида:



Несобственный интеграл от неограниченной функции

Это интеграл следущего вида:









Признаки сходимости несобственных интегралов

задача 1 (признак сравнения)

Пусть выполняется неравенство 0 < g(х) ≤ f(x), где х [а, ∞ ]. Показать, что если несобственный интеграл сходится от боль­шей функции f{x), то он сходится и от меньшей функции g(x), а если он расходится от меньшей функции, то он расходится и от большей функции.



задача 2 (предельный признак сравнения)

Пусть функции f(x) и g{х) с точностью до постоянного мно­жителя эквивалентны в точке их разрыва или в бесконечно удалённой точке.

Показать, что в этом случае несобственные интегралы от этих функций сходятся или расходятся одновременно.



Применим теперь признак сравнения к каждому из неравенств:

из 1 неравенства => если сходится интеграл от f(x), то схо­дится интеграл от g(х);

из 2 неравенства => если сходится интеграл от g(х), то схо­дится интеграл от f(x).


задача 3 (частный предельный признак сходимости для интеграла с неограниченным пределом)



задача 4 (частный предельный признак сходимости для интеграла от неограниченной функции)



  • Поскольку = 2, то согласно Задаче 3 интеграл с не­ограниченным пределом интегрирования сходится. Но в точке х = 3, принадлежащей отрезку интегрирования, неограниченна подинтегральная функция, и в результате, согласно Задаче 4, интеграл расходится.


Лекция 33. О других методах интегрального исчисления

Изученные нами методы интегрирования позволяют вычи­слять достаточно простые итегралы. Существуют и дру­гие более изощрённые методы интегрирования. Некоторым из них, например, методу перевала, посвящены монографии. В данной лекции мы лишь коснёмся двух таких методов инте­грального исчисления, а именно, метода вычисления итегра-лов с помощью введения параметра и метода приближённого интегрирования.

Вычисление интегралов, зависящих от параметра

Пусть подинтегральная функция является функцией двух переменных f(x, a), каждая из которых задана на соответствующем множестве х X, a Z, тогда интеграл



Свойство:



Свойство выполняется, если интеграл








Очевидно, что



Отсюда следует



задача 1


  • Заданный несобственный интеграл сходится, поскольку подинтегральная функция убывает как х-1 и осциллирует.


Для осциллирующей подинтегральной функции интеграл сходится и при а=1.

Введём два вспомогательных интеграла



Не трудно убедится, что



Действительно



Согласно формуле Эйлера (Лекция14)



и соответственно



Поскольку



то один из вспомогательных интегралов равен



Теперь подсчитаем второй интеграл



Очевидно



В результате искомый интеграл равен



задача 2



  • Вопрос: Сходится ли заданный интеграл?


Ответ: Да, заданный несобственный интеграл безусловно схо­дится, поскольку подинтегральная функция убывает быстрее чем х-1.

Введём два вспомогательных итеграла



Первый из них простой заменой переменной сводится к инте­гралу Пуассона



Очевидно, что



В результате



Приближённое вычисление интегралов

Ниже мы получим два простейших численных алгоритма вы­числения интегралов.

задача 3 (формула прямоугольников)
Выразить интегральную сумму в виде суммы площадей прямо­угольников с равными основаниями.



задача 4 (формула трапеций)

Выразить интегральную сумму в виде суммы площадей трапе­ций с равными основаниями.


Похожие:

Лекция 26. Неопределённый интеграл или свойства первообразных в математике как и в жизни нередко действию можно сопо­ставить обратное действие. По отношению к дифференциро­ванию таким обратным действием является интегрирование iconЛекция №8 (2 часа) Неопределенный интеграл План Определение неопределенного интеграла
Охватывает совокупность всех первообразных от данной функции
Лекция 26. Неопределённый интеграл или свойства первообразных в математике как и в жизни нередко действию можно сопо­ставить обратное действие. По отношению к дифференциро­ванию таким обратным действием является интегрирование iconЭкзаменационные вопросы Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла
Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование, метод подстановки
Лекция 26. Неопределённый интеграл или свойства первообразных в математике как и в жизни нередко действию можно сопо­ставить обратное действие. По отношению к дифференциро­ванию таким обратным действием является интегрирование iconПрименение производной
Определение первообразной. Теорема об общем виде первообразных. Неопределенный интеграл
Лекция 26. Неопределённый интеграл или свойства первообразных в математике как и в жизни нередко действию можно сопо­ставить обратное действие. По отношению к дифференциро­ванию таким обратным действием является интегрирование iconсессия) 2 первообразная функции (неопределенный интеграл) 2
Интегрирование, как операция, обратная дифференцированию. Таблица неопределенных интегралов 2
Лекция 26. Неопределённый интеграл или свойства первообразных в математике как и в жизни нередко действию можно сопо­ставить обратное действие. По отношению к дифференциро­ванию таким обратным действием является интегрирование iconМатематический анализ (ФН, 2 семестр) Вопросы для подготовки к контролю по модулям и к экзамену Модуль Интегралы
Неопределённый интеграл. Основные свойства неопределённого интеграла: линейность, интегрирование по частям. Замена переменной в неопределённом...
Лекция 26. Неопределённый интеграл или свойства первообразных в математике как и в жизни нередко действию можно сопо­ставить обратное действие. По отношению к дифференциро­ванию таким обратным действием является интегрирование iconКонспект по датам. Лекция 1: 10 февраля Глава Неопределённый интеграл опр и свойства
Определение первообразной, Свойства: что F+C тоже перв. (Док-ть), что разность двух первообр = C. Определение неопр интеграла. Свойства...
Лекция 26. Неопределённый интеграл или свойства первообразных в математике как и в жизни нередко действию можно сопо­ставить обратное действие. По отношению к дифференциро­ванию таким обратным действием является интегрирование iconИнтегральное исчисление и функции многих переменных Часть Интегральное исчисление
Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенных интегралов. Основные методы интегрирования. Замена переменного и...
Лекция 26. Неопределённый интеграл или свойства первообразных в математике как и в жизни нередко действию можно сопо­ставить обратное действие. По отношению к дифференциро­ванию таким обратным действием является интегрирование iconНеопределенный интеграл, его свойства и основные методы интегрирования
Для всякой математической операции прямого действия всегда существует операция обратного действия. Сложение и вычитание, умножение...
Лекция 26. Неопределённый интеграл или свойства первообразных в математике как и в жизни нередко действию можно сопо­ставить обратное действие. По отношению к дифференциро­ванию таким обратным действием является интегрирование iconМетоды интегрирования: а замена переменной, б по частям. Примеры
Первообразная и неопределенный интеграл. Теорема о виде первообразных. Геометрический смысл неопределенного интеграла
Лекция 26. Неопределённый интеграл или свойства первообразных в математике как и в жизни нередко действию можно сопо­ставить обратное действие. По отношению к дифференциро­ванию таким обратным действием является интегрирование iconНеопределенный интеграл
Способы вычисления неопределенного интеграла: непосредственное интегрирование, замена переменной
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org