Минимаксный суперхеджирующий портфель Европейского опциона



Скачать 97.13 Kb.
Дата09.10.2012
Размер97.13 Kb.
ТипДоклад
Зверев Олег Владимирович,

Хаметов Владимир Минирович,

Московский Государственный Институт Электроники и Математики (технический университет), Москва
Минимаксный суперхеджирующий портфель Европейского опциона.

Введение.

Доклад посвящен теории расчета европейских опционов на неполных рынках. Основная проблема которую приходится решать в этой теории состоит в выборе вероятностной меры относительно которой следует проводить расчет опциона. В работах [1-7] предложено выбирать такую мартингальную меру, относительно которой стоимость европейского опциона была бы максимальной. В них был предложен метод построения портфелей и нахождения стоимости опциона, который опирается на опциональное разложение супермартингалов.

В докладе рассматривается многошаговая минимаксная задача, решение которой позволяет найти такую вероятностную меру, относительно которой стоимость опциона максимальна, при этом рынок оказывается полным. Он состоит из двух частей. В первой части приводится описание многошаговой минимаксной задачи, для которой устанавливаются условия существования решения. Во второй части, опираясь на результаты первой части, строится решение задачи расчета опционов европейского типа.

1. Описание и построение решения минимаксной задачи.

1.1. Описание и решение минимаксной задачи.

Пусть на , , задана d-мерная (d<∞) согласованная, случайная последовательность, обозначаемая через . Положим, что для любого . Пусть -предсказуемая, d-мерная последовательность, которую назовем стратегией, . Множество стратегий обозначим через . Пусть - любое подмножество , через , где и gif" name="object15" align=absmiddle width=45 height=21>, обозначим сужение множества на и будем писать , где .

Пусть на фильтрованном измеримом пространстве задана вероятностная мера Q, эквивалентная мере P. Множество мер Q, эквивалентных мере P, обозначим через . Везде ниже мы предполагаем, что , не оговаривая это дополнительно. Математическое ожидание некоторой случайной величины относительно вероятностной меры Q (P) мы будем обозначать через .

Пусть , где ,-некоторая -измеримая, ограниченная случайная величина.

Рассматривается задача нахождения верхнего гарантированного значения в игре двух лиц. Стратегиями первого игрока являются вероятностные меры . Стратегиями второго игрока являются последовательности . Предполагается, что игроки выбирают свои стратегии независимо друг от друга.

Определение. Пару назовем t-бистратегией, , а -бистратегией.

Определение. Оценкой t-бистратегии , , или значением функцией риска в момент времени назовем -измеримую случайную величину, обозначаемую через и определяемую равенством

,

где -условное математическое ожидание относительно -алгебры , , -скалярное произведение в .

Целью первого игрока является максимизация значения функции риска по множеству мер , а целью второго игрока – минимизация значения по множеству стратегий .

Определение. Стратегию будем называть допустимой, если для любого P-п.н.

,

где -кумулянта последовательности относительно меры . Множество допустимых стратегий обозначим через .

Определение. Тройку называют игрой Г.

Определение. -измеримую случайную величину, определяемую равенством



называют верхним гарантированным значением.

Целью данного параграфа является нахождение условий при выполнении которых существует допустимая бистратегия такая, что P-п.н. выполняется равенство

. (1)

Определение. Бистратегию такую, что выполнено (1) будем называть минимаксной, при этом вероятностную меру -наихудшей, а стратегию -минимаксной.

Определение. Тройку назовем решением минимаксной задачи (1).

1.2. Существование минимаксного решения задачи (1).

1.2.1. Определение. -измеримую случайную величину , определяемую равенством



называем верхним гарантированным значением в момент времени .

Теорема 1. Пусть фильтрация - универсально полна, а -измеримая, ограниченная, случайная величина. Тогда P-п.н. удовлетворяет рекуррентному соотношению

(2)

1.2.2. Приведем условие, выполнение которого обеспечивает существование минимаксной стратегии.

Условие (γ). Существуют мера и константа такие, что для любого P-п.н.

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и выполнено условие (γ). Тогда существует стратегия такая, что для любого справедливы равенства P-п.н.

(3)

Кроме того, для любых и справедливо неравенство

Р-п.н.

1.2.3. Приведем условия, выполнение которых обеспечивает существование для случайной величины разложения, аналогичного опциональному, но справедливого для класса эквивалентных мер .

Определение. Будем говорить, что любая -измеримая ограниченная случайная величина допускает S-опциональное разложение, если существуют: а) -измеримая случайная величина, б) -предсказуемая последовательность , в) согласованная неубывающая последовательность такие, что относительно меры справедливо равенство Q-п.н.



Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда существует S-опциональное разложение, т.е. существуют: i) возрастающая последовательность такая, что для любого



где -предсказуемая последовательность определяемая равенством (3), а удовлетворяет рекуррентному соотношению (2), ii) кроме того, относительно любой меры

Q-п.н. (4)

1.2.4. Приведем условие выполнение которого обеспечивает существование -наихудшей меры.

Через обозначим множество конечно аддитивных вероятностных мер. Очевидно, что .

Определение. Пусть . Будем говорить, что мера доминирует меру если для любого справедливо неравенство .

Условие (К). -слабо относительно компактное множество в .

Через обозначим слабое замыкание множества в .

Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 3 и условие (К). Тогда существует единственная мера которая доминирует любую меру . Кроме того, для любого справедливо равенство

(5)

1.2.5. Сформулируем критерий того, что мера -наихудшая.

Определение. Последовательность

,

назовем верхней S-оценивающей.

Очевидно, что относительно любой меры верхняя S-оценивающая последовательность является супермартингалом.

Теорема 5. Пусть выполнены условия теоремы 4. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

i) -наихудшее распределение вероятностей;

ii) для любого -п.н. справедливо равенство (5);

iii) верхняя S-оценивающая последовательность является мартингалом относительно меры .

Теорема 6. Пусть выполнены условия теоремы 4. Тогда существует решение минимаксной задачи (1).

  1. Минимаксное хеджирование на неполных рынках.

2.1. Пусть -d-мерная, согласованная последовательность, введенная в пункте 1.1, описывает эволюцию стоимости d различных рисковых активов. Предположим, что имеется один безрисковый актив, причем его доходность равна нулю, а его начальная стоимость равна единице. Такой набор активов называют -рынком.

Определение. Меру относительно которой последовательность является локальным мартингалом будем называть мартингальной.

Множество мартингальных мер обозначим через N. Ясно, что N .

Определение.[6] -рынок называется безарбитражным, если на нем существует хотя бы одна мартингальная мера. В противном случае этот рынок называется арбитражным.

Определение.[6] Безарбитражный -рынок называется полным, если мартингальная мера - единственна. В противном случае такой рынок называется неполным.

-измеримую случайную величину называют платежным обязательством европейского опциона с моментом исполнения N+. Пусть -предсказуемая, одномерная последовательность, элементы которой интерпретируются как количество безрискового актива [6]. Пусть -предсказуемая, d-мерная последовательность, описание которой приведено в пункте 1.1. и которую мы назвали стратегией, i-ую () компоненту вектора интерпретируют как количество i-ого рискового актива в момент времени [6]. Последовательность пар называют портфелем. Капиталом портфеля π в момент времени на -рынке называют -измеримую, случайную величину, обозначаемую через и определяемую равенством

. (6)

Портфель π называют самофинансирующим [6], если для любого выполнено равенство P-п.н.

. (7)

где , . Множество самофинансирующих портфелей обозначим через SF. Очевидно, что капитал портфеля допускает представление

. (8)

Пусть -согласованная, возрастающая последовательность с называемая потреблением. Набор называют портфелем с потреблением [6]. Капитал портфеля с потреблением в момент времени , обозначим через и определим равенством

(9)

Из (8), (9) следует, что в любой момент времени капитал самофинансируемого портфеля с потреблением допускает представление



Определение. Самофинансирующий портфель с потреблением на неполном -рынке в задаче расчета европейского опциона с платежным обязательством назовем суперхеджирующим, если в момент времени N выполняется неравенство

P-п.н.

Определение. Суперхеджирующий портфель назовем совершенным, если

P-п.н.

Определение. Совершенный суперхеджирующий портфель , капитал которого в момент времени равен , назовем минимаксным суперхеджирующим портфелем, если для любого другого совершенного суперхеджирующего портфеля , капитал которого в момент времени равен (т.е. ) и для любых и справедливо неравенство Q(P)-п.н.

.

2.2 В данном пункте приводятся условия выполнение которых обеспечивает существование минимаксного суперхеджирующего портфеля.

Теорема 7. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда существует минимаксный суперхеджирующий портфель .

2.3. Из утверждения теоремы 4 следует существование меры которая доставляет существенную верхнюю грань в (5). В связи с этим возникает необходимость в уточнении утверждения теоремы 7.

Теорема 8. Пусть выполнены условия теоремы 4. Тогда справедливы следующие утверждения.

1) -мартингальная мера;

2) является крайней точкой множества .

3) Для любого потребление -п.н.

Определение. Конечно аддитивная мера называется вполне конечно аддитивной, если , где -мера-сингулярная относительно Р.

Теорема 9. Пусть выполнены условия теоремы 8. Тогда вероятностная мера является вполне конечно аддитивной, причем число ее атомов ограничено сверху числом .

Утверждения теорем 8, 9 приводят нас к следующему определению.

Определение. Неполный -рынок назовем -полным, если существует вероятностная мера такая, что:

i) доминирует любую меру ;

ii) -единственная мартингальная мера;

iii) существует портфель для капитала которого в момент времени N справедливо равенство



Портфель назовем минимаксным -хеджирующим.

Теорема 10. Пусть выполнены условия теоремы 9. Тогда существует -полный рынок, а минимаксный суперхеджирующий портфель является минимаксным -хеджирующим.

Литература.

1. El Karoui. N, Quenez M.C. Dinamic prodramming and pricing of contingent alaims ina incomplete merbet. SIAM Journal ou Control and Optimization, 1995, v.33, №1, p. 29-66

2. Kramkov D.O. Optional Decomposition of supermartingales and hedging contingent alaims in incomplete security markets. Probability Theory and Related Fields, 1996, v.105, №4, p.459-479

3. Föllmer H., Kramkov D. Optional decomposition under constraints. Prolab. Theory and Related Fields, 1997, v.109, p.1-25

4. Волков С.Н., Крамков Д.О. О методологии хеджирования опционов. Обозрение прикладной и промышленной математики, 1998, т.5, №2, с.387-409

5. Föllmer H., Kabanov Yu.M. Optional decomposition and Jagrange multipliers. Finance Stoch., 1998, v2, p.69-81

6. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Теория. Том 2. М.: Фазис, 1998, 544с.

7. Фёльмер Г., Шид А. Введение в стохастические финансы. Дискретное время., М.: МЦНМО, 2008, 496с.

8. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория., М., ИЛ., 1962, 895с.




Похожие:

Минимаксный суперхеджирующий портфель Европейского опциона iconДокажем, что нижняя граница не достижима
Цена европейского опциона со страйком 275 не меньше, чем цена опциона со страйком 300. Поэтому нижняя граница – 10
Минимаксный суперхеджирующий портфель Европейского опциона iconМихаил Михайлович Жванецкий Мой портфель
«Михайло Жванецький «Мій портфель» 3бірка оповідань»: Махаон Україна; Київ; 2005
Минимаксный суперхеджирующий портфель Европейского опциона iconПояснительная записка Раздел «Общие сведения об учителе» Личные данные
...
Минимаксный суперхеджирующий портфель Европейского опциона iconЧистые отношения в семейной жизни
И засунуть в его портфель грязные, простите, предметы белья (придёт на работу, откроет портфель…), и развесить по квартире записки...
Минимаксный суперхеджирующий портфель Европейского опциона iconNome Имя Data di nascita
Личные данные гражданина страны Европейского Союза или Европейского Экономического Сообщества, на иждивении которого Вы состоите....
Минимаксный суперхеджирующий портфель Европейского опциона iconПрограмма курса «Право Европейского Союза»
Необходимость и цели изучения права Европейского Союза в России. Важность познания права Европейского Союза в процессе профессиональной...
Минимаксный суперхеджирующий портфель Европейского опциона iconПриложения теории функций и функционального анализа
Теорема Гильберта. Минимаксный принцип для собственных значений самосопряженных операторов
Минимаксный суперхеджирующий портфель Европейского опциона iconВ соответствии с Решением №582/2008/ce и Решением №586/2008/се европейского Парламента и Европейского Совета, от 17. 06. 2008 г
В настоящее время Румыния является членом Европейского Союза, но не входит в Шенгенскую зону и, поэтому, до присоединения Румынии...
Минимаксный суперхеджирующий портфель Европейского опциона iconДиректива 95/46/ес европейского парламента и Совета Европейского Союза от 24 октября 1995 года о защите прав частных лиц применительно к обработке персональных данных и о свободном движении таких данных
...
Минимаксный суперхеджирующий портфель Европейского опциона iconДиректива Европейского Парламента и Совета Европейского Союза 95/46/ес от 24 октября 1995 г о защите физических лиц при обработке персональных данных и о свободном обращении таких данных*(1)
Текст в редакции Регламента Европейского парламента и Совета ес 1882/2003 от 29 сентября 2003 года
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org