Лекция» [1], «совокупность»



Скачать 80.92 Kb.
Дата09.10.2012
Размер80.92 Kb.
ТипЛекция
ДЕСКРИПТИВНЫЕ МНОЖЕСТВА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ1

Б.И. Сёмкин

В биоценологии часто употребляются такие понятия, как «биологическая коллекция» [1], «совокупность», «биологическое описание», фитоценотическое описание [2] или просто «описание» [3]. В всех случаях понятие «описание» используется для формализации первичных экспериментальных данных и от его определения в конечном счёте зависит способ их дальнейшего анализа. Естественное возникает потребность в строгом определении такого фундаментального понятия, как «описание». Математическое понятие «дескриптивное множество» (descriptive set) является экспликацией понятия «описание».

  1. Определение 1. Конечное множество, каждому элементу которого поставлено в соответствие неотрицательное число («вес»), называется «дескриптивным множеством».

Дескриптивное множество A определяется заданием весов μ(xi) для каждого элемента xi (= 1,…,r) множества X:

.

Пустое дескриптивное множество Ф имеет все веса равные нулю, т.е. μФ (xi) = 0, = 1,…,r.

  1. Перечислим основные определения, относящиеся к дескриптивным множествам.

Два дескриптивных множества A и B считаются равными (обозначается A = B) тогда, и только тогда, когда {C. 83} для всех xi.

Сокращенно это определение можно записать в символах:

, = 1,…,r (1)

(знак читается: тогда и только тогда когда…).

Отношение включения (обозначается символом ):

, = 1,…,r (2)

Отношение строгого включения (обозначается символом ):

, = 1,…,r (3)

Объединение (обозначается символом ):

gif" name="object10" align=absmiddle width=265 height=26>, = 1,…,r (4)

Пересечение (обозначается символом ):

, = 1,…,r (5)

  1. Для дескриптивных множеств справедливы следующие тождества:

(коммутативность пересечения) (6)

(коммутативность объединения) (7)

(идемпотентность пересечения) (8)

(идемпотентность объединения) (9)

{C. 84}

(ассоциативный закон для пересечения) (10)

(ассоциативный закон для объединения) (11)

(пересечение распределяет объединение) (12)

(объединение распределяет пересечение) (13)

Приведем доказательство одного из тождеств, например, последнего. Для доказательства тождественности двух дескриптивных множеств нужно показать, что соответствующие элементы множеств имеют равные веса. Следовательно, для доказательства тождества (13) нужно показать справедливость соотношения между весами:



Справедливость этого отношения легко проверяется рассмотрением шести случаев упорядочивания весов:



  1. Операции объединения и пересечения можно распространить на случай конечного множества числа дескриптивных наборов.

Пусть семейство множеств.

Объединением семейства множеств A называется множество, обозначаемое через и определяемое так:

, = 1,…,r (14)

{C. 85}

Пересечением семейства множеств A называется множество:

(15)

  1. Меру дескриптивного множества A определим как сумму его весов, т.е.:

(16)

Очевидны следующие свойства меры дескриптивного множества:

(I) ;

(II) ;

(III) .

Первое свойство следует из следующего соотношения между весами:

.

Просуммировав обе части этого тождества получим соотношение (I). Используя соотношение [5]:



получим следующее тождество:

. (17)

  1. Определение 2. Пусть V – непустое конечное семейство множеств. Функция (где – множество действительных {C. 86} чисел) называется ассиметричной мерой сходства на V, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

(I) ;

(II) ;

(III) .

Если кроме указанных аксиом справедлива ещё аксиома симметричности:

(IV) ,

то – называется мерой сходства. Для меры сходства справедливы следующие свойства:

(I`) ;

(II) ;

(III`) ;

(IV) .

Меры сходства определяются с точностью до монотонно возрастающего преобразования φ, т.е. если – мера сходства, то – также мера сходства.

Ассиметричной мерой различия двух дескриптивных множеств назовем функцию:

,

где – ассиметричная мера сходства.

Если и , то меру сходства можно нормировать. {C. 87}

Нормированную меру сходства двух дескриптивных множеств будем называть относительной мерой сходства, а соответственную ей нормированную меру различия – относительной мерой различия.

Рассмотрим некоторые меры сходства и различия. Легко проверить, что функция:

, (18)

где – мера дескриптивного множества, удовлетворяет аксиомам меры сходства.

Относительная мера сходства двух дескриптивных множеств равна:

. (19)

Используя дробно-линейное монотонно возрастающее преобразование получим континуум мер сходства:

, (20)

где , .

Мера различия, соответствующая мере сходства (18), относительные меры различия соответствующие относительным мерам сходства (19) и (20) равны:

(21)

(22)

(23)

{C. 88}

Функция удовлетворяет аксиомам ассиметричной меры сходства.

Очевидно, , следовательно, приведенная мера – есть относительная ассиметричная мера сходства.

Обозначим эту меру следующим образом:

. (24)

В силу асимметрии существует ещё мера:

. (25)

Подобно (20) можно записать:

, (26)

. (27)

Рассматриваемые нами ассиметричные меры сходства связаны с симметричными мерами следующими соотношениями:

(28)

. (29)

Можно также рассматривать меры сходства и различия n дескриптивных множеств [6]:

, (30)

{C. 89}

где , .

; (31)

(32)

(33)

Подробно запишем одну из мер сходства n дескриптивных множеств:



  1. 2Приведем некоторые сведения о разбиениях дескриптивного множества. Дескриптивные множества A и B называются непересекающимися, если .

Под чётким разбиением дескриптивного множества A будем понимать представление этого множества в виде семейства множеств , = 1,…, n таких, что:

(I) , = 1,…, n;

(II) ;

(III) .

Используя понятие меры дескриптивного множества, приведенные {C. 90} условия можно записать в виде:

(I`) , i = 1,…, n;

(II`) ;

(III`) .

Обычно в приложениях приходится иметь дело с пересекающимися дескриптивными множествами и производить разбиение дескриптивного множества на пересекающиеся множества.

Естественно, в этих случаях, потребовать такого разбиения множества на семейство множеств, чтобы «суммарное»пересечение их было минимальным в некотором смысле.

Такие разбиения будем называть нечеткими разбиениями дескриптивного множества.

Пример. Пусть даны три дескриптивных множества:

, , .

Множество можно разбить на следующие множества:

1) 2) 3) 4) .

Найдем «суммарное» пересечение множеств в каждом из разбиений. Соответственно получаем:



{C. 91}





Следовательно, нечеткое разбиение множества E будет , для которого .

  1. 3Понятие нечеткого разбиения дескриптивного множества может быт использовано в задачах одноуровневой классификации. В задачах иерархической классификации могут быть применены ассиметричные меры сходства [7]. {C. 92}

Следует отметить, что дескриптивные множества есть выборки из генеральной совокупности, которые, по предположению, отражают свойства её в целом. Введенные нами функции на дескриптивных множествах естественно называть дескриптивными статистиками [7].

Как отмечает Г. Сэлтон [7]: «… статистики не предсказательного типа, целью которых является вывод обобщенных достоверных заключений по результатам наблюдений по небольшим выборкам, а скорее дескриптивные статистики, используемые для расчёта ряда параметров выборочных совокупностей данных или документов, которые, по предположению, отражают свойства массива в целом».

В биоценологии в задачах классификации наиболее часто используются дескриптивные статистики [3, 4].

Разработка теории дескриптивных множеств позволяет найти естественные алгоритмы классификации в биоценологии и географии. В отличие от существующих алгоритмов классификации, в алгоритмах, построенных на принципах дескриптивных множеств, можно производить операции на самими объектами.
ЛИТЕРАТУРА

  1. Pillon E.C. The measurement of diversity in different types of biological collections. T. Teoret. Biol., 13, 1966.

  2. Фрей Т.Э.-А. Фитоценоз как многомерная стохастическая система. Труды Московского общества испытателей природы. Т. XXXVIII, 1970.

  3. Василевич В.И. Статистические методы в геоботанике. Л., Наука, 1969.

  4. Полиа Н., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Т.П., М., Изд-во технико-теоретической литературы. 1956. {C. 93}

  5. Сёмкин Б.И. Об аксиоматическом подходе определению мер различия и квазиразличия на семействах множеств. В сб. «Информационные методы в системах управления измерения и контроля». Т. 1. Владивосток, 1972.

  6. Сэлтон Г.А. Автоматическая обработка, хранение и поиск информации. М., Советское радио, 1973. {C. 94}

1 Сёмкин Б.И. Дескриптивные множества и их приложения // Исследование систем. Т. 1. Анализ сложных систем. Владивосток: ДВНЦ АН СССР. 1973. С 83-94.

Это полностью перепечатанный Горшковым М.В для удобства восприятия экземпляр данной статьи. Окончание страницы первоисточника обозначим {C. _страницы}.

2 В работе Б.И. Сёмкина этот пункт является 8-м, а сам 7-ой пропущен.

3 См. предыдущее примечание.

Похожие:

Лекция» [1], «совокупность» iconЛекция №8 (2 часа) Неопределенный интеграл План Определение неопределенного интеграла
Охватывает совокупность всех первообразных от данной функции
Лекция» [1], «совокупность» iconЛекция №2 Прикладная математика Элементы матричной алгебры
Опр. Матрицей называется упорядоченная совокупность чисел, расположенная в виде таблицы
Лекция» [1], «совокупность» iconСадгуру Свами Вишнудевананда Гири (Свами Вишну Дэв) Ведические боги
Мы представляем один элемент как совокупность всей земли или совокупность всего твердого во Вселенной, другой – как совокупность...
Лекция» [1], «совокупность» iconЛекция №1 Теория множеств
Понятие множества настолько общее, что трудно дать ему какое-либо определение, которое не сводилось бы просто к замене слова «множество»...
Лекция» [1], «совокупность» iconЛекция Базы данных. Что это такое
Гост 20886-85], “база данных – совокупность данных, организованных по определенным правилам, предусматривающим общие принципы описания,...
Лекция» [1], «совокупность» iconЛекция 12 -2011 Биогеохимические циклы
Биологический круговорот веществ представляет собой совокупность процессов поступления химических организмов в живые организмы, биохимического...
Лекция» [1], «совокупность» iconЛекция Античная философия Особенности и периодизация античной философия
Античная философия совокупность учений Древней Греции и Древнего Рим с VI в до н э по VI в н э
Лекция» [1], «совокупность» iconЛекция №15 (Теорема 21), [6] Метод покоординатного спуска. Лекция №16 (Теорема 24), [2, 3]
Теория двойственности нелинейного программирования. Лекция №4 (Теорема 10, леммы 5, 6, следствия 1 и 2), Лекция №5 (следствие 3),...
Лекция» [1], «совокупность» iconЛекция №5 Психология восприятия шрифта
Гарнитура это совокупность шрифтов, объединенных общими стилевыми признаками, отличными от других шрифтов. Но в настоящее время термины...
Лекция» [1], «совокупность» iconЛекция №1. Тема. Принципы комбинаторики. Генеральная совокупность без повторений. Выборки без повторений
Оставить из элементов, принадлежащих заданному множеству. Иногда ком­бинаторику рассматривают как введение в теорию вероятностей
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org