Справочник по специальным главам математики Кострома 2009



Скачать 232.77 Kb.
страница2/3
Дата09.10.2012
Размер232.77 Kb.
ТипСправочник
1   2   3
Глава 2. Элементы линейной и общей алгебры.

§2.1. Линейные преобразования (линейные операторы) векторного пространства Rn

Будем говорить, что в пространстве Rn задано преобразование (отображение) А, если каждому вектору по некоторому правилу поставлен в соответствие вектор А. Преобразование А называется линейным, если для любых векторов и и для любого действительного числа  выполняются равенства А(+)=А, А()=А.

Пусть в пространстве Rn , базис которого , задано линейное преобразование (линейное отображение) А. Так как – векторы пространства Rn, то каждый из них можно разложить единственным способом по векторам базиса:

(1)

Матрица А= (2) называется матрицей линейного преобразования А в базисе . Столбцы этой матрицы составлены из коэффициентов в формулах преобразования базисных векторов.

Координаты () вектора А выражаются через координаты () вектора по формулам

(3)

Эти n равенств можно назвать линейным преобразованием А в базисе .
Коэффициенты в (3) являются элементами строк матрицы (2).

Равенства (3) в матричной форме имеют вид: , где , , А – матрица линейного преобразования.

Пример. Линейное отображение задано в стандартном базисе () матрицей А=. Тогда координаты образа

вектора определяются, как =y1=a11x1+a12x2,

y2=a21x1+a22x2

В частности, если А=, , то координатами образа вектора является .

§ 2.2. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования пространства Rn

Ненулевой вектор называется собственным вектором преобразования А (матрицы А), если существует такое действительное число , что выполняется равенство:

А (1)

Число  при этом называется собственным значением линейного преобразования А соответствующим собственному вектору .

Множество всех собственных значений матрицы А совпадает с множеством всех решений уравнения , которое называется характеристическим уравнением матрицы А.

Множество всех собственных векторов матрицы А, принадлежащих ее собственному значению , совпадает с множеством всех ненулевых решений системы однородных линейных уравнений .

Пример 1. Собственные значения собственных векторов линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А=, могут быть найдены по формуле =0, так как - - .

Пример 2. Собственные значения оператора линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А=, могут быть найдены по формуле (1-)(4-)-6=0, в свою очередь

=(1-)(4-)-6.

§ 2.3. Квадратичные формы

Квадратичной формой n переменных называется сумма вида

,

где aij называютсякоэффициентами квадратичной формы (aij).

Таким образом, квадратичная форма – функция n переменных f(x1,x2,…,xn) специального вида.

Так как



то коэффициенты aij= aji (2).

Матрицей квадратичной формы называется матрица, составленная из ее коэффициентов и имеющая вид:

А= (3)

Заметим, что А – симметрическая матрица, т. е. ее элементы симметричны относительно главной диагонали. Каждой квадратичной форме (1) n переменных соответствует единственная симметрическая матрица (3). Справедливо и обратное.

Пример 1. Записать матрицу квадратичной формы

f(x1,x2,…,xn)=x12-6x1x2-8x1x2+7x22+4x2x3-5x32

Решение. В данном случае a11=1, a12=a21=-3, a13=a31=-4, a22=7, a23=a32=2,

a33=-5, поэтому

А=.

Рассмотрим квадратичную форму f(x1,x2,…,xn) (1).

Перейдем к новым переменным y1,y2,y3,…,yn по формулам

(4)

или в матричном виде X=BY, где

, B=, (5)

В квадратичной форме (1) вместо подставим их выражение через y1,y2,y3,…,yn , определяемые формулами (4), получим квадратную форму n переменных y1,y2,y3,…,yn. В этом случае говорят, что квадратичная форма f(x1,x2,…,xn) переводится в квадратичную форму линейным однородным преобразованием (4). Линейное однородное преобразование (5) называется невырожденным, если .

Две квадратичные формы называются эквивалентными, если существует невырожденное линейное однородное преобразование, переводящее одну из них в другую. Квадратичная форма f(x1,x2,…,xn ) называется канонической , если она не содержит произведений различных переменных, т. е.

f(x1,x2,…,xn)= (6)

Например, квадратичная форма f(x1,x2,x3,,x4)=6x12+4x32-3x42, для которой , имеет канонический вид.

Теорема. Любая квадратичная форма некоторым невырожденным линейным преобразованием может быть приведена к каноническому виду.

Пример 2. Привести к каноническому виду квадратичную форму f(x1,x2,,x3)=x12+2x1x2+2x1x3+2x22+4x2x3+7x32 .

Решение. Сгруппируем все члены, содержащие неизвестное x1, и дополним их до полного квадрата:

f(x1,x2,x3)=(x12+2x1x2+2x1x3)+2x22+4x2x3+7x32=(x12+2x1(x2+x3)+ (x2+x3)2)- (x2+x3)2+2x22+7x32+4x2x3=( x1+x2+x3)2+ x22+6 x32+2 x2x3.

В дальнейшем полный квадрат, содержащий неизвестное x1, не изменяется. Среди оставшихся членов сгруппируем все, содержащие x2, и дополним их до полного квадрата:

f(x1,x2,x3)=( x1+x2+x3)2+ (x22+2 x2x3+ x3)- x32+6 x32)=( x1+x2+x3)2+ (x2+x3)2 - x32+5x32.

Теперь перейдем от неизвестных x1,x2,x3 к известным y1,y2,y3 по формулам


В результате этого перехода получим канонический вид данной квадратичной формы:

.

§2.4. Алгебра многочлена

Известно, что для многочлена f(x)=a0+a1x+a2x2+…+an-1xn-1+anxn сумма всех комплексных корней равна –an-1.

Пример 1. Если x1,x2,x3 – корни многочлена f(x)=x3+5x2+7x+4, то x1+x2+x3=-5.

Множество всех многочленов степени, не превышающей натурального числа n, с операциями сложения многочленов и умножения многочленов на действительные числа образует (n+1)-мерное векторное пространство. Базис этого пространства образует, например, многочлены 1,x,x2,…,xn.

Пример 2. Координаты многочлена f(x)=3+2x-4x2-3x3 в базисе 1,x,x2,…,xn равны (3;2;-4;-3).

1   2   3

Похожие:

Справочник по специальным главам математики Кострома 2009 iconСправочник «Аккредитованные узспо» 2009 13075 Справочник «Аккредитованные вузы» 2009

Справочник по специальным главам математики Кострома 2009 iconРегламент 2009 на проведение городских соревнований по картингу среди любителей г. Кострома 2009 г
Начальник управления по молодежной политике, физической культуре и спорту г. Костромы
Справочник по специальным главам математики Кострома 2009 iconСправочник, № I-VI (январь-июнь) 2009 г. Источник: Министерство экономического развития рф, информационно-поисковая система «Экспортные возможности России»
Снг минэкономразвития России С. В. Чернышева "Торгово-экономическое сотрудничество Российской Федерации со странами снг", Федеральный...
Справочник по специальным главам математики Кострома 2009 iconСправочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979. Агеев М. И., Алик В. П., Малюк Л. В., Марков Ю. И
Айвазян С. А., Бежаева З. И., Староверов О. В. Классификация мно­го­мер­ных на­блюдений. М.: Статистика, 1974
Справочник по специальным главам математики Кострома 2009 iconПо техническим причинам с 01 февраля 2012 года изменяется нумерация пригородных поездов
Скорый пригородный поезд №7101 сообщением Кострома –Ярославль Главный на №7101/7102 Кострома –Ярославль Главный отправлением со станции...
Справочник по специальным главам математики Кострома 2009 iconЭкзаменационные вопросы по «Дополнительным главам математики»
Понятие дифференциального уравнения. Порядок дифференциального уравнения. Интегральная кривая. Приведите примеры
Справочник по специальным главам математики Кострома 2009 iconУчебно-методическое пособие для аспирантов и соискателей ученой степени Кострома 2007 удк
Учебно-методическое пособие предназначено аспирантам и соискателям ученых степеней по всем специальностям для сдачи кандидатского...
Справочник по специальным главам математики Кострома 2009 icon5-х Межрегиональных состязаний гончих собак по зайцу-беляку «Голоса России» 9-11 мая 2009 года (г. Кострома)

Справочник по специальным главам математики Кострома 2009 icon«Будущее прикладной математики», которая пройдет с 18 по 20 ноября 2009 года
Приглашаем вас, ваших учеников и коллег, посетить VI ежегодную Школу для молодых исследователей, аспирантов и студентов «Будущее...
Справочник по специальным главам математики Кострома 2009 iconСправочник по школьному курсу математики может оказать помощь
Целью нашей работы является обучение учителей школ средствам языка Delphi для разработки справочных систем и разработка электронного...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org