Вопросы и упражнения по курсу математического анализа 2-ой курс, 4-ый семестр



Скачать 58.39 Kb.
Дата09.10.2012
Размер58.39 Kb.
ТипДокументы
ВОПРОСЫ и УПРАЖНЕНИЯ

по курсу МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

2-ой курс, 4-ый семестр

преподаватель: Е.П. Бокмельдер


  1. Интеграл Римана на n-мерном параллелепипеде.

  2. Критерий Лебега интегрируемости по Риману (формулировка). Критерий Дарбу.

  3. Мера Жордана. Критерий измеримости по Жодану.

  4. Точки разрыва характеристической функции множества. Интеграл по произвольному множеству.

  5. Свойства кратного интеграла Римана.

  6. Теорема Фубини для кратного интеграла Римана.

  7. Следствия из теоремы Фубини.

  8. Замена переменных в кратном интеграле (подробная формулировка).

  9. Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода. Их физический смысл.

  10. Понятие гладкой и ориентированной поверхности в трехмерном пространстве. Поверхности с краем. Согласование ориентаций поверхности и ее края.

  11. Формулы площади гладкой поверхности, заданной явно, неявно и параметрически.

  12. Поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода. Их физический смысл.

  13. Дивергенция векторного поля. Теорема Гаусса-Остроградского и ее физический смысл.

  14. Ротор векторного поля. Теорема Стокса и ее физический смысл.

  15. Потенциальные и соленоидальные поля. Запись характеристик скалярных и векторных полей с помощью вектора набла.

  16. Кольца, полукольца множеств. Аддитивная функция множества и ее свойства.

  17. Продолжение счетно аддитивной меры с полукольца на кольцо. Лебегово продолжение меры.

  18. Внешняя мера Лебега и ее свойства.

  19. -кольцо измеримых множеств и счетная аддитивность внешней меры на нем.

  20. Классы измеримых множеств в : открытые, замкнутые, -множества, борелевские, множества меры нуль.

  21. Измеримые функции и их свойства.

  22. Сходимость функциональной последовательности почти всюду и теорема Егорова.

  23. Сходимость по мере, связь со сходимостью почти всюду - теорема Лебега.

  24. Сходимость по мере, связь со сходимостью почти всюду - теорема Рисса. Теорема Лузина (формулировка)

  25. Простые функции. Приближение измеримой функции простыми.

  26. Интеграл Лебега и его простейшие свойства.

  27. Свойства счетной аддитивности и абсолютной непрерывности интеграла Лебега как функции множества.

  28. Предельный переход под знаком интеграла Лебега – теорема Леви о монотонной сходимости для последовательностей и рядов.


  29. Предельный переход под знаком интеграла Лебега – теорема Фату и теорема Лебега об ограниченной сходимости.

  30. Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана.

  31. Пространство . Сходимость в среднем. Полнота пространства .

  32. Пространство . Сходимость в средне-квадратичном. Связь с другими видами сходимости.

  33. Полнота пространства . Всюду плотные подмножества в и в .

  34. Абсолютно непрерывные функции и их свойства.

  35. Интеграл Лебега с переменным верхним пределом и его свойства. Аналог формулы Ньютона-Лейбница.

  36. Дифференцируемость сходящегося ряда из монотонных функций.

  37. Теорема Лебега о восстановлении абсолютно непрерывной функции по ее производной. Разложение функции ограниченной вариации на три составляющие.

  38. Мера и интеграл Лебега-Стилтьеса.


УПРАЖНЕНИЯ


  1. Покажите, что множество меры Лебега 0 в не имеет внутренних точек.

  2. Покажите, что измеримое по Жордану множество без внутренних точек имеет нулевой объем (меру Жордана).

  3. Покажите, что если множество таково, что , то и .

  4. Верно ли утверждение: «Если и , то интегрируема по Риману на .»?

  5. Пусть - диффеоморфизм открытых параллелепипедов в и - множество меры Лебега 0. Доказать, что - множество меры Лебега 0.

  6. Пусть - диффеоморфизм открытых параллелепипедов в и . Доказать, что , .

  7. Пусть - диффеоморфизм открытых параллелепипедов в , и . Доказать, что и .

  8. Пусть - диффеоморфизм открытых параллелепипедов в , и - измеримое по Жордану множество. Доказать, что и - измеримое по Жордану множество.

  9. Рассмотрим класс множеств . Доказать, что борелевским замыканием этого класса является класс всех борелевских множеств на прямой.

  10. Рассмотрим класс множеств . Доказать, что борелевским замыканием этого класса является класс всех борелевских множеств на прямой.

  11. Рассмотрим класс множеств . Доказать, что борелевским замыканием этого класса является класс всех борелевских множеств на прямой.

  12. Рассмотрим класс множеств . Доказать, что борелевским замыканием этого класса является класс всех борелевских множеств на прямой.

  13. Рассмотрим класс множеств . Доказать, что борелевским замыканием этого класса является класс всех борелевских множеств на прямой.

  14. Доказать, что измеримые по Жордану множества образуют кольцо, но не -кольцо.

  15. Доказать, что мера Жордана регулярна.

  16. Доказать, что .

  17. Доказать, что .

  18. Доказать, что .

  19. Пусть - пространство с полной счетно аддитивной мерой. Доказать, что все подмножества меры нуль образуют -кольцо.

  20. Доказать, что борелевские множества измеримы по Лебегу.

  21. Описать все подмножества такие, что их характеристические функции интегрируемы по Риману.

  22. Доказать, что всякое измеримое по Лебегу множество есть объединение борелевского и множества меры 0.

  23. Пусть - пространство с мерой и . Определим внутреннюю меру множества : . Доказать, что .

  24. Пусть - пространство с мерой. Доказать, что .

  25. Доказать монотонность меры Лебега.

  26. Доказать непрерывность меры Лебега.

  27. Пусть - пространство с мерой, . Доказать, что следующие утверждения эквивалентны: 1) множество измеримо для ; 2) множество измеримо для ; 3) множество измеримо для ; 4) множество измеримо для ;

  28. Доказать, что непрерывная функция измерима.

  29. Доказать, что монотонная функция измерима.

  30. Доказать, что борелевская функция от -измеримой функции - -измерима.

  31. Доказать, что непрерывная функция от -измеримой функции - -измерима.

  32. Пусть и пусть - -алгебра множеств из . Доказать, что - -алгебра множеств из .

  33. Доказать, что если функции и - измеримы, измеримыми будут и функции и .

  34. Доказать, что если функции и непрерывны на отрезке , то на .

  35. Пусть . Для заданного указать явно множество Егорова , на котором последовательность сходится равномерно.

  36. Пусть и - последовательности измеримых функций, сходящиеся по мере к функциям и на множестве . Доказать, что сходится по мере к функции .

  37. Пусть и . Доказать, что тогда .

  38. Верно ли, что произведение двух функций из есть функция из ?

  39. При каких значениях и функция , определенная на , интегрируема по Лебегу, несобственно интегрируема по Риману ?

  40. Вычислить интегралы Лебега: 1) , 2).

  41. Вычислить .

  42. Найти (Вспомните теорему Фату)

  43. Пусть монотонна и абсолютно непрерывна на отрезке , а абсолютно непрерывна на отрезке Доказать, что тогда композиция абсолютно непрерывна на отрезке .

  44. Пусть 1) Какие множества измеримы по мере ? 2) Какие функции измеримы относительно меры ? 3) Какие функции интегрируемы по мере ?

  45. Пусть . Найти интеграл Лебега-Стилтьеса

Похожие:

Вопросы и упражнения по курсу математического анализа 2-ой курс, 4-ый семестр iconВопросы, упражнения и задачи по курсу математического анализа 4-ый семестр
Ортонормированные системы непрерывных функций на отрезке. Тригонометрическая система, ее ортогональность на отрезке длины Единственность...
Вопросы и упражнения по курсу математического анализа 2-ой курс, 4-ый семестр iconЭкзаменационные вопросы по курсу "Прикладные вопросы математического анализа"
Экзаменационные вопросы по курсу "Прикладные вопросы математического анализа" (веч спец отд ф-та вмиК, 2005 2006 уч год)
Вопросы и упражнения по курсу математического анализа 2-ой курс, 4-ый семестр iconВопросы и упражнения по курсу математического анализа Прикладная математика. Бакалавриат
Функции и отображения, образы и прообразы, их свойства. Существование обратной функции
Вопросы и упражнения по курсу математического анализа 2-ой курс, 4-ый семестр iconА. Г. Мордкович, В. И. Глизбург (Москва) Контрольные работы по алгебре и началам математического анализа 10-11 класс (профильный уровень) в статье содержатся по два варианта контрольных работ по курсу «Алгебра и начала математического анализа 10-11

Вопросы и упражнения по курсу математического анализа 2-ой курс, 4-ый семестр iconРаботы студентов по курсу «методика математического развития детей дошкольного возраста» игры и игровые упражнения для развития
Упражнения, направленные на развитие умения выделять геометрические фигуры на рисунке, чертеже, в окружающей обстановке
Вопросы и упражнения по курсу математического анализа 2-ой курс, 4-ый семестр iconВопросы к экзамену по курсу Синоптическая метеорология. 1 семестр
Синоптический метод в метеорологии. Основные принципы синоптического анализа, пути совершенствования методов краткосрочного прогноза...
Вопросы и упражнения по курсу математического анализа 2-ой курс, 4-ый семестр iconВопросы к зачету I семестр Практическая фонетика Основы техники речи
Речевой аппарат человека. Постановка фонационного дыхания. Подготовительные упражнения. Дыхательные упражнения. Тренировка органов...
Вопросы и упражнения по курсу математического анализа 2-ой курс, 4-ый семестр iconСборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 1971. Архипов Г. И., Садовничий В. А. и др. Лекции по математическому анализу. Высшая школа,1999
Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления,т. 1,2,3,М. Наука,1969
Вопросы и упражнения по курсу математического анализа 2-ой курс, 4-ый семестр iconВопросы к экзамену по курсу тфкп, 2 курс, 4 семестр. 1 поток
Основные принципы конформных отображений. Принцип соответствия границ и принцип симметрии Шварца
Вопросы и упражнения по курсу математического анализа 2-ой курс, 4-ый семестр iconВопросы по курсу общей физики к разделам «Механика. Электромагнетизм». (Химфак, 1 курс, 2 семестр)
Кинематика материальной точки. Основные определения. Линейные и угловые характеристики движения, связь между ними. Преобразования...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org