Методические указания по дисциплине «Математический анализ» для студентов дневной формы обучения



Скачать 369.35 Kb.
страница1/2
Дата09.10.2012
Размер369.35 Kb.
ТипМетодические указания
  1   2


Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Тихоокеанский государственный университет»

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Методические указания по дисциплине «Математический анализ»

для студентов дневной формы обучения

Хабаровск

Издательство ТОГУ

2007
УДК 22.17



Интегральное исчисление: методические указания по дисциплине «Математический анализ» для студентов дневной формы обучения / сост. Н.Б Лазарева, Н.Н.Ловцова – Хабаровск : Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2007. – 31с.
Методические указания составлены на кафедре прикладной математики информатики. В них изложены основные методы вычисления неопределённого интеграла, приложения определенного интеграла, рассмотрены примеры решения задач.

Печатается в соответствии с решениями кафедры «Прикладная математика и информатика» и методического совета факультета математического моделирования и процессов управления.

 Тихоокеанский государственный

университет,2007

§ 1. Неопределённый интеграл

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если

или .

Всякая непрерывная функция f(x) имеет бесчисленное множество различных первообразных функций, которые отличаются друг от друга постоянным слагаемым.
Неопределённым интегралом от функции f(x) называется совокупность всех её первообразных: .

Здесь -знак интеграла, f(x) –подынтегральная функция, х –переменная интегрирования.
Свойства неопределённого интеграла:




  1. , где



  2. Если и -любая дифференцируемая функция, то .


  3. Если , то ,

и .


Правильность результата интегрирования проверяется

дифференцированием найденной первообразной, т.е. .

Таблица основных интегралов представлена в приложении 1.
§ 2. Непосредственное интегрирование функций.

Задача нахождения неопределённых интегралов от многих функций решается методом сведения их к одному из табличных интегралов. Этого можно достичь путём алгебраических тождественных преобразований подынтегральной функции f(x) или подведения части её множителей под знак дифференциала.

Пример 1.

.

Пример 2.
Пример 3.
Пример 4. =

§ 3. Интегрирование заменой переменной.

Если функция имеет непрерывную производную, то в

неопределённом интеграле можно перейти к новой переменной t по формуле

,

затем найти интеграл и вернуться к исходной переменной х. Такой способ нахождения интеграла называется методом замены переменной или методом подстановки.
Пример 5.


Пример 6.


Пример 7.



Пример 8.




§ 4. Интегрирование по частям.

Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле

,

где u(x) и v(x) - дифференцируемые функции.
Применение её целесообразно, когда интеграл в правой части формулы более прост для нахождения, нежели исходный. В некоторых случаях формулу необходимо применять несколько раз.

При этом за u(x) берётся такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dv -та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден. Так, например,

для интегралов вида , ,

за u(x) следует принять многочлен P(x) .

Для интегралов вида , ,

за u(x) принимаются функции lnx, arcsinx, arctgx, а за dv - выражение

P(x)dx .

Пример 9.

Пример 10.

Пример 11.



Циклические интегралы , находятся двукратным интегрированием по частям.

Пример12.




Отсюда получаем


§ 5. Интегрирование рациональных функций.

Рациональной называется функция вида



где m,n-целые, положительные числа. Если mn ,то неправильной. Всякую неправильную дробь путём деления числителя на знаменатель можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби: , l
Так как всякий многочлен легко интегрируется, то интегрирование рациональных функций сводится к интегрированию правильных дробей. Всякую правильную рациональную дробь можно разложить в сумму простейших рациональных дробей типа:

1.


2. , где к -целое число, больше единицы

3. , где , т.е. квадратный трёхчлен

не имеет действительных корней




4.

Вычисление интеграла производится по рекуррентной формуле :



Пример 13.
Пример 14.


Пример 15.




Пример 16.



Вычислим первый интеграл:



Вычислим второй интеграл, используя рекуррентную

формулу, где к = 2:



Итоговый результат:




Метод интегрирования рациональных дробей в целом рассмотрим на следующем примере:
Пример 17.
Разложим подынтегральную дробь на простейшие дроби :


Освободимся от знаменателей, умножая обе части равенства

на :




Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х

в обеих частях тождества, получаем систему уравнений:


решение которой .

Подставляя под знак интеграла полученную сумму

элементарных дробей, имеем:




§ 6. Интегрирование иррациональных функций.

1. Интегралы вида , где R-рациональная функция, -целые числа преобразуются в интегралы от рациональных функций с помощью подстановки ,где к-общий

знаменатель дробей

Пример18.
.

2. Интегралы вида , где -некоторые

числа m-натуральное число, преобразуются с помощью

подстановки .


Пример 19. .


3. Интегралы вида , где -некоторые

числа :

1) если трёхчлен имеет вещественные корни и >0, то

и

. Имеем предыдущий

случай.

2) если трёхчлен не имеет вещественных корней и >0, то

интеграл преобразуется подстановкой Эйлера .

3) если трёхчлен не имеет вещественных корней, <0 и с>0,

то применяют другую подстановку Эйлера .
4) выделим полный квадрат: .

С помощью подстановки интеграл сводится в зависимости

от коэффициентов к одному из следующих интегралов:
замена

замена или

замена или
Пример 20.







§ 7. Интегрирование тригонометрических и гиперболических

функций.

1. Интегралы вида , где R-рациональная функция, приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью так называемой универсальной тригонометрической подстановки .

Пример 21.


.


2. Интегралы вида , где m и n-положительные целые

чётные числа, вычисляются с помощью формул:







Пример 22. .
Если n-нечётное положительное число, то применяется

подстановка sinx = t,

если m-нечётное положительное число, то применяется

подстановка cosx = t.
Пример 23.



.
В общем случае интегралы этого вида вычисляются с помощью рекуррентных формул, которые выводятся путём интегрирования по частям.
Пример 24.



Второй интеграл – табличный, первый вычислим

интегрированием по частям:



Итоговый результат:



3. Интегралы вида , , ,

где , вычисляются с помощью формул:






Пример 25.




4. Интегралы вида , , где m = 2,3,… вычисляются

с помощью формул

, .
Пример 26.





5.Интегрирование гиперболических функций производится аналогично интегрированию тригонометрических функций, причём используются следующие формулы:




Пример 27.
§ 8. Определенный интеграл как предел интегральной суммы
Пусть функция определена на отрезке [ab]. С помощью точек

x0=a, x1, x2, …, xn=b разобьем отрезок [ab] на n частичных отрезков [x0x1], [x1x2], … ,[xn-1xn]

с1 с2 сi cn

        

a=x0 x1 x2 xi-1 xi xn-1 b=xn

В каждом частичном отрезке [xi-1xi] выберем произвольную точку сi и

вычислим f(ci). Составим сумму

Sn=

где , которая называется интегральной суммой функции

на отрезке [ab].

Обозначим через . Найдем предел , когда , так что

. Если интегральная сумма Sn имеет предел , который не зависит ни от способа разбиения отрезка [ab] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число называется определенным интегралом от функции и обозначается .


Свойства определенного интеграла :

1.

2. , где c=const
3.

4. ,
5. >0, если

<0, если

6. <, если <

7.

8.

9. , если функция - чётная.

, если функция - нечётная.

10. Если непрерывна, а интегрируема на , то существует

такая точка , что справедливо равенство

.

(Обобщённая теорема о среднем)

Число называется средним значением функции

на отрезке.


§ 9. Вычисление определённого интеграла.

1. Если функция непрерывна на отрезке [ab], а F(x) – ее

первообразная , то справедлива

формула Ньютона-Лейбница .
Пример 28.

2.Интегрирование заменой переменной: Если функция непрерывна на отрезке , а функция непрерывно дифференцируема на отрезке , причём , , то .
Пример 29.


3. Интегрирование по частям: Если функции и имеют

непрерывные производные на отрезке , то справедлива формула:




Пример 30.


Замечание: в Приложении 2 предлагаются задания для закрепления навыков вычисления неопределённого и определённого интегралов.
§10. Геометрические приложения определенного интеграла.


  1. Вычисление площадей плоских фигур.




  1. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции , прямыми и

и осью ОХ вычисляется по формуле:
или

(если х есть функция переменной у)
y

y


d




c

а

b

х

x

Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций и , прямыми и

вычисляется по формуле:

.

  1. Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрическими уравнениями , прямыми и осью ОХ вычисляется по формуле: , где пределы интегрирования находятся из уравнений

на ).



  1. Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением и лучами и вычисляется по формуле:

.

Пример 31. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой

.

Решение:

y

0

x





Пример 32. Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом , .

Решение:

y

x

0





Пример 33. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой

и осью ОХ.

Решение:

y

x

4





  1. Вычисление длины дуги плоской кривой.


а) Если кривая на отрезке -гладкая (т.е. производная непрерывна), то длина соответствующей дуги этой кривой вычисляется по формуле:
или

(если х есть функция переменной у)

y

y


х х



  1. Если кривая задана параметрическими уравнениями , ( и -непрерывно дифференцируемые функции), то длина дуги этой кривой, соответствующая монотонному изменению параметра от до вычисляется по формуле:



  1. Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением ,то длина дуги равна:

.

Пример 34. Найти длину дуги кривой от до .

Решение:



  1. Объем тела вращения.


Объём тела, образованного вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью ОХ и прямыми вокруг оси ОХ, вычисляется по формуле:
или

(если вокруг оси ОУ)




Пример 35. Найти объем тела, образованного вращением вокруг

оси OY фигуры, ограниченной , x=0, y=4 .

Решение:




  1. Площадь поверхности вращения.


а) Если дуга гладкой кривой вращается вокруг

оси ОХ, то площадь поверхности вращения вычисляется по

формуле:








  1. Если кривая задана параметрическими уравнениями , то

.

с) Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением ,то

.


Пример 36. Найти площадь поверхности шара , образованного вращением вокруг оси ОХ окружности .

Решение:





Пример 37. Найти площадь поверхности, образованной вращением

вокруг оси OX арки циклоиды

, , .

Решение:





.


Замечание: кратко геометрические приложения определённого интеграла приведены в Приложении 3 в виде таблицы.

  1   2

Похожие:

Методические указания по дисциплине «Математический анализ» для студентов дневной формы обучения iconМетодические указания для студентов дневной формы обучения инженерных специальностей Санкт-Петербург 2008 удк 947 Гуркин А. Б., Потехина И. П. Культурология: Методические указания. Спб.: Спбгти (ТУ), 2008. 30 с
Методические указания предназначены для студентов I курса I-VI и VIII факультетов дневной формы обучения, изучающих культурологию,...
Методические указания по дисциплине «Математический анализ» для студентов дневной формы обучения iconМетодические указания по подготовке к семинарским занятиям для студентов дневной формы обучения всех специальностей
Методические указания предназначены для студентов I курса всех специальностей дневной формы обучения, изучающих дисциплину «Отечественная...
Методические указания по дисциплине «Математический анализ» для студентов дневной формы обучения iconМетодические указания по выполнению лабораторных работ №1-5 по информатике для студентов дневной формы обучения
Решение задач в пакете Mathcad : методические указания по выполнению лабораторных работ №1 – 5 по информатике для студентов дневной...
Методические указания по дисциплине «Математический анализ» для студентов дневной формы обучения iconМетодические указания по их выполнению для студентов, обучающихся по специальности 080502 «Экономика и управление на предприятии»
...
Методические указания по дисциплине «Математический анализ» для студентов дневной формы обучения iconХимия воздуха и воды для студентов факультета инженерных систем и экологии специальности 270109 дневной и заочной форм обучения Казань 2010
Методические указания предназначены для самостоятельной работы студентов дневной и заочной формы обучения специальности 270109 по...
Методические указания по дисциплине «Математический анализ» для студентов дневной формы обучения iconМетодические указания к учебной практике студентов III курса [электронный ресурс]. специальности 280200 дневной формы обучения. Спб.: Спгутд. – 2006. Н. Ф. Богдан, А. А. Лысенко,О. В. Асташкина
Методические указания разработаны для организации учебной практики для студентов 3 курса (специальность 280200) дневного отделения...
Методические указания по дисциплине «Математический анализ» для студентов дневной формы обучения iconМетодические указания для подготовки к тестированию по дисциплине «Русский язык и культура речи»
Методические указания предназначены для подготовки студентов очной формы обучения к Интернет- экзамену по русскому языку и культуре...
Методические указания по дисциплине «Математический анализ» для студентов дневной формы обучения iconМетодические указания Санкт-Петербург 2012
...
Методические указания по дисциплине «Математический анализ» для студентов дневной формы обучения iconМетодические указания к курсовому проекту по дисциплине
Локальные системы управления" учебного плана специальности 210100 "Управление и информатика в технических системах" для студентов...
Методические указания по дисциплине «Математический анализ» для студентов дневной формы обучения iconМетодические указания для студентов заочной формы обучения великий Новгород 2002 ббк 87. 66 Печатается по решению
Культурология: Методические указания для студентов заочной формы обучения / Сост. Н. А. Завершинская, Р. Н. Черникова. – 3-е изд.,...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org